高中数学：崇仁中学高一数学寒假作业十五答案

第15练函数y=Asin（3x+6）与三角函数的应用

积累运用

【知识梳理】

co,（p对函数y=Asin（“；H■夕）图象的影响

(1)9对〉=$曲（》+9）,xGR图象的影响

时向左

平移个

gsinx卜，.v=sin(x+<p)的图画

”单位长度

丘<（）时向右｝

(2)33>0）对y=sin（3x+0）图象的影响

2.由函数y=sinx的图象得到函数y=4sin（0x+。）的图象的途径

由函数y=sin_r的图象通过变换得到>=而皿5+夕）的图象有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先

伸缩后平移”.

（1）先平移后伸缩

.向左（w>0）或向右（9<0）./,、

km的图象平移⑷个单位长度”=sm（HG

横坐标变为原来的《倍

的图象------卬二广二二3一►幽左旦的竺土包的图象

纵坐标不变------------匚

纵坐标变为原来的A倍*.,、川…

--------------------r=Asin（cor+火）的图象.

横坐标不变Y

（2）先伸缩后平移

横坐标变为原来的］■倍

'=sinz的图象-------纵坐标不变s®=sis的

图象姮d=sin(u+G的图象

平移蚓生个单位长度

0)

纵坐标变为原来的A倍

=Asin(sz+p)的图象.

横坐标不变

3.函数y=Asin(gx+0)(A>0,o>0)的性质

定义域(―OO,4-00)

值域[―A,A]

女

周期T=

co

当时为奇函数

当火=垢+当/”时为偶函数

奇偶性

当尹岑/ez时为非奇非偶函数

直线1=红十萨一卫(AGZ)

图象的0)43CO

对称轴

求法：令3工+中=&兀+3可求

图象的对称中心：(红一卫，o)/ez

对称\CD3/

中心求法：令+可求

令—^-+24兀&3工'+4&今+2标,4£Z可求单

调递增区间

单调性

令£+竽+2配#GZ可求单调

递减区间

注意隐含条件：

(1)两条相邻对称轴之间间隔为3个周期;

(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值.

4.函数y=Asin(sx+e)(A>0,。>0)中，A,co,。的物理意义

⑴简谐运动的振幅就是就

(2)简谐运动的周期T=2*7r

⑶简谐运动的频率户4=合

(4)ox+。称为相位.

(5)x=0时的相位。称为初相.

【易错点拨】

1.先平移和先伸缩作图时平移的量不一样.

2.求＜p值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别.

3.选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际生话.

基础过关练

1.(2021・北京・大峪中学高一期中)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y

=3sin寻+夕)+鼠据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()

A.5B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】

由题干图易得3=2,则攵=5.

•'•ymax=k+3=S.

故选：C

2.(2021.全国•高一课时练习)设/。)=不皿的+9)+8(4＞0,口＞0)的定义域为/?,周期为学，初相为，

36

值域为[T,3],则函数f(x)的解析式为()

7T7F

A./(x)=2sin(3x4-—)+1B./(x)=2sin(3x+—)-1

66

TT7T

C.f(x)=-2sin(3x+—)-1D./(x)=2sin(3x——)+1

66

【答案】A

【解析】

因为_A+B=TA+8=3,

所以A=2,B=1,

因为7=生=4，

co3

所以。=3,又3=2，

6

故/(x)=2sin(3x+—)+1.

6

故选：A

3.(2021•云南・昆明一中高二期中)为了得到函数y=3sin(2x+?)的图像，只需把函数y=3sinx图像上所

有点()

A.向左平行移动W个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的g

B.向左平行移动?个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍

C.向左平行移动?个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的J

D.向右平行移动g个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的g

【答案】A

【解析】

将y=3sinx向左平移(长度单位，得到y=3sin+,再把所得的各点的横坐标缩短到原来的寺，可得

y=3sin(2x+9卜勺图象，

故选：A

4.(2021・福建・福清西山学校高三期中)将函数/(x)=sin(2x-°)的图象向右平移1个单位长度后，得到的图

O

象关于y轴对称，则。的值可以为()

TC—兀―乃一兀

A.B.7C.-D.一

2632

【答案】B

【解析】

平移后解析式为g(x)=sin2(x-g)-e=sin(2x-g-e),它的图象关于丫轴对称，则夕+1=以+1,&€Z,

_oJ332

(p=kn+¥,keZ,只有B满足.

6

故选：B.

5.(2021•宁夏・贺兰县景博中学高二期中(文))将函数f(x)=cos2x的图象向右平移£个单位后得到函数

g(x)的图象，则g(x)()

A.图象关于x=］对称B.图象关于点对称

C.在［三,?)上单调递减D.在(0,上单调递增

【答案】D

【解析】

g(5)=sin开=0w±l,故A错误;

对选项A,

对选项B,Lsin—=^^0,故B错误;

I8J42

有增有减，故C错误.

对选项D,T。，：｝2xe(畤

所以g(x)在区间(0,；)上单调递增.故D正确.

故选：D

6.(2021・全国•高一课前预习)如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置。的距离scm和时间fs的

函数关系式为s=6sin(l00加+J),那么单摆来回摆一次所需的时间为.

6

【答案】0.025

【解析】

■JT

由s=6sin(l00加+—),

6

单摆来回摆一次为一个周期,

由7=2-」=0.02s.

100150

故答案为：0.025

7.(2021.全国•高一专题练习)已知函数/(x)=Asin(a*+/)(A>0,3>0,0<e<7t)在一个周期内的图象如

图所示，则函数〃x)的解析式为.

【答案】〃x)=2sin(Jx+：)

【解析】由图象知：A=2,T=4X^-^=4TT,

2441

所以师=4"，又因为<y>0,所以。=],

所以/(x)=2sin(gx+*),

又'O2，所以2sin(gx]+\=2,即sin(?+/=l,

TT

又因为所以。=:，

4

所以/(x)=2sin(gx+().

故答案为：/(x)=2sin(gx+?).

8.(2021•云南•砚山县第三高级中学高一期中)下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题:

(1)写出这个简谐运动的振幅、周期与频率

(2)从。点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.

【答案】(1)振幅为2cm,周期为0.8s,频率为7；

4

(2)如果从。点算起，到曲线上。点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完

成了一次往复运动；

51

(3)y=2sin^-x,xG[0,+co).

【解析】

(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm,周期为0.8s,频率为人=二；

0.84

(2)如果从。点算起，到曲线上。点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完

成了一次往复运动；

(3)设这个简谐运动的函数解析式为y=Asin(5+e),xe[0,+<»),由图像可知：A=2,。=0,又由

T=—=0.8,得：。=竺

co2

所以所求简谐运动的函数解析式为y=2sin[0,+w).

TT

9.(2021.全国•高一课时练习)函数/(x)=Asin(ox+s)(A>0,<y>0,|夕|<1)的一段图象(如图所示).

(1)求函数函》)解析式;

(2)求函数/*)的单调递增区间；

(3)求函数/⑴在区间[-£，刍上的最大值和最小值.

46

jr<rrrr

【答案】(1)/(x)=2sin(2x+T)；(2)［—-+-g+kR,ZwZ；⑶最大值为2、最小值为一立.

4OO

【解析】

37%437r

⑴设函数小)的周期为T’则由图知?=可一8一,:.T=兀，

4

27r

/<6>=—=2,f(x)=Asin(2x+°),

7474

将点(丁,0)代入得sin(2x—+^>)=0,

OO

：2^~+(p=2k兀,keZ,/.(p=-4-2kjr,kwZ,1691<—,(p=--

4424

"(x)=Asin(2x+»将点(0,夜)代入得艮Asi吟，.・.A=2,

TT

/(x)=2sin(2x+-)；

4

(2)由——+2,k7r2x+—^—+,攵£2可得——+k7rx—4-kjr,keZ,

3471

；•函数的单调增区间为[-彳+k乃,三+左乃],左eZ；

88

._..「7C7C..-7CrTC77C_42

(3)・xe[--,..2x+--G[--.sin(2xd—)e[------,1],

46441242

当x=-g时/(X)而n=—应，当x=?时f(x)M=2,

4o

故小)在区间［十中上的最大值为2、最小值为一夜

10.(2021・安徽安庆・高一期末)已知函数〃x)=sin5+Kcostyx(3>0)的最小正周期是乃.

(1)求。值；

(2)求“X)的对称中心；

(3)将/(*)的图象向右平移？个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间.

【答案】(1)2；(2)g。］，keZ；(3)2k兀-J,2kn+^~,keZ.

I26JL66_

【解析】

(1)/(x)=sin(yx+Gcos<yx=2sin((wx+/),又0>0,

...T/=-2--1-=71,

CO

.*•co=2.

(2)由(1)知，/(x)=2sin|2x+^|,令2%+[=%万，解得*=竺—

\J)326

；•f(x)的对称中心是(与-2，。)，keZ.

(3)将〃x)的图像向右平移(个单位后可得：y=2sin(2x-q),再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍,

纵坐标不变得到：g(x)=2sin卜一5)，

7T7T71715万

由2kji---<x<2k7r+—,解得2攵乃---<x<2%4+——,keZ.

23266

•••g(x)的单调递增区间为2^--,2^+—,kez.

II.(2021.江苏省江都中学高三阶段练习)函数〃x)=4sin(s+e)(其中A>0,<y>0,附)的部分图象

如图所示，把函数的图像向右平移?个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图像.

-y

7T77r

_____/小豆/F

-1

(1)当xe%"时，若方程g(x)-机=0恰好有两个不同的根芭应，求〃，的取值范围及％+占的值；

(2)令尸(x)=f(x)—3,若对任意x都有尸(x)-(2+m)F(x)+2+wV0恒成立，求加的最大值.

【答案】(1)"?的取值范惘g'-LOuV机<0时，X]+々=M；-2</nV-l-g•时,

_2八2」2-32

5万/_、26

+x2=—?(2)一"—•

【解析】

(1)根据图像可知A=1,；1T=7,乃-721

:.T=九,:.8=2-=2,/(x)=sin(2x-+-^)

(7冗，一司得，sin(V+e冗

代入-1,(p=2k冗+—,keZ,

ll23

冗，，攵=0,0=gf(x)=sin(2x+?

<,

"kl23

把函数/(X)的图像向右平移(个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数g(x)

/\.冗冗、,、M|7»_兀5兀、,、E、v»IX511ITV、,、E、“IV

・•・g(x)在xw;，不单调递增，在XW单调速减，在XW单调速增,

43joo12

方程g(X)-加=0恰好有两个不同的根内，

••・，”的取值范围手T，0u-1

_/\.

..7T.71

令2x----=攵万+一

62

・•.g(x)对称轴为％=弓+?,keZ

5,者.》=(),X=(或%=1,X=V

J3427rJ3.5%

14m<0时，Xj4-x=——；—2<m<—1-------时n，x=――.

2------------------------------7---32-----------------2----3

(2)由(1)可知〃x)=sin(2x+()e[-l,l]

尸(x)=/(x)—3e[T,—2],对任意x都有产(x)-(2+m)F(x)+2+mV0恒成立

令f=F(x)w[y—2],即〃(。=产一(2+/n)f+2+/n<0在fw[T-2]上恒成立,

6(。是关于，的二次函数，开口向上，则力(。恤40恒成立

而〃(/)的最大值，在"T或f=-2时取到最大值

_10

y(-2)4。*(2+M(-2)+2+於。〃—行

人[MTV。'[16-(2+^)(-4)+2+^<0，lfj,〃<_竺

“-一二

所以mW,则用的最大值为一~—.

12.(2021•广东北江实验学校高三阶段练习)B^g^Mx)=73sin4^+2sinjcos|-^cos41.

(1)若将函数"(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍(纵坐标不变)，再将向左平移!■个单位，得

到函数/(x)图象，求函数/(X)的解析式；

(2)设g(x)=3-2m+,“cos(2x-?N>0),则是否存在实数〃?，满足对于任意0,(,都存在

当60,?,使得/(%)=8(电)成立？

【答案】(1)/(x)=2sin(2x+])(2)不存在，理由见解析.

【解析】

(1)h{x}=V3sin4—+2sin—cos-->/3cos4—

2222

=>/3fsin2—+cos2—Vsin2--cos2—^+2sin—cos—

(22人22)22

=-V3cosx+sinx=2sin[x一

将函数近X)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍(纵坐标不变)，得至lJ4(x)=2sin(2x-]

再向左平移(个单位，得到函数/(x)=2sin(2x+()

所以函数/(x)的解析式为：f(x)=2sin(2x+/)

jrTTjrSJTjr1

(2)QX]£0,—■,2x(+—sin(2Xj+—)^—J,即/(石)£[1,2]；

ITJDUJ乙

Q马£0,—,2%----w---,一,「.cosQx,-----)€一,I

42663」26|_2

又加>0,/.WCOS(2X2-^-)G,即g02)w3------,3-m

2

jrjr

假设存在实数m,满足对任意X£0,—,都存在%£0,—,使得/(3)=g(w)成立,

则的值域是g（xj值域的子集，即[1,2仁3-拳3-机

3.迎<1

则『2一，此方程组无解，故满足题意得实数用不存在.

3—m>2

TT

13.（2021.江苏.高一专题练习）如图，已知AABC中，NC=]