高中数学必修选修知识点归纳

高中数学必修+选修知识点归纳

§131、单调性与最大(小)值

必修1数学知识点1、注意函数单调性的证明方法：

第一章：集合与函数概念(1)定义法:设口、/句，*1<%2那么

§1.1.1、集合——2)<0=/(X)在句上是增函数；

1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总y(xt)-/(x2)>0o/(x)在［a,。］上是减函数.

体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无步骤：取值一作差一变形一定号一判断

序性。格式：解：设e［a,b］且X］<*2，则：

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

/(芭)-/(々)=…

集合相等。

(2)导数法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，

3、常见集合：正整数集合:N*或N*,整数集合:者f\x)>0,PIOf(x)为增函数；

Z,有理数集合:Q,实数集合:R.若则为减函数.

4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.3.2、奇偶性

§1.1.2、集合间的基本关系

1、一般地，如果对于函数/(x)的定义域内任意一个

1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任

意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是x,都有/(—x)=/(x),那么就称函数/(x)为

集合B的子集。记作AqB.

2、如果集合A=但存在元素且x史A,偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

则称集合A是集合B的真子集.记作：A0.

2、一般地，如果对于函数/(x)的定义域内任意一个

3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：。.并规定：

空集合是任何集合的子集.

x，都有/(—x)=—/(x),那么就称函数/(x)为

4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2"个子

奇函数.奇函数图象关于原点对称.

知识链接：函数与导数

集，2"—1个真子集.

1、函数y=/(%)在点4处的导数的几何意义：

§1.1.3、集合间的基本运算

1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成函数y=/(幻在点/处的导数是曲线y=/(幻在

的集合，称为集合A与B的并集.记作:A\JB.P(xo，/(x。))处的切线的斜率r(x°)，相应的切线方

2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素

程是y-y=f'(x)(x-x).

组成的集合，称为A与B的交集.记作:ACIB.000

2、几种常见函数的导数

3、全集、补集?CuA={x\x^U,^x^U]

①C'=0；②(x")=nx"T；

§121、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应③(sinx)=cosx；®(cosx)=-sinx；

关系/,使对于集合A中的任意一个数X,在集

合B中都有惟一确定的数/(x)和它对应，那么就⑤(/)=axIna；⑥(e")=ex；

称/:A->8为集合A到集合B的一个函数,记

作：y=/(x)，xwA.⑦(k)g“x)'=-?—；⑧(Inx)’」

xlnax

2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

3、导数的运算法则

城.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完

(1)(w±v)=u±v.

全一致，则称这两个函数相等.

(2)(wv)=wv+wv.

§1.2.2、函数的表示法

1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

/〃、'UV-UV/八'4、运算性质：

(3)(-)=——；—(v^O).

VV(l)a'as=ar+s(a>0,r,5eQ)；

4、复合函数求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数⑵(优)'=a"(a>0,r,swQ)；

y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y；=yt'-〃：，

即y对x的导数等于y对〃的导数与"对x的导数的(3)(ab)'-a'br(a>0,&>0,re0).

乘积.

解题步骤:分层一层层求导一作积还原.§2.1.2、指数函数及其性质

5、函数的极值

(1)极值定义：

极值是在与附近所有的点，都有/(x)</Qo)，

则/(%)是函数f(x)的极大值；

极值是在X。附近所有的点，都有/(x)>/&o),

则f(Xo)是函数.f(x)的极小值.

(2)判别方法：

①如果在与附近的左侧f\x)>0,右侧f\x)<0,

2、性质:

那么/(与)是极大值；

a>10<«<1

②如果在飞附近的左侧/‘(x)<0,右侧/(x)>0,

图

那么/(%)是极小值.

象

6、求函数的最值

(1)求丁=/(x)在(。/)内的极值(极大或者极小值)•

(1)定义域：R

(2)将y=/(x)的各极值点与/(a),/S)比较,其中性(2)值域：(0,+8)

质(3)过定点(0,1),即x=0时，y=l

最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数

注：极值是在局部对函数值进行比较(局部性质);

⑸x>0,/>1;(5)x>O,O<tzx<1;

最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

x<0,0<优<1x<0,a>1

§2.2.1、对数与对数运算

第二章：基本初等函数(I)

§2.1.1、指数与指数基的运算1、指数与对数互化式：/=N=x=log“N；

1、一般地，如果x"=a,那么x叫做a的“次方根。

2、对数恒等式：i=N.

其中〃>eN+.

3、基本性质：lOg“l=0,lOgoOnl.

2、当〃为奇数时，叱=a；

4、运算性质：当a>0.aWl.M>0,N>0时:

当〃为偶数时，VF=|«|.

(l)logu(W)=log(,M+log(,N；

3、我们规定：

n__

=log„M-log„N；

(l)an,

(a>0,m,〃wN*,m>1)

(3)log(,M"-〃k)g“M.

⑵a-=」(〃>0)；

a"

5、换底公式：log“0=^&qo函数y=/(x)的图象与x轴有交点

log"

o函数y=/(x)有零点.

(a>0,aw1,c>0,cw1,b>0).

6、重要公式：log*"=」log“。2、零点存在性定理：

"n如果函数y=/(x)在区间卜,“上的图象是连续不断

7、倒数关系：log“人=-—(0>0,“*1/>0/41).

的一条曲线，并且有/(a)"⑹<0,那么函数

1%a

§2.22、对数函数及其性质

y=/(%)在区间(a,b)内有零点,即存在ce(a,/?),

1、记住图象：y-log,,x(a>0,a/1)

使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

1、掌握二分法.

§3.2.1、几类不同增长的函数模型

§322、函数模型的应用举例

2、性质:1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函

数拟合，最后检验.

a>\Q<a<\

图ii必修2数学知识点

Q.i0i

象

第一章：空间几何体

1、空间几何体的结构

(1)定义域：(0,+8)

⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：

性(2)值域:R圆柱、圆锥、圆台、球。

(3)过定点(1,0),B3x=l时，y=0

质⑵棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数

每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围

(5)x>l,logt/x>0；(5)x>l,logrtx<0；

0<x<l』og〃xv00<x<l,logzix>0成的多面体叫做棱柱。

§2.3、幕函数⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与

1、几种基函数的图象:截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影

的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫

平行投影，平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

第三章：函数的应用

§3.1.1、方程的根与函数的零点

1、方程/(x)=0有实根

平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。

⑵圆锥侧面积:S侧面=万"・/

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

⑶圆台侧面积：=7T-r-l+7r-R-l

SMffl

⑷体积公式：第三章：直线与方程

%邪=5-〃；V锥体

1、倾斜角与斜率：A=tana=—~~-

%一项

腺体=卜+内方+s。

2、直线方程：

⑸球的表面积和体积：

⑴点斜式：y-y0=k（x-x0）

S球=4成2,唳J*.

⑵斜截式：y^kx+b

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条

⑶两点式：口=9

直线在此平面内。

x-x}x2-x}

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它xv

⑷截距式：一+2二1

们有且只有一条过该点的公共直线。ab

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

⑸一般式：A%+8y+C=0

5、邈：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这

两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。3、对于直线：

7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直

:y=k'X+b'J2:y=22工+”2有:

线和平面相交。

8、面面位置关系:平行、相交。

k、—k,

9、线面平行:⑴/J〃20V

A+b

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则2

该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行保

(2)/j和/2相交=匕W&；

⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则

k=k

线线平行）。⑶4和乙重合二।2

4=b

10、面面平行:2

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

⑷4_L/<=>kk——1.

则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。9x2

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么4、对于直线：

它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。

A:Ax+gy+G=0,

11、线面垂直:1-J

l:X,

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，2A2+B2>+C2=0

那么就说这条直线和这个平面垂直。

A^2~4旦

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，(1)Zj///20V

B、C?wB2cl

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

⑵/1和/相交oA,BwAB；

12、面面垂直:222［

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

AjB2=A2B1

角，就说这两个平面互相垂直。⑶4和l2重合=<

BC=B2cl

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个X2

⑷1/2。A&+8也=0.由用=J(*2--)2+(%-4C+3-ZJ

5、两点间距离公式：

由61=-。+（必-必（必修3数学知识点

6、点到直线距离公式：第一章：算法

1、算法三种语言：

|Ax0+By0+C|

a=.=—自然语言、流程图、程序语言；

VA2+B2

2、流程图中的图框：

7、两平行线间的距离公式：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等

规范表示方法；

Ax+8y+G=0与4：Ar+By+C2=0平行,

3、算法的三种基本结构：

|c,-c2|当型循环结构

则d=-I^1-顺序结构、条件结构、循环结构

7A2+B2直到型循环结构

第四章：圆与方程⑴顺序结构示意图:

1、圆的方程：

⑴标准方程：（x-a）2+0-人『=『

其中圆心为（。力），半径为八

(图1)

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

⑵条件结构示意图：

irxrp1,

其中圆心为(---,----)，半径为r=~\D~+E~-4F.©IF-THEN-ELSE格式:

222

2、直线与圆的位置关系

直线Ax+8y+C=0与圆(x—a)2+(y—0)2=/

的位置关系有三种：

d>ro相离=△<()；

d=ro相切<=>A=0；

d<r=相交=△>().

弦长公式:/=2,2一屋

=Jl+kyj（%）w）24X|X,

3、两圆位置关系：d=\O{O2\

⑴外离：d>R+ri

⑵外切：d=R+r；

⑶相交：R—r<d<R+r；

⑷内切：d=R-r；（图3）

⑸内含：d<R-r.⑶循环结构示意图：

3、空间中两点间距离公式：①当型（WHILE型）循环结构示意图:

WHILE条件

循环体

（图4）

WEND

直到型循环（UNTIL）语句的一般格式:

DO

循环体

LOOPUNTIL条件

（图5）

⑹算法案例：

①辗转相除法一结果是以相除余数为0而得到

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

i）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和

一个余数/?0:

ii）：若&=。，则n为m,n的最大公约数；若凡

70,则用除数n除以余数%得到一个商5和一个余

数鸟;

iii）：若&=0,则一为m,n的最大公约数;若R产

0,则用除数&除以余数与得到一个商52和一个余数

4、基本算法语句：

生；……

①输入语句的一般格式:INPUT"提示内容,）；变量|

依次计算直至&=0,此时所得到的即为所求

②输出语句的一般格式：PRINT"提示内容”；表达式的最大公约数。

③赋值语句的一般格式：变量=表达式②更相减损术一结果是以减数与差相等而得到

（“=”有时也用“一”）利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：

④条件语句的一般格式有两种：i）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。

IF—THEN—ELSE语句的一般格式为:若是，用2约简；若不是，执行第二步。

ii）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与

IF条件THEN所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直

语句1到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的

最大公约数。

ELSE

③进位制

语句2十进制数化为k进制数一除k取余法

（图2）

ENDIFk进制数化为十进制数

第二章：统计

IF—THEN语句的一曜格式为：1、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少）

IF条件THEN②系统抽样（总体个数较多）

语句③分层抽样（总体中差异明显）

注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本,

ENDIF（图3）

每个个体被抽到的机会（概率）均为己。

N

⑤循环语句的一般格式是两种：2、总体分布的估计：

⑴一表二图：

当型循环（WHILE）语句的一般格式:

①频率分布表一一数据详实⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；

②频率分布直方图一一分布直观⑵古典概型的特点：

③频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势①所有的基本事件只有有限个；

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。②每个基本事件都是等可能发生。

⑵茎叶图：⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则

的分布，以及中位数、众位数等。

事件A发生的概率尸(A)='.

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大n

书写，相同的数据重复写。3、几何概型：

3、总体特征数的估计：⑴几何概型的特点:

⑴平均数：(J]+&+&+.••+/；①所有的基本事件是无限个；

n②每个基本事件都是等可能发生。

取值为XJ,X2,---,XM的频率分别为P]，P2,…,P"，则其⑵几何概型概率计算公式：P(G=萼罂；

平均数为项〃1+%2〃2+…+%〃〃〃；力的测度

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、

⑵方差与标准差：一组样本数据画,0，…，/体积等。

„_24、斤.斥事件：

方差:⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件;

/=!⑵如果事件A”A2,A”任意两个都是互斥事件，则称

事件A，A2,…彼此互斥。

标准差：s=⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，

等于事件A,B发生的概率的和，

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。即：?(A+B)=尸(A)+P(8)

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的⑷如果事件A，&，…,4彼此互斥，则有：

稳定水平。P(A|+A2+■■■+A,t)=P(Aj)+P(A2)+---+P(An)

⑶线性回归方程⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；这两个事件为对立事件。

②制作散点图，判断线性相关关系①事件A的对立事件记作入

③线性回归方程：y=bx+a(最小二乘法)P(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(A)

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事

件。

h=J=1

£xf-nx必修4数学知识点

i=i

第一章：三角函数

a-y-bx§1.1」、任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.

注意：线性回归直线经过定点65)。

2、与角a终边相同的角的集合：

第三章：概率

{/^/3=a+2k7v,kGZ].

1、随机事件及其概率：

⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母§1.1.2、弧度制

表示；I、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做LA度

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；的角.

⑶随机事件A的概率：P(A)=-,O<P(A)<1.2、|tz|——.

n

2、古典概型：

3、弧长公式：/="-=同/?.sin(乃+a)=-sina,

cos(^+a)=-cosa,

4、扇形面积公式：S=^-=-IR.tan(乃+a)=tana.

--------36023、诱导公式三:

\

§1.2.1、任意角的三角函数sa)-

in(-z-sina,

\

1、设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点cs0a)-

zcoscr,

(-\

P（x,y）,那么：sina=y,cosa=x,tana=—Va)-

an(-7-tana.

X

4、诱导公式四:

2、设点A（x,y）为角a终边上任意一点，那么：（设

sin(万一a)=sina,

厂=卜+/）cos(〃-a)=-cosa,

tan(〃-a)=-tana.

yxyx

=—,cosa=—,tantz=—,cota=—5、诱导公式五:

rrxy

sinly-crl=coscr,

3、sina,cosa,tana在四个象限的符号和三角

函数线的画法.

正弦线：MP;

余弦线：0M;6、诱导公式六:

正切线：AT.（7t）

sml—+6Zl=coscr,

（71

5、特殊角0。，30。，45。，60。，cos—+a\=一sina.

\2）

90°,180°,270等的三角函数值.

K

03nIn§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

anJI2”3n

~6~4T~2~2~1、记住正弦、余弦函数图象：

sina

cosa

tana

§122、同角三角函数的基本关系式

1、平方关系:sin?a+cos2a=1.

2>商数关系:tana------.

coscr

3、倒数关系：tancrcota=1

§1.3,三角函数的诱导公式

（概括为“音变儒不变，符号看/限"keZ）义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、

奇偶性、单调性、周期性.

1>诱导公式一

sin（a+2Z））=sina,3、会用五点法作图.

cos（6Z+2kjr）=cosa,（其中：kGZ）

tan（6Z+2左乃）=tana.

2、诱导公式二:

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象:

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周邛函数与义:对于函数如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有

〃x+T)=/(x),那么函数于3就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y=sinxy=cosxy=tanx

yy

3_?\JV^51

图象