高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 35

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(35)

1.如图，在三棱柱ABC-481cl中，4411平面ABC,^ACB=90°,BC=AA1=^-AB=2.

(1)证明：4clJ_平面&BC.

(2)求点A到平面48G的距离•

2.如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有

一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O,钉尖为儿(i=123,4).

(1)记OA=a(a>0),当必、&、&在同一水平面内时，求。&与平面所成角的大小(结果

用反三角函数值表示)；

(2)若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3鱼cm?,要用某种线型材料复制100枚这

种“钉”(耗损忽略不计)，共需要该种材料多少米？

3.如图，在平行四边形ABCD<^,AB=a,BC=2,乙ABC=%四边形ACEF为矩形，平面4CEF1

平面ABCQ,4F=1,点M在线段EF上运动.

(1)当4E10M时，求点”的位置；

(2)在(1)的条件下，求平面MBC与平面EC。所成锐二面角的余弦值.

4.如图，在四棱锥P-力BCD中，底面A8CQ为菱形，平面PAC1平面ABCD,PA1PD,PA=PD,

/-BAD=pE是线段AQ的中点，连结BE.

(1)求证：BE1PA；

(2)求二面角4-PD-C的余弦值；

(3)在线段P8上是否存在点尸，使得EF〃平面PCO?若存在，求出白的值；若不存在，说明

理由.

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD为等腰梯形，AD//BC,^ADC=60°,且P4=AB=

PB=BC=2,E为尸A的中点，F为AQ的中点.

(1)证明：BE〃平面PC£＞；

(2)当三棱锥P—48尸的体积最大时，求二面角F-PC-。的余弦值.

6.如图，在四棱锥S—4BCD中，底面ABCC是平行四边形，S4_L平面ABC。，BC=2AB=2,

乙48c=60。，SE=2ED,尸为SC的中点.

(1)求证：8尸〃平面ACE；

(2)当SA长为何值时，二面角S-AC-E的大小为45。.

7.在四边形ABCP中，AB=BC=五,NP=W，PA=PC=2；如图，将APAC沿AC边折起,

连结PB,使PB=P4

(1)平面ABC1■平面PAC-,

(2)若F为棱48上一点，且AP与平面PC尸所成角的正弦值为更,求二面角F—PC-4的大小.

4

8.如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A,B),已知4B=2,AE=夕，四边形BEDC

为矩形，平面4BC工平面BCDE.设平面EAD与平面A8C的交线为I.

(1)证明：/ACD-.

(2)当三棱锥力-BCE的体积最大时，求平面AQE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

9.如图，在三棱台4?C-44G中，ACLAXB,。是BC的中点，4。，平面/4BC.

(1)求证：ACLBC^

(2)若40=1,4C=2Ji,3c=44=2,求二面角片一3。一力的大小.

10.如图，在四棱锥P—4BC。中，底面ABC。是矩形，P41平面ABCQ,E,F分别是AB,PQ的

中点.

(1)求证：4F〃平面PEG

(2)若P。与平面ABCD所成角为全且40=1,AB=2,求点A到平面POE的距离.

11.如图，在三棱锥U-ABC中，平面平面ABC,/匕4B为等边三角形，AC18c且4C=BC=

V2,0,M分别为AB,办的中点.

(1)求证：〃平面MOC；

(2)求证：平面MOC，平面VAB；

(3)求三棱锥4-MOC的体积.

12.如图，棱长为2的正方体力BCD中，点E,F,G分别是棱A4,4心，&&的中点.

(I)求证：直线FG〃平面D8E；

(□)求异面直线AF和EG所成角的余弦值.

13.如图，直四棱柱4BCC-&B1C1D1的底面是菱形，44=4,AB=2,ABAD=60°,E,M,N

分别是5C,BB],公0的中点.

(1)证明：MN〃平面GDE；

(2)求点C到平面GDE的距离.

14.如图在四棱锥P-4BCD中，侧棱P4_1_平面438,底面48。。是直角梯形,718〃。。，〃。。=热

PA=AD=CD=4,AB=2,E为侧棱尸。中点.

(1)设尸为棱CD上的动点，试确定点尸的位置，使得平面4EF〃平面PBC,并写出证明过程;

(2)求点8到平面PCD的距离.

15.已知四面体ABCQ中，AB=BC=AC=CD=2,AD=dlU,NBCD=120。,9为BC中点.

(1)求证：AEI5]2®BCD-,

(2)求AZ)与平面ABC所成的角的正切值.

16.如图所示，四边形A8CD是正方形，DEJ■平面ABC。，DE=DA=2.

(1)求证：4CJ■平面BDE;

(2)求AE与平面BQE所成角的大小.

17.如图，在直三棱柱ABC-4B1G中，M、N分别为棱AC、的中点，且4B=BC

G

(1)求证：平面BMN1平面力CG&；

(2)求证：MN〃平面

18.如图(1),平面四边形4BDC中，AABC=AD=90°,AB=BC=2,CD=1,将团4BC沿BC

边折起如图(2),使,点M,N分别为AC,AD中点.在题目横线上选择下述其中一个

条件,然后解答此题.®AD=V7,②4c为四面体ABDC外接球的直径.③平面4BC，平面BCD.

图⑴

(1)判断直线与平面AB。的位置关系，并说明理由:

(2)求三棱锥4-MNB的体积.

19.如图，四棱锥P—ABC。的底面是边长为1的正方形，侧棱PA是四棱锥P—ABC。的高，且PA=2,

E是侧棱PA上的中点.

(1)求三棱锥P-BCD的体积；

(2)求异面直线EB与PC所成的角;

20..如图，在三棱锥P-ABC中，E,尸分别为AC,BC的中点.

(1)求证：EF〃平面P4B；

(2)若平面P4C_L平面ABC,且P4=PC,/.ABC=90。求证：平面PEF1平面PBC.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：因为在三棱柱4BC-4181cl中，44］，平面ABC,8Cu平面A8C,

所以A41BC,

因为Z4。8=90。，所以BC1AC,

又4Cn44i=4,AC,441<3平面4"出，

所以8c1平面力CG4,

而4clu平面ACCMi，所以BC14cl.

在AABC中，AACB=90°,BC=—AB=2,所以4C=7AB2-BC2=2,

2

从而4c=44「所以四边形4CC14为正方形，可得力Ci_L&C,

又AiCnBC=C,力CBCu平面&BC,

所以4GJL平面418c.

(2)解：VB_AA1C1=1-SA4,11C1.BC=1XiX2X2X2=i.

22

又BC】=y/CC^+BC=2V2，AAB=yjAAl+AB=2V3-

所以4避2=BC/+即BQl&Ci，所以S®ABQ=2x2x2鱼=2或.

设点A到平面&BG的距离为/?,所以以_ABG=『S0=誓依

因为0-44述1=匕-4：18cJ所以甲h=£解得％=或，

所以点A到平面&BG的距离为近.

解析：(1)证明AC】J_平面&BC,只需证明4cliBC、ACi_L&C即可

(2)利用=匕-&BQ求点。到平面的距离.

本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能

力的培养.

2.答案：解：(1)根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，

且两两所成的角相等，A2,4，4两两连接后得到的四面体为正四面体，

延长4。交平面于以则力初1平面4424，连接4氏

则是CM】在平面4遇24上的射影，

.•・4。48就是。公与平面4遇2a所成角，

设4遇4=1,则48=争，

22

在RtAAiAiB中，ArAl=ArB+A4B,

即，2=(争产+(Ja2一(争产+研，

-x­a>

I=-3a>Ay1B=3—3a=3

COSNO&B=翳=苧(其中0<NO&B<今，

八A2y/2

・•・Z.OA1B=arccos—>

。力i与平面所成角的大小为arccos竽.

(2)海掰.苧=3夜,

根据(1)可得为4=平心

a=^^cm，

•••要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料:高•100•(4a)=4a=

2V216(^).

.••要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料2历石米.

解析：本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.

(1)组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A],A2,83,44两两连接后得到的四面

体4久4&为正四面体，延长心。交平面4〃2小于8,贝IU4B1平面&424，连接&B,则乙。48就

是。儿与平面为/公所成角，由此能求出。为与平面必庆4所成角的大小.

(2)推导出海掰¥=3近，22=手，从而a=段■cm,由此能求出要用某种线型材料复制100

枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料的长度，注意单位的变换.

3.答案：(1)=VLBC=AD=2,=%Iz

「KM

-**AC=V2,/!

VAB2+AC2=BC2,Y\)\

.-.ABLAC,//；\

又•••ACEF为矩形/，々一'------口

■■.AFLAC,//、'、、、\/

•••平面ZCEF1平面ABCD,

平面ZCEFn平面ABCD=AC,

AFu平面ACEF,

AF1平面ABCD,

"ABu平面ABCD,

・•・AF1AB,

故可建立如图空间直角坐标系，

4(0,0,0),fi(V2,0,0),C(0,V2,0),D(-V2,V2,0),E(O,a,1),F(0,0,1),

设M(0,y,l),04”夜

则荏=(0,夜,1)，DM=(V2,y-V2,1).

vAE1DM,

AE-DM=V2(y-0+1=0，

解得y=当，

FM_1

7F=2

故当4E1DM时，点”为EF的中点.

(2)由⑴，RM=(-V2,y,l)＞BC=(-V2,V2,0).

设平面M8C的一个法向量为沆=(Xi，%,Zi),

则m-BM=-缶i+yyx+z1=0

vfn-BC——V2xj+V2yx=0

取yi=2,则沅=(2,2,V2))

由(1)知;ZB1AC,AFLAC.

•••平行四边形A8CC,矩形AC£F.

AB//CD,AF//CE.

故4cleD,AC1CE.

•••CDHCE=C,CD,CEu平面CDE,

■.AC_L平面CDE.

故平面EC。的一个法向量为元=(0,1,0),

令平面M8C与平面ECZ)所成锐二面角为。，

则cos0=|cos＜沅，元＞1=］襦|=焉立=

••・平面MBC与平面EC。所成二面角的余弦值为邈.

5

解析：本题考查空间平面与平面垂直，直线与平面垂直的性质定理的应用以及利用空间向量计算求

平面与平面所成的角，属于中档题.

(1)结合题中条件应用平面与平面垂直，直线与平面垂直的性质定理证得A2,AC,AP三者两两垂直，

然后建立空间直角坐标系，抽象出相关点的坐标，结合题意令M(0,y,l),04y《方，由4E_LOM得

荏・两=0,利用空间向量数量积的坐标运算得到关于y的方程求解即可确定点M的位置；

(2)在(1)的基础上先后确定平面MBC和平面EC。的法向量，令平面MBC与平面EC。所成锐二面

角为9,利用夹角公式及可求得结果.

4.答案：(1)证明：因为四边形A8C。为菱形，

所以ZB=AD,

又因为NBA。=泉E是线段A。的中点，

所以BE1AD,

因为平面24。1平面ABCD,平面P4。n平面4BCD=AD,BEu平面ABCD,

所以BE1平面PAD,

因为24u平面PAD,

所以BE1PA；

(2)解：连接PE,因为P4=P。，E为的中点,

所以PE1.AD,

由(1)可知BEJ_平面PAD,

又4。、PEu平面PAD,

所以BE1AD,PE1BE,

设AC=2a,贝iJPE=a,

如图：建立空间直角坐标系E-xyz,

则力(a,0,0),8(0,V3a,0),C(—2a,V3a,0),D(-a,0,0),P(0,0,a),

所以配=(-a,V3a,0),DP=(a,0,a),

因为BE_L平面PAD,

所以诙=(0,V5a,0)是平面PAQ的一个法向量，

设平面PCD的法向量为元=(x,y,z),

则1元.国=0,即［_ax+gay=0

所以b=By,

令》=遍，则y=l,z=—V3,

所以元=(V3,1,—V3),

所以3优码=器=悬"，

由题意知，二面角4—PD-C为钝角，所以其余弦值为一先；

7

(3)解：当点尸是线段P2的中点时，EF〃平面PCD.理由如下:

因为点EC平面PCD,

所以在线段PB上存在点尸使得EF〃平面PCD等价于前.n=0，

假设线段PB上存在点F使得EF〃平面PCD,

设胃=[0」])，则两=；1而，

所以前=前+而=前+2而=(0,0,a)+A(0,V3a,-a)=(0,V3Aa,a-Aa).

由EF-n=y/3Xa—V3(a—Xa)=0)得4=p

所以当点F是线段PB的中点时，EF〃平面PCD,且霁=去

解析：本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质、面面垂直的性质、利用空间向量求线线、线面

和面面的夹角、利用空间向量判定线面的垂直、平行关系，属于中档题.

(1)根据题意证出BE_L平面PA。，即可证出结果；

(2)建立空间直角坐标系，因为BE1平面PA。，则丽=(0,遮a,0)是平面的一个法向量，再求

出平面PC。的法向量为优代入公式cos优，前)=得嵩，即可求出结果；

(3)假设线段尸8上存在点尸使得EF〃平面PC。，设普=4(46[0,1]),则方=2而，求出市的坐

标，利用前•元=0，即可求出结果.

5.答案：证明：(1)取的中点G,连接EG,CG,

在△P4D中，E为PA的中点，

EG//AD,\EG\=\\AD\,

・••底面ABC。为等腰梯形，AD//BC,Z.ADC=60°,\AB\=\BC\=2

\AD\=2\BC\=4,

BC//EG,\BC\=\EG\,

EGCB是平行四边形，・•.BE〃CG,

又CGu平面PCD,BE平面PCD,

•••BE〃平面PCD；

解：(2)•••△R4F的面积为定值，当三棱锥P-4BF的体积最大时，

点户到平面A8F的距离最大，

即当平面P4B1平面A8F时体积最大.

取AB的中点O,在等边APAB中，则P0J.4B,

又•••POu平面PAB,平面PAB1平面ABF,平面P4BC平面ABF=AB,

PO_L平面ABCD,

由(1)知，△ABF为等边三角形，.OF_L4B,

以。为坐标原点，分别以赤，0F，前方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐

标。—xyz,

则尸(0,6,0),P(0,0,V3),C(2,V3,0),D(l,2V3,0).

所以而=(-1,但0)，CF=(-2,0,0),FP=(0,-V3,V3),PD=(1,2V3,-V3).

设平面尸C£)的法向量为元=(%i，yi，zj,

则1%,可=°=(一/+6月=0

[PD.石＞=01%1+275yl-V3zx=0*

令乃=V3，则％=(3,V3,3V3),

设平面FPC的法向量为荻=(x2,y2,z2),

则便,无=°=广何2+恁2=0

'I序•芯=0l-2x2=0

令=1，则芯=(0,1，1).

—»、n7nj4＞/32任

・•・cos＜元,Tic...........,—_

2月卜I可V2V3913

•••二面角F-PC-D为锐二面角,

其余弦值为源.

13

解析：本题考查直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，二面角，利用空间向量求解面面

的夹角，棱锥的体积，属中档题.

⑴取PO的中点G,连接EG,CG,由中位线性质结合等腰梯形的特征可得BE〃CG,即可证明结论；

(2)先由棱锥的体积最大可得平面P4B_L平面A8F,取A8的中点O,由垂直关系可得P。，平面ABCQ,

又由等腰梯形的特征可得。FL4B,即可以。为坐标原点，分别以赤，0F，赤方向为x轴，y轴,

z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标。-xyz,利用空间向量求解面面的夹角的余弦值即可.

6.答案：解：(1)证明：取SE的中点G,连接FG.连接8。交AC于点N,连接尸。交CE于点M,连

接MN.

因为F为SC的中点，G是SE的中点，

所以尸G〃CE.

又宽=2前,

所以E为G。的中点，

所以M为FD的中点，

易得N为8。的中点，

所以BF〃MN.

因为MNu平面AEC,BFC平面AEC,

所以BF〃平面ACE.

(2)解：因为BC=2AB=2,/.ABC=60°,

由余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BC•4Bcos600=4+l-2x2xlx|=3,

所以4c=A/3.

所以AB1AC.

分别以AB,AC,AS所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设S4=t(t>0),则4(0,0,0),S(0,0,t),C(0,V3,0).D(-l,V3,0).

所以前=(0,V5,0)，AE=AD+^E=AD+1DS=(-1,V3,0)+|(1,-V3,t)=

设平面ACE的法向量为访=(x,y,z),

窃匹=0,即V3y=0,

则

m-AE=0,告+等y+*=°，

令z=2得x=t,所以记=(£,0,2).

因为平面SAC的法向量为元=(1,0,0)所以cos<m,n)=而而=

由于二面角S-AC-E大小为45。,

所以|cos(沅，硼=争即品=会

解得t=2或t=-2(舍).

故当$4=2时，二面角S-AC-E的大小为45。.

解析：本题重点考查线面平行的判定和二面角，属于一般题.

(1)取SE的中点G,通过求证8尸〃MM即可求证BF〃平面ACE.

(2)由余弦定理求得AC=陋,则AB1AC,建立空间直角坐标系，利用向量法，结合二面角S-AC-E

的大小为45。即可求解.

7.答案：(1)证明：在△P4C中，PA=PC=2,ZP=|,

•••△PAC为正三角形，且4c=2,

在AABC中，AB=BC=V2.

・••△4BC为等腰直角三角形，且力BJ.BC,

取AC的中点O,连接OB,OP,

OB1AC,OP1AC,

vOB=1,OP=我，PB=PA=2,

OP1OB,

又0Pn4C=。，AC,OPu平面PAC,

OB1平面PAC,

■:OBu平面ABC,

二平面ABC，平面PAC；

(2)解：以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz.

则4(0,-1,0),8(1,0,0),C(0,l,0),P(0,0,回

AB=(1,1,0).AP=(0,1,V3).

CP=(0,-l,V3)-CA=(0,-2,0)，

设AF=mAB(0<m<1),

则而=CA+AF=(m,m-2,0)，

设平面PFC的一个法向量为记=(x,y,z),

则,n-CF=0(

(n-CP=0

令y=3解得｛x=^V3

m，

z=1

二元=(誓假假1)，

•：HP与平面PFC所成角的正弦值为阻

4

.I范酢I_2瓜_V3

"问前—2X俨挈+3+14，

整理得3m2+4m—4=0,解得m=|或m=—2(舍去),

・・,元=(2遍，8,1),

又面为平面PAC的一个法向量,

元♦而_V3

cos(n,OB)=

\n\\OB\~~2

.••伍，函=3

O

••・二面角F-PA-C的大小为?

O

解析：本题考查面面垂直的判定，利用空间向量求二面角，属于中档题.

⑴得出OB1平面PAC,即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量后，进行计算即可.

8.答案：(1)证明：因为四边形2EDC为矩形，所以COJ.CB,

因为N4CB是以A8为直径的圆上的圆周角，所以BC_LAC,

因为acnoc=c,AC,OCu平面ACD,所以BC_L平面AC。，

因为ED〃BC,BCC平面AOE,DEu平面AOE,所以BC〃平面AOE,

由平面EAD与平面ABC的交线为/,得1//BC,

因此11平面ACD.

(2)解：AABC中，设4C=x,BC=74^2(0<x<2),

所以S—BC=34c-BC=|x•V4-%2,

因为HE=J7，AB=2,所以BE=g，

因为平面力BC1平面BCDE,平面4BCn平面BCDE=BC,BE1BC,所以BE1平面ABC,

所以匕-BCE=^E-ABC=3^A4BC-BE

=4x•V4-x2=/42(4-."+；­"-

当且仅当/=4—%2,即x=&时，三棱锥a—BCE体积的最大值为隹，

3

因为BE“CD,所以CO_L平面ABC,

以C为坐标原点，以CA,CB,CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),71(72,0,0),D(0,0,V3),F(0,V2,V3),

所以而=(一，2,0,遍)，DE=(0,V2,0).

则平面ABC的一个法向量为元=(0,0,b)，

设平面AOE的法向量无=(x,y,z),

—\[2x+V3z—0

即底=（百,0,&）,

<：S：o]V2y=0

所以cos〈可，初=酷=磊=?.

所以平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为¥.

解析：本题主要考查的是线面垂直的判定、线面平行的性质、面面垂直的性质以及利用空间向量求

解二面角，属于较综合的中档题.

(1)根据乙4cB是以AB为直径的圆上的圆周角得到BC14c结合CO1CB得至lj8C，平面ACD,再结

合ED〃BC和线面平行判定定理得到BC〃平面AOE,又因为平面E4O与平面ABC的交线为I,结合

线面平行性质即可得证.

(2)△力BC中，设4C=x,BC=V4-x2(0<%<2),通过勾股定理求得BE=次，再根据面面垂直

性质得到BE_L平面ABC,再写出三棱链体积表达式，利用基本不等式得到x=应时，三棱锥4-BCE

体积的最大值为亚，建立空间直角坐标系，写出坐标求出平面法向量再求二面角余弦值即可.

3

9.答案：(1)证明：•••&。_L平面ABC,ACu平面ABC,

Ax01AC,又TACJLAIB,480410=41，人/出。u平面4B0,

.••4。•1平面4/。，又•••BCu平面&B0,

AC1BC-,

(2)以。为坐标原点，与AC平行的直线为x轴，OB所在的直线为)，轴，。&所在直线为z轴建立空

间直角坐标系，如下图：

0(0,0,0)M(2V3,-1,0),B(O,1,O),>11(0,0,1).AOB=(0,1,0),同=(-26,2,0),西=(0,0,1)

于是4B=4,•••ABC-AiBiG是三棱台，AB〃71再1，

又•••AB】=2,=^AB=(-V3,1,0),

.•.西=西+=(-V3,1,1),

设平面BBiGCD的一个法向量为元=(x,y,z),

则｛♦:瀛品l|J(-V3x+y+z=0，

令x=l,则y=0,z—V3,

n=(1,0,V3)1

v041平面ABC,

・•.平面ABC的一个法向量为西=(0,0,1),

L.>\_n-OA^_lx0+0x0+>/3xl_6

c°s(n‘n°"=丽=.+M+(⑸葭(°z+°M)=T'

••・二面角勺一BC-4为钝二面角，

••・二面角为一BC—4的大小为，丁.

6

解析：本题考查的是线面垂直的判定和性质，利用空间向量求二面角.

⑴利用401平面ABC,可得出40LAC,结合ZCJ.4B,得出AC1平面4/。，再利用线面垂直

的性质即可得证；

(2)以O为坐标原点，与AC平行的直线为x轴，OB所在的直线为)，轴，。41所在直线为z轴建立空

间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法即可得出二面角与-BC-4的大小.

10.答案：（1）证明：取PC中点G,连结FG,EG,如图,

••・在四棱锥P-4BCD中，底面A8C。是矩形，E,尸分别是A8,PO的中点，

FG//CDHFG=\CD,AE//CDS.AE=^CD,

：.FG//AES.FG=4E即四边形4EGF为平行四边形，[AF//EG,

又4FC平面PEC,EGu平面PEC,AF〃平面PEC；

(2)解：•••PAABCD,NPZZ4即为尸。与平面ABCQ所成角，即"ZM=/

由4。=1,48=2可得「4=V3，PD=2,AE=1,

•••DE=>JAD2+AE2=V2-PE=y/AP2+AE2=2,

。产+于62一。£2

在APDE中,3s乙DPE=-4-+-4---2=一3,

2DPPE2x2x24

・•・sinZ-DPE=Vl—cos2Z-DPE=—，

4

•••S*DE=\PD-PE-sin乙DPE=与

设点A到平面POE的距离为h,则匕一PM=[S^PDE-h=/

^VA-PDE=Vp-ADE=沁皿-PA=^\AD-AE-PA=^

:.包h二量,解得h=0，

667

所以点A到平面PDE的距离为4.

7

解析：本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

⑴取PC中点G,连结FG,EG,推导出四边形AEGF是平行四边形，从而4F〃EG,由此能证明力/=7/

平面PEC；

(2)根据题意得到0E=y/AD2+AE2=近，PE=y/AP2+AE2=2.^APDE=^PD-PE-sin/DPE=

V7

-----,

2

点A到平面PDE的距离为h,则以_p°E=1S^PDE,h=^-h，进而得到匕-PDE=^P-ADE~'

PA=-x-AD-AE-PA=量即可.

326

11.答案：(1)证明：：0,M分别为的中点，

•••OM//VB,

又仁平面MOC,OMu平面MOC,

•••VB〃平面MOC.

(2)证明：,:AC=BC,。为AB的中点，

A0C1AB.

又♦.•平面，平面ABC,平面48CD平面1MB=AB,且OCu平面ABC,

•••OC1平面1MB.又因为OCu平面MOC

.♦•平面MOC1平面匕48.

(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=®：.AB=2,OC=1.

二等边三角形VAB的边长为2,面积=V3.

•••0,M分别为AB,匕4的中点,

%4Mo=^AVAB~f•

又・・・0C1平面VAB,

・•・二棱锥吟_M0C=^C-MOA—Z^AAMO'^^=^X^X1=^.

解析：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平

行、平面与平面垂直的判定定理是关键.

(1)本小题考查线面平行的判定，由线线平行得出线面平行，主要考查线面平行的判定定理；

(2)本小题考查面面垂直的判定，由线线垂直及面面垂直得出线面垂直进而得出面面垂直，考查了面

面垂直的判定定理及性质定理得应用；

(3)本小题考查三棱锥体积的求法，求出三棱锥的底面积及高，利用三棱锥的体积公式及等体积法求

出三棱锥的体积.

12.答案:解:(1)连接。/1，

•••点F,G分别是棱&D1，的中点.FG〃&Bi，

又D\B\"DB,

FG//DB,又FGC平面力BE,DBDBE,

故直线FG〃平面DBE；

(11)取棱8(7的中点2连接PC】，PD,DC-

易证四边形APCiF是平行四边形,

则PG〃4F,

■:点、E,G分别是棱44i，4祖的中点.

ABJ/EG,

易证DCJ/ABi，

所以DCJ/EG,

故异面直线AF与EG所成的角即为NOGP,

由题知C】P=V5,Ci。=2或，DP=花,

.•Zgp=8+：-5巫

2x2\/2xv/55

解析：本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角及余弦定理，考查空间中线线、线面间的位置

关系等基础知识，属于中档题.

(I)连接DiBi，则“〃狼丛,又DBJ/DB,从而得到FG〃DB,即可证明FG〃平面QBE；

(H)取棱8c的中点P,连接PC],PD,。。1，故异面直线4F与EG所成的角即为40C1P,然后利用

余弦定理求解即可.

13.答案：证明：(1)连结BCME.

因为M,E分别为BiB,8C的中点,

所以ME〃B]C,且ME=9BiC.又因为N为&。的中点，所以

可得ME幺ND，因此四边形MN£)E为平行四边形,

所以MN〃DE,又MN<t平面GDE,DEu平面GDE,

所以MN〃平面GDE.

(2)(方法一)：过C做GE的垂线，垂足为“，

由已知可得DEIBC,DE1CC1(

BCnCCi=C,BC,CC]u平面CGE,

所以。E_L平面CGE,又CHu平面CGE,

故。EJ.CH,又DEnEG=E,OE,EJu面GOE,

从而±平面COE,故CH的长即为点C到平面GDE的距离，

由已知可得CE=1,CCj=4,所以GE=g,故

(方法二)：设点C到平面GDE的距离为h,由已知可得%「me=%-CME，

v%.11…一所，24

yCl-DEC=-<>ADEC•hqc=3•5•1.2I•sinbO=——，

*5«)/*5

2222

%-CiDE=gSbCiDE,九,C1E=Vl+4=V17，DE=^/2+I-2-1-2cos60°=>/3»DQ=

V42+22=2V5.

可得：C^+DE2=DC^,故△GOE为直角三角形，

SAQDE=»E•GE=：遍•g=亨，

综上可得九=修"=喟，即为点c到平面C1OE的距离.

•>AC1DE17

解析：本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)连结BiGME,证明四边形MNCE为平行四边形，MN//DE,DEu平面C]DE,MN，平面JDE,

证得A/N〃平面GDE.

(2)方法一：做C】E的垂线CH,利用勾股定理求得点C到平面GCE的距离；

方法二：利用等体积法，转换顶点，先求得三棱锥DEC的体积，再表示出三棱锥C-GDE的体

积，由体积相等，求出点C到平面GDE的距离；

14.答案：解：(1)当尸为CD的中点时，满足平面71EF〃平面PBC,

证明如下：在梯形A8C。中，因为4B〃C0,CF=1CD=2,AB=2,

所以CF=4B,CF//AB,

即四边形ABC尸为平行四边形，所以4F〃CB,

因为CBu平面PCB,AFC平面PCB,所以AF〃平面PCB,

在ADCP中，因为E、尸分别为P。、CO中点，所以EF〃CP,

因为CPu平面PC8,EFC平面PCB,所以EF〃平面PC8,

又因为EFCi4F=F,Efu平面AEF,AFu平面AEF,

所以平面力EF〃平面PBC.

(2)因为241平面ABCD,CDu面ABCD,

所以PA1CD,因为乙4DC=],

所以CD_L4D,

因为4。u平面尸40,P4u平面PAD,ADOPA=A,

所以CD，平面PAD,PDu平面PAD,

所以CD1PD,

所以△PCD为直角三角形，

因为24_L40,

所以PD=4V2,SapCD=[xCDxPD=8V2,

在梯形A8CQ中，SaBCD=：x4x4=8,

由等体积法可得4_BCD=%-PCD，

所以§xSg|8c。xPA=-xS^PCDxd,解得d=2>/2»

所以点B到平面PCD的距离为2vL

解析：本题主要考查了平面与平面平行的判定，考查了利用等体积法求点到面的距离.

(1)根据题意得到CF=4B,CF//AB,四边形48CF为平行四边形，得到4尸〃CB,根据线面平行的

判定定理，可得AF〃平面PCB,同理可得EF〃平面PCB,再根据面面平行的判定定理即可得出结

论；

(2)由线面垂直的判定定理可证CO1PD,所以△PCD为直角三角形.再由等体积法可得/_BCD=

VB_PCD,可求得点8到平面PCD的距离.

15.答案：(1)证明：连接。E,在团。CE中，由余弦定理得

DE2=CE2+CD2-2CE-CD-cos乙BCD=l2+22-2xlx2cosl20°=7,

在回ABC中，AE=V3，则有AE2+DE2=4。2,所以4EIED,

又E是8C的中点，AB=AC,

所以AE1BC,且BCCDE=E,BC,DEu平面BCD,

所以4E1平面BCD.

(2)解：由于4Eu平面ABC,由⑴可得平面4BC1平面BCD,

如图，

在平面BC£＞内过O作直线8C的垂线，垂足为F,

因为平面3。。A平面BC.DFU平面DF±BC

所以DF1平面ABC,

则4ZMF就是直线AD与平面ABC所成的角.

在Rt团CDF中，DF=CDsin60。=6,

在Rt回4DF中，AF=y/AD2-DF2=V7，

所以tanz_£MF=—=^=—,

AFyJ77

所以A。与平面ABC所成的角的正切值为先.

7

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想.

(1)连结。E,推导出AELED,AE1BC,由此能证明4E工平面BCD.

(2)平面ABC1平面8C。，在平面BC力内过O作直线8c的垂线，垂足为R则DF1平面ABC,从

而〃是直线AD与平面ABC所成角，由此能求出AD与平面ABC所成的角的正切值.

16.答案：.⑴证明•••四边形48CC是正方形，

AC1BD.

•••DEJ"平面ABCD,ACu平面ABCD,

•••AC1DE,

•••BD,DEBED,BDCDE=D,

AC1平面BDE.

(2)解设ACnBC=0,连接EO,如图所示:

E

.■：AC1平面BDE,

：.EO是直线AE在平面BCE上的射影，

•••N4E0即为AE与平面BDE所成的角.在RtAEAD中，EA=>JAD2+DE2=2y[2,AO=近，

.•.在中，smz.AEO=-=乙。=即与平面所成的角为

RtAECMEA24?30°,AEBOE30°.

解析：本题考查线面垂直和直线与平面所成的角，属于中档题.

(1)4C和8。是正方形HBCD的对角线，所以4CJ.B。，DEI5?®ABCD,ACABCD,可得

DELAC,BDCDE=D,进而得证；

(2)由(1)可知，ACBDE,EO是直线4E在平面BOE上的射影，乙4E。即为AE与平面BOE所

成的角，在RtAEOZ中，sin乙4E。可得所成角为30。.

17.答案：证明：(1)因为M为棱AC的中点，且AB=BC,

所以8Ml4C,

因为ABC-&B1C1是直三棱柱，

所以44i1平面ABC,

因为u平面A8C,

所以1BM,

又因为AC,u平面4CC14,且ACnAp4=4

所以平面2CG4，

因为BMu平面BMN,

所以平面BMN1平面力CG4；

(2)取BC的中点P,连接和MP,

因为M、P分别为棱AC、8c的中点,

所以MP〃4B,且MP=[4B,

因为ABC-AiBiG是直三棱柱，

所以=AB,

因为N为棱&Bi的中点，