高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化3

高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其

应用综合强化3

第I卷（选择题）

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一、单选题

1.在锐角中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,S为A/WC的面积，且

25=储_（6"）2,则2的取值范围为（）

A.（别B.（|,|）UCD.弱

7T।-ta+ha+c

2.已知向量2,石夹角为向量"满足W-c|=l且肖=下「，则下列说法正确的

是（）

A.W+*2B.向+W>2C.|*|<1D.|5|>1

3.在四边形中，点E为AO的中点，点F为BC的中点，且|而|=1,|函|=2,若

ABDC>0,贝Ui及'I的取值范围是（）

A.（手B.（3弓]C.（―,+co）D.[4,+00）

4.如图，在等腰梯形ABC。中，4?=2,CD=4,BC<,点E,尸分别为AE>,

8c的中点.如果对于常数2,在等腰梯形A8CO的四条边上，有且只有8个不同的点P

使得丽・丽=2成立，那么4的取值范围是（）

5.在中，点尸满足2/=无，过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点

M,N,若丽=x通，丽=）'恁（*>（）广>0）,则2犬+^的最小值为（）

A.3B.3&C.1D-I

22

..a+bsin（A+B）„.,,a、

6.在△ABC中，-v—r=.\p,则AABC的形状是（）

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

二、多选题

7.（多选）空间四点A,B,C,。每两点的连线长都等于。，动点尸在线段A8上，动点

Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为（）

A,巴B.&a

22

C.昱aD.旦a

22

8.下列命题中正确的是（）

A.不存在4个平面向量，两两不共线，其中任意两个向量之和与其余两个向量之和垂

直

B.设［、P2....巴是单位圆。上的任意〃点，则在圆0上至少可以找到一点使

得„+|加国+-+|叫2〃

C.任意四边形ABCD中，M、N分别为A。、BC的中点，G为MN的中点，0为平面

内任意一点，则砺=’（砺+而+无+而）

4

D.AA3C1中，点。为外心，口为垂心，则而=3+历+南

第H卷（非选择题）

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三、填空题

9.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，。，且

（a-b）sin3=a（sinA+2sin3）-csinC,AABC的外接圆半径为2,若。+方有最大值，

则实数f的取值范围是.

10.已知平面向量a,b,其满足1羽=1,出1=2,无5=0,（万-5）e=o..记平面

向量2在不石方向上的投影分别为x,y,2-汗在/方向上的投影为z,则V+V+z?的

最小值为.

11.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内

试卷第2页，共4页

角都小于号时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为号.已知点P为

△A8C的费马点，角A,B,C的对边分别为“，b,c,若cosA=2sin（C-VcosB,

且〃=（a-。尸+6,贝ij24•P8+PB•PC+•PC的值为.

12.已知同一平面内的单位向量则冢）•国-B）的取值范围是.

四、解答题

22

13.已知椭圆「:\+与=1（。>6>0）,耳，鸟分别为其左、右焦点.

（1）若T为椭圆上一点，△历心面积最大值为4石，且此时△百名为等边三角形，

求椭圆的方程；

（2）若椭圆焦距长为短轴长的正倍，点P的坐标为（2a,亿-勿，。为椭圆上一点，

当IPQ1+|。周最大时，求点。的坐标；

（3）若A为椭圆「上除顶点外的任意一点，直线AO交椭圆于B,直线AF,交椭圆于C,

LILU1LILUALILUUUL&1

直线BK交椭圆于。，若4耳=九耳。,86=〃K£>,求几+".（用。、。代数式表示）

14.在AABC中，已知。是BC上的点，4。平分N&4C,且AC-CD=g.

2

（1）若43=2B£）=5,求AABC的面积；

（2）若AB+BD=6,求皿

15.如图所示，AD是A43C的一条中线，点。满足而=2/，过点。的直线分别与

射线AB,射线AC交于"，N两点.

A

占

BDC

（1）求证：AO^-AB+-AC；

33

（2）设4A7="函8，AN=nAC>m>0,n>0,求—I■—的值；

mn

（3）如果AAHC是边长为。（4>0）的等边三角形，求0“+0M的取值范围.

16.已知。£［。,万），向量M=（cosasin。），B=（1,O）,6、4、乙是坐标平面上的三点，

使得西=2［西-（万•西）万］,西=2［西-（5・西）5］.

（1）若。=］，<的坐标为（20,21）,求西；

（2）若。=g,|丽i|=6,求|而：，|的最大值；

（3）若存在ae［0,/r）,使得当丽।=（cosa,sina）时，△42A为等边三角形，求。的所

有可能值.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.D

【分析】

根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得tan],进而求得A的各个三角

函数值，再利用正弦定理边化角求得2关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到

C

IT7T

0<|-C<A<p利用三角函数的性质求得取值范围即可.

【详解】

解：△ABC中a2=b2+c2-2bccosA,S=；bcsinA,

由2s=/-S-c)2,得Z%;sinA=2Z?c-2Z?ccosA,sinA=2(1-cosA)；

A41

=

即2sin—cos—=4sin2—,2-2-2-

222

2x-4

・tanA=-------—

7~3,・・・sinA=-,cosA=-

55

.bsinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC43

■•—=—=------+-,

csinCsinCsinC5tanC5

ITTTTT

•△ABC为锐角二角形，*,*A+C>—,.\0<——C<A<—,

=tan%71-C<tanA，

tanC23

43443255

:.九+-<—x—+-=

55tanC5535153

c

故选：D.

2.A

【分析】

建立坐标系，设£=(小励石=(x0,0),2=(x,y),根据已知条件得到所设未知数的关系，利用

向量模的坐标表示求出忖+同,同的取值范围，代换之后即可逐项判断.

【详解】

解：因为向量夹角为。，设a=(力百，)石=(%。)，。=(%，/>。),

答案第1页，共19页

a+bQ+C，忸-c|=1

因为TTir

[«+如")=(/+x,底+y)

(x-x)2+/

0/yjx2+y2

=----0：；、=j3(二+y2)=瓜_y20=<)"P

f+x-Jx+y[y(y+yj3x)=0

若y=。，则由①得不)=111=工，这与。-/月+丁=1矛盾.

ltt-xt+x-2\x\八

・・.ywO,丁=_底代入(1)得一=y^=———=>'〉x〉0

题2|x|2\x\

t=_>0,x0>2x>0,

x0-2x°

222<x<

由(工一/产+/=(%-x0)+3%=1得/=X+A/1-3X>2x,0~，

...1/rr,一x2+X-A/1-3X2

综上：0<x<—,y=—yJiXjx=x+\]\—3x~,t=—/:-------

20次-3—7f

0cxvgn|1|+H=3x+J1-3f,

令元=&,则sina=V^v,所以aw(0，。)，

|万I+1c|=3x+\/\-3x2=>/3sina+cosa=2sin(a+—),

6

又a+"wQ，彳)，2sin(a+—)e(L2),故历|+©<2,故A正确；

662o

W=x+Jl-3x?,令x=&,贝!)sina=6x,所以aw(0,g)

|r|R~。A/3.2>/3.7t

|/?|=x+\ji-3x~=-^-smcr+cosa=—^—sin(a+—),

a+9邑斗)，地sin(a+C)e(l,型]，故1<|在毡，

3333333

H|2.V-+2A-V1-1T；Kl]lim|a|=0,故B、C、D都错误.

11^/^37-x…

故选：A

【点睛】

平面向量的解题思路：

答案第2页，共19页

(1)利用I平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

(2)建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算进行解题.

3.A

【分析】

根据向量的加法可得2际=通+觉，再由向量的数量积运算得4|而降而。觉?+2福.反,

由0<丽•觉V1x2=2可得选项.

【详解】

因为丽=丽+而+而，EF=ED+DC+CF，

又点E为A。的中点，点尸为BC的中点，所以2京=通+觉，

又因为0<湿衣V1x2=2，

fJj^4\EF^=AB+DC2+1Al3-DC>4+\=5<

JI41EF|2=AB'+DC1+2ABDC<4+}+2\AB\\DC\=5+2x\x2=9>

所以4|而Te(5,9],即।而归卓|],

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的数量积运算，求线段的长度的范围，关键在于待求向量用已知向

量表示，由已知向量的数量积的范围得以解决.

4.C

【分析】

建立坐标系，设尸的坐标，根据而.而=2得到关于x的方程，根据尸的位置分四种情况讨

论方程解得情况.

【详解】

解：以oc所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

则梯形的高为芯豆二7=2,"(T2),8(1,2),C(2,0),£>(-2,0),.问一河哈1).

(1)当尸在QC上时，设尸",0)(-2期：2),则两4=仁-苍1).

______335

于是PE-PF=(-——x)(--x)+1=x2=之，

,当时，方程有一解，当<义，二时，义有两解；

444

答案第3页，共19页

(2)当户在4B上时，设P*,2)(-lM1),则理=而=《3-1).

______3ac

Jf-^PEPF=(-1-x)(^-x)+l=x2--=2,

,当4=-：时，方程有一解，当时，几有两解；

444

(3)当P在AO上时，直线AO方程为y=2x+4,

设P(x,2x+4)(-2<x<-l),贝lj两=(_|_x,_2x_3),所=(|-x,-2x-3).

___3327

于是屋•丽=(-：-x)(：-x)+(-2x-3)2=5X2+12X+^-=2.

Q1QO1

.•.当a=一高或一：<%<7时，方程有一解，当一右<几<_7时，方程有两解；

2044204

(4)当P在8c上时，直线BC的方程为>=-21+4,

设P(x,-2x+4)(l<x<2),则屈=(_1_x,2x_3),府=《一x,2x-3).

____3327

PE,PF—(———x)(——/)+(2.x—3)~=5K2—12x+=A.

o1oQ1

.•.当丸=一右或一：时，方程有一解，当-<-二时，方程有两解；

2044204

综上，若使梯形上有8个不同的点尸满足两•两=4成立，

51I5I91Q1Q1

则4的取值范围是(一1，—]^(--,,-：)c(-右，,--).

44442042()42()4

故选：C.

5.A

【分析】

由向量加减的几何意义可得丽=2竺+/，结合已知有丽=网+则，根据三点共线

333x3y

知;+；=1,应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.

3x3y

【详解】

答案第4页，共19页

ACAB

由题设，如下图示：AP=AB+BP=AB+—=AB+^=^-+—f又丽7=x丽,

3333

A2V=yAC(x>0,y>0),

..•2,AMANIA/nKT­•I-II?ly-A-2l[

..AP=----+—,由M,P,N二点共线，有丁+t丁=1,

3x3y3x3y

.•.2x+y=(2x+y)m+m=：+M+MW+2但李=3,当且仅当x=y时等号成立.

3x3y33y3x3\3y3x

故选：A

【点睛】

关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到行、AM，丽的线性关系，根据三点

共线有f+；=l，再结合基本不等式求最值.

3x3y

6.C

【分析】

原式可化为(片+从)，(5吊Acos8-cosAsin4)=(。2-Z?2)(sinAcosB+cosAsinB),然后利用正弦

定理、余弦定理进行边角互化，得出。，b,。的关系.

【详解】

解：由^^=得:，且出,

黑W(a2+6)sin(A-B)=(a2-6)sin(A+B)b

(cr+Z?)(sinAcos8-cosAsin8)=(/-tr)(sin74cosB+cos/AsinB),且a，b,

/.(cr+ft2)-(4zcosB-bcosA)=f«2-Z?2)(acosB+/?cosA),

(〃2+/).

2ac2bc2ac2bc

答案第5页，共19页

化简整理得：)=(<22_〃9，即。2)(“2-〃2)=0,

.•.42=62或42+。2=。2,又41/,,

.•.△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判定，难度稍大.解答时，利用正、余弦定理进行边角互化是难点.

7.BC

【分析】

设方=-ZAB(O<2<1),DG=ADC(O<//<1),利用向量的基底表示的方法表示出向量而，

然后计算|而『，并且表示为关于4〃的关系式，再结合儿〃的取值范围判断即可.

【详解】

解析：如图所示，由题意知而，AC>而两两夹角均为60，设方=-/lA庆,

DQ=pDCffl</z<1),贝！］PQ=PA+AD+DQ=—AAB+AD+/A^AC—AD^

=_汨+0_〃闻+〃恁，所以

|珂=万画,+(l_〃升珂+〃［同+24(〃-1)被亚

+2〃(1-〃)通/-2初福•恁

=A2a2+a2-2/ja2+2ju2a2+Ajua2-Aa2+(ja2-ju2a2-A/ja2=a2+//2-//-2+1)=［义一；)

因为0W/W1,0</z<l,所以①(4",即而

故选：BC.

【点睛】

利用向量计算距离的取值范围问题，一是建立直角坐标系，表示相关点的坐标，利用模长的

答案第6页，共19页

坐标公式表示出所求距离，再利用函数的性质或者基本不等式求解最值；二是利用向量的基

底表示方法表示出所求向量，计算模长的平方，然后利用函数的性质或者基本不等式求解最

值.

8.BCD

【分析】

对A：设0为正三角形ABC的内心，P为内切圆圆周上一点，（西+丽）•（斤+用）=0,

所以百+而与定+所垂直，所以选项A错误；

对B：取所+。8+…+Og；的反向延长线与单位圆的交点为M,贝IJ碗与

%+砒+…+明共线同向时，有|京相丽卜…同

2〃阀司+|西+OR+…+西标〃，所以选项B正确；

对C：因为西+加+反+砺=4砺+2/+再后=4砺，所以选项C正确；

对O：作直径2。，连接AD,可得四边形为平行四边形，所以

OH=OA+AH=OA+DC=OA+OC-OD=OA+OB+OC所以选项D正确.

【详解】

解：对4：如图所示,O为正三角形ABC的内心，P为内切圆圆周上一点，满足丽，丽，无，所

两两不共线，而（而+丽）•（无+而）=（而+砺+所+而）（而+而+所）

={2Pd+OA+OB\[2Pd+OC]=（2Pd-OC]（2PO+OC]=^PO-OC=0,

所以丽+而与无+的垂直，所以选项A错误；

对B：如图，当〃=1时，|折卜|丽+西当两与OR共线同向时，

画=网+西>网=1;

当”=2时，画+|叫=画+网+即+西淬屈+（西+西卜

答案第7页，共19页

当丽与西+两共线同向时，有|2旗+（西+西）|=2|而|+|西+阿卜2；

同理，可取OR+Og+…+国的反向延长线与单位圆的交点为M,则被与

西+强■+…+丽共线同向时，有|知同+|阿卜…+附图

=|诟+西卜画+西+•.•+画+西卜卜旃+西+•/

="砺|+|砒+西+~+可：卜〃，所以选项B正确；

对C-.因为OA+O8+OC+OD=（OG+GA）+（OG+GB）+（OG+GC）+（OG+G£>）

=4OG+（GA+GB+GC+GD）=4OG+（GA++GD）+（GB+GC）

=4OG+2GM+2GN=4OG>

所以前=!（历i+丽+南+而），所以选项c正确；

对。：如图，作直径B。，连接AQ,则AOJ_AB,又因为H为三角形ABC的垂心，

所以CHLAB,所以CH//AD,同理A//〃8,所以四边形AHCD为平行四边形，

所以而=西+而=）+友=砺+无-而=西+而+能，所以选项D正确.

答案第8页，共19页

故选：BCD.

【分析】

根据正弦定理、余弦定理化简得到C=,，再利用正弦定理与三角恒等变换将。+方化简为

^(4?-2)2+12-sin(B+6»).再根据。+方存在最大值，分析tan。的范围列式即可

【详解】

由己知及正弦定理可得(。-。)3=4(4+»)-/,整理得由余弦定理得

又得C#'由正弦定理得熹a

^A=4A,

a+tb=4(sinA+1sin8)=4/sinB+4sin8]=4/sin8+4

122J

=(4r-2)sinB+2且cos8=J(4f-2『+12•sin(8+6>),

其中tan。=°,又Be(。,1),

2/-1I3；

二若a+加存在最大值，即8+，=、有解，即研?

2/-1>0,

•••,正〉理解得g<r<2,即r的范围是(g,2).

2r-l>T，

【分析】

由题意可设万=(1，0),6=(0,2),c=(m,n),由投影的定义及表示方法可得2x+y-6z=2,

再结合柯西不等式即可得解.

【详解】

解法一：由题意，设2=(1,0),b=(0,2),c={m,n),则(£—B)"=S-2"=0,即〃?=2〃,

又向量7在2，B方向上的投影分别为x，y,，2=(x,y),

D在2方向上的投影z=/普=〃，1)+少'=幺•,即2x+y士心=2,由

RIylm2+n2V5

答案第9页，共19页

222

柯西不等式得/+y2+z2=\2?+产+(土石，(x+/+z)>^(2x+y±>/5z)=|)当且

2

x=—

x_y_z5

7

仅当<21-y/5即<y=g时，等号成立,，X2+/+z2的最小值为y.

2x+y-6z=2

=_无

一5

2

故答案为：

解法二：设"二。,0),b=(0,2),c=(m,n),则(£一行)・"=加-2〃=0,即m=2〃，故^=(2〃,〃)

又・・•向量［在3，坂方向上的投影分别为羽y,

・・d=(x,y),d—a=(x—1,y)

\d-a^-c2/z(x-l)+ny(2x-2+y)n

・・・2-d在^方向上的投影z=

c6同V5|n|

422

X——x+—>—

3335

2

故答案为：y.

11.6

【分析】

化简cos4=2sin(C-VcosB求得8=。，结合余弦定理以及从=(…『+6求得吟利用

三角形的面积列方程，化简求得RbPB+PbPC+RVPC

【详解】

•/cosA=2sinC--cosB,

I6j

/.cosA=2-^-sinC——cosCcos8,即cosA=GsinCcosB-cosCcosB,

22

VA+B+C=TT,

/.cosA=—cos(B+C)=—cosBcosC+sinBsinC,

**--cosBcosC+sinBsinC=>/3sinCeosB-cosCeosB,即sinBsinC=y/3sinCcosB,

答案第10页，共19页

丁sinCw0,・，.tanB=-—=百,

cos3

・.・3£(0,乃)，:.B=g

由余弦定理知，cosg=a+c=-,

lac2

・.・/=(a—c)2+6,

ac=6,

127r127r124

SABC=-PAPBsin—+-PB•PCsin—+—PA•PCsin——

"ABC232323

1.口1A.乃3g

=—acsinB=—x6xsin—=-----,

2232

:.PA-PB+PB・PC+PA-PC=6.

故答案为：6

【点睛】

三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，在解决与三角形有关的问题时，要注意结合余弦

定理、正弦定理、三角形的面积公式.

「1J

12.--,4

L2」

【分析】

可设£=(1,0),1二(cosa,sina),1二(cos以sin0,转化为坐标运算，再化简转化成三

角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题.

【详解】

设e2=(1,0),e}=(cosa,sina),%=(cos/?,sinp),

贝ij4)(/一/)=(1-cosa,-sina)•(1—cos仇-sin/3)

=1-cosa-cosP+cosacos尸+sinosin夕

=1+cos(a—力)一(cosa+cos/3)

i〜a-+pa—°、+Ba-13、、

=1+cos2(J)-[cos(——+——)+cos(--------1-)]

22222

个2a—pca+J3a—p

222

由令，=cos丝/,则

y=92_外)，(。2-=2〃—2cosa+Jt,rG[-1,1]

答案第11页，共19页

函数开口向上，对称轴为/°=-：cos缺

2222

a-B.a+6a-B,。+尸

故当"cos----=1,cos---^=-1t或，=cos----=-1,cos----=,

2222

Jnm=4;

wa+Ba-B1a+/3.a-B1,

当cos-=1,t=cos-=—或cos-=-1,t=cos-=——M时，

222222

1

Win=--，

故ye[-g,4].

故答案为：-g，4.

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考

查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.

v-2丫2A2

13.(1)土+2_=1；(2)(0,-〃)；(3)彳一2.

1612h2

【分析】

(1)当点在短轴的端点时，焦点三角形的面积最大,且此时的三角形为等边三角形6=Kc,

即可求出〃,C,从而求出椭圆的方程；

(2)由椭圆的定义,将|尸。|+|。4|转化为2a+(|PQ|-|Q闯)4%+|尸段,则可知最大值时

RQ,每三点共线，且鸟©0)在P,Q之间，联立方程求出点的坐标；

(3)先从特殊位置入手，求出2+〃的值，再在一般位置时设直线方程月耳：X=")，-%

〃?=X联立方程组，，借用韦达定理结合共线关系可得2=-&,从而表示出2和〃的值，

X%

最终求出结果.

【详解】

(1)•.•△77谯面积最大值为税=，

又此时ATF,F2为等边三角形，则8=6c

;.c=2,6=2石，则a?=〃+。2=16,

22

.•所求椭圆的方程为三+E=1；

答案第12页，共19页

(2)由题知C=3b，又/=从+°2,则”=相，

\PQ\+\QFt\=\PQ\+(2a-\QF2\),

^2a+(\PQ\-\QF2\)<2a+\PF2\

当且仅当RQ,乙三点共线，且g(c,0)在RQ之间时，等号成立,

此时直线PE的斜率为4=叵心=理一%=立,

2a-c2回一后2

直线的方程为：y=*（x-gb）,将其代入焉+£=1,

6忆

x---b

解得I[x=I0或5

9

_b_

~5

因为用（C,O）在P,Q之间，所以。（0,—力;

（3）①若点A落在左顶点4一”,（）），则94,0）,C（4,0）,D（-«,0）

又耳(-c,0),5(c,0),

UUUUU1B

所以Af；=(a-c,0)，KC=(a+c,0),

utuuUUU

BF[=(-a-c,0),F}D=(-a+c,0)

UUULLLUBUUUlLlUU

因为M=诏C,BF}=/JF\D,

■a-c-a-ca+c

所以义=----,〃=-----=----,

a+c-〃+ca-c

ca-ca+c2(a2+c2)

4+4=——+——=—~—

Q+Ca—ca—c

2(a2+a2-h2)4a2_

=一手—二L

答案第13页，共19页

②若点A落在右顶点A(a,O),同理可得几+〃=卓44一2,P

③当A落在其他点时，直线A6的斜率都为零，

设直线A耳:x=/ny-c,%=空上

x=my-c

由2(b2m2+a2)y2-2b2mcy-b^=0,

F+彳=1

lab"

设A(x”y),C(X2，y2),由韦达定理得：

,,_一方

)h222

'~bm+a~b2(xL±c)2+a2

-b^

22222

bx^+2bcxi+bc+ayf

2b2cx+b2c2+a2b2

2cx+c2+a2

uuumiui

AF；=(-c-xl,-yl),FlC=(x2+c9y2),

22

UUUuuuy.2cx.-hc+a

由A£二4片C,得几=一放=-—]i-------，

设B(F，-X),D(X3，%),则同理可得〃=2g；,+a-,

,..2(/+,2)4a2c

所cc以x2+〃==~~-=—--2.

b-b-

【点睛】

关键点点睛：（1）关键是当点在短轴的端点时，焦点三角形的面积最大，即可求出"c,从

而求出椭圆的方程；

（2）关键是利用椭圆的定义,将IPQI+I的|转化为2a+（|PQ|-|Q闾）＜2a+|P闾,则可知

答案第14页，共19页

最大值时P，。，巴三点共线，且K(c,o)在只。之间，联立方程求出点的坐标;

(3)关键是先从特殊位置入手，求出几+〃的值，再在一般位置时设直线方程AF,-.x=my-c,

联立方程组，根据共线关系，借用韦达定理表示2和"的值，最终求出结果.

14.

(1)6；

(2)3.

【分析】

(1)由角平分线的性质可得A若C=2,结合已知求AC,CD,进而可得NAC5=90。，由三角

形面积公式求面积即可.

ADAC

(2)令券=奇=/1、AB=c,AC=b结合已知得到几与Ac的关系，过8作比〃AC交

延长线于E,有丽布=二亚，由而=而+而即可得而，而，前的线性关

系式，应用向量数量积的运算律求标的模即可.

(1)

在中，由角平分线性质：普=畀=笑=黑=2,而AC-C£»=I，

ACCDCDBD2

AC=3

3,

：.\CD=-

12

AAB=5,AC=3,BC=4,易知：ZACB=90°,

S4ABC=5*3x4=6.

答案第15页，共19页

AB=^-

2+1

3力

ARACAC-CD=-

^—=—=2,AB=c.AC=b,BC=a,又《2AAC=f，

BDCD

AB+BD=6

BD=­

A+l

3

CD=-2-

Z—1

b

如图过8作BE〃AC交49延长线于E,则8E=AB且屁=£/，AD=AE

bh+cf

又奉福+福即等祝通+济,

：.AD=-^AB+-^ACf

h+cb+c

hjt、—22b2c2he,b2+c2-a22/?2c2+bc{h2+c2-a2

两边平方，AD=-~~^+2--——>bc---------^―i--------

S+c)(b(He)

=9,

S+c)

:.AD=3.

15.

(1)见详解

(2)3

答案第16页，共19页

【分析】

(1)根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；

(2)根据题意，用赤和福表示布，结合用，0,N三点共线，即可求解；

(3)根据题意，结合(1)(2)用通和尼分别表示出丽和丽，进而可以表示出0/+。解,

再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.

(1)

证明：因而=2而，所以标=1而，又因。为BC的中点，所以而=g(而+/)，所

—2—>1—1——

以AO=-AD=—A8+—AC.

333

(2)

__________.1_.1

因=月，AN=nACm>0，几>0,所以A8=—AM,AC=-AN,又因

mn

而=，通+,/，所以标=」-疝'+1丽，又因M,0,N三点共线，所以/-+3=1，

333机3〃3m3〃

即LL3.

tnn

(3)

____,_,_.1一1—»11

设4MAN=nAC，m>0,n>0,由(1)(2)可知A°=二A8+二AC,—l—=3,

33mn

即m+n=3mn.

因病=而-E网二通」而ON=AN-AO=-AC--AB,

3333

所以O"+ON2Kl通-g恁j+(平正通J

]_

(9〃/—6m+2

9

又因△ABC是边长为>0)的等边三角形,

所以OM-OM=a"7[m~2+n")-m-n+—乙

I3

,—44

令t=mn,因3mli=\+〃22Jmn,B|Jmn>—,当且仅当〃?=〃时，等号成立，所以

222222

因此4+〃2-m-n+—=^rn+ny—5mn+