辽宁省辽西联合校2024-2025学年高三数学上学期期中试题

Page10辽宁省辽西联合校2024-2025学年高三数学上学期期中试题一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．已知，则“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知函数，则（）A．4 B．2 C．1 D．05．已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．6．若，，，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b7．已知奇函数在上单调递减，若，则满意的x的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的奇函数，当x＜0时，，则下列结论中错误的是（）A．当x＞0时， B．函数有3个零点C．的解集为 D．，，都有二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知平面对量，，则（）A． B． C． D．10．设集合，，若，则实数a的值可以为（）A． B．0 C．3 D．11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象12．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是（）A． B． C．3 D．4三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若，，，则x的值为______．14．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为______度．15．设，，，则向量与的夹角的余弦值为______．16．已知等差数列的前n项和为，，，则的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．（本小题满分10分）已知等差数列满意，前4项和．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满意，，数列的通项公式．18．（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，，求面积．19．（本小题满分12分）设函数在x＝1处取得极值－1．（1）求a、b的值；（2）求的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数，.（1）求函数在上的单调区间；（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝3，求的周长的取值范围．21．（本小题满分12分）已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数，其中a为实常数．（1）当a＝3时，求曲线在点处的切线方程；（2）探讨的单调性；（3）若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．2024—2024学年度上学期辽西联合校高三期中考试数学试题参考答案1．B【分析】依据交集的学问确定正确选项．【详解】依题意．故选：B．2．B【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解，改量词，否结论．【详解】由特称命题的否定的概念知，“，”的否定为：，．故选：B．3．A【分析】依据命题的充分必要性干脆推断．【详解】对于不等式，可解得a＞1或a＜0，所以a＞1可以推出，而不行以推出a＞1，所以“a＞1”是“”的充分不必要条件．故选：A．4．【答案】B【分析】依据极限的定义计算即可．【详解】；故选：B．5．D【解析】依据三角函数的定义得，再由诱导公式和弦化切公式可得选项．【详解】角∵的终边经过点，则，∴，故选：D．6．A【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可．【详解】，由对数函数的性质可得，故b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．7．C【分析】首先依据题意得到函数在上单调递减，且，再结合单调性解不等式即可．【详解】因为奇函数在上单调递减，且，所以函数在上单调递减，且，所以当，x＜0，，满意，当，x＜0，，不满意，当，x＞0，，不满意，当，x＞0，，满意，综上：的解集为．故选：C．8．A【分析】由奇函数求出x＞0的解析式即可推断A选项；解方程求出零点即可推断B选项；解分段函数不等式即可推断C选项；求导确定单调性得出函数图象，即可推断D选项．【详解】对于A，已知函数是定义在上的奇函数，当x＞0时，－x＜0，，则，A错误；对于B，易得，当x＜0时，，可得x＝－1；当x＞0时，，可得x＝1，则函数有3个零点，B正确；对于C，由，当x＜0时，由得x＜－1；当x＞0时，由得0＜x＜1，则的解集为，C正确；对于D，当x＜0时，，，当x＜－2时，，单减，此时；当－2＜x＜0时，，单增，，时，；x＝－2时，有微小值；结合函数是定义在上的奇函数，可得的图象，结合图象知，的值域为，则，都有，D正确．故选：A．9．BCD【分析】应用向量数量积的坐标运算可得，由向量坐标的线性运算求、，即可得答案．【详解】由题设，，故，A错误，B正确；，C正确；，D正确．故选：BCD．10．ABD【分析】解方程可得集合A，再结合集合间运算结果分状况探讨．【详解】由，得，又，当时，即a＝0，成立；当时，，，或，，故选：ABD．11．ABD【解析】依据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案．【详解】由函数的图象可得A＝2，周期，所以，当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数．对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查依据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理实力与计算求解实力，属中档题．12．CD【分析】作出函数的大致图象，将方程有两个不相等的实数根，转化为与图象有2个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案．【详解】如图，作出函数的大致图象，当时，，，故在点处的切线斜率为，直线y＝kx－2过定点，当时，y＝kx－2与图象有一个交点；直线y＝kx－2过点时，k＝3，此时y＝kx－2与图象有2个交点；当1＜k＜3时，y＝kx－2与图象有一个交点；当k＞3时，y＝kx－2与图象有2个交点；综上，当时，y＝kx－2与f（x）图象有2个交点，故方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是3，4，故选：CD．13．1【分析】依据向量平行的充要条件即可求得．【详解】解：∵，∴，解得x＝1．故答案为：1．14．120【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°，依据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可．【详解】解：设扇形的半径为r，圆心角为n°，依题意可得，解得；故答案为：120．15．【分析】利用向量的夹角公式干脆求得．【详解】因为，，，所以，即，所以，即，所以．因为，所以向量夹角的余弦值为．故答案为：．16．54【分析】先求出等差数列的通项公式及前n项和，再利用导数求的最大值即可．【详解】解：因为是等差数列，且有，，所以，解得，所以，，令，所以，因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，故答案为：54．17．【答案】（1）（2）或【分析】（1）设等差数列的公差为d，依据已知条件列关于和d的方程组，解方程求得和d的值，即可求解；（2）等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和q的值，即可求解．（1）设等差数列首项为，公差为d．∵，∴，解得：，∴等差数列通项公式．（2）设等比数列首项为，公比为q，∵，∴，解得：，即或，∴等比数列通项公式或．18．（1）（2）【解析】（1）由已知利用平面对量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，依据不为0，求出的值，即可求出A的度数；（2）由a，b与A的值，利用正弦定理列出关系式，求出B值进而得C角，再由三角形ABC面积公式即可求值．【详解】解：（1）由得，，由正弦定理可得，，可得：，即：，由，可得：，又，可得：．（2）由已知及正弦定理得即可得，∵a＞b，∴A＞B即，故．的面积．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面对量的数量积运算法则，娴熟驾驭定理及公式是解本题的关键，属于基本题．19．【答案】（1）a＝1，b＝－3（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为．【分析】（1）依据极值和极值点列出方程组，求出a＝1，b＝－3；（2）结合第一问得到单调区间．（1），由题意得：，，解得：a＝1，b＝－3，此时，当－1＜x＜1时，，当x＜－1或x＞1时，，故x＝1为极值点，满意题意，所以a＝1，b＝－3．（2）由（1）可知：当－1＜x＜1时，，当x＜－1或x＞1时，，故的单调递增区间为，，单调递减区间为．20．（1）单调增区间是，，单调减区间是（2）【分析】（1）依据题意得，进而求得函数的单调区间，再结合求解即可；（2）依据题意求得，进而结合余弦定理得，再依据基本不等式求解即可．（1）解：，由，，得，，，，得，，因为，所以，当k＝1时得单调递增区间为；当k＝0时得单调递增区间为，单调递减区间为．所以函数在上的单调增区间是，，单调减区间是．（2）解：由（1）有，，得，因为A为锐角，，所以，即，由余弦定理得，，所以，所以，即，又，所以，得，当且仅当b＝c＝3时取等号，又b＋c＞a＝3，所以，所以，周长的取值范围是．21．（1）（2）存在，k的最小值为4【分析】（1）利用求得数列的通项公式．（2）利用裂项求和法求得，求得的取值范围，结合二次函数的性质求得k的最小值．（1）依题意，当n＝1时，，当时，，当n＝1时上式也符合，所以．（2），，为单调递增数列，，则，所以，，函数的对称轴为，，，，，当时，递增．所以使成立的正整数k的最小值为4．22．（1）y＝3x－5（2）答案详见解析（3）【分析】（1）利用切点