高中数学习题1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 直线的两点式方程

2.2.2直线的两点式方程

课堂检测•固双基

1.下列语句中正确的是()

A.经过定点P(xo，州)的直线都可以用方程y—yo=&(x-的)表示

B.经过任意两个不同点尸3，V)、。。2，丁2)的直线都可以用方程(y—>1)(X2—X1)=(X—

为)。；2-yi)表示

C.不经过原点的直线都可以用方程宗+方=1表示

D.经过定点的直线都可以用y=fcv+b表示

2.过点A(5,6)和点8(—1,2)的直线方程的两点式是()

y-5y+1y-6x~5

A*6x-2B・2-6-1-5

2-61-5x-6y-5

C------=------D------=~^-------

y-6x-52-6~1~5

3.已知直线/的两点式方程为七三则/的斜率为()

-3—03—(—5)

3八3

A・-8B.不

一3

C.~2D.2

4.点P(5,—2)、点22(—7,6),则线段「心的中点”的坐标为一.

5.在AABC中，已知点A(5,—2)、8(7,3),且边AC的中点〃在)，轴上，边BC的中

点N在x轴上.

(1)求点C的坐标；

(2)求直线A7N的方程.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.在x、y轴上的截距分别是一3,4的直线方程是()

2.(2021•丹东一中月考)直线y=fcr+〃经过第一、三、四象限，则有()

A.k>0,b>QB.k>0,b<0

C.k<0,h>0D.k<0,b<0

3.两条直线方一：=1与：一］=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的()

4.过点尸(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()

A.%—>+1=0B.x—y+l=0或4x—3y=0

C.x+y~l=0D.x+y-7=0或4x-3y=0

5.直线/过点(一1,一1)和(2,5),点(1010,3在直线/上，则人的值为()

A.2019B.2020

C.2021D.2022

二、填空题

6.(2020.承德高一检测)直线/过点M(—1,2),分别与x、y轴交于A、B两点,若M为

线段48的中点，则直线/的方程为一.

7.经过点A(l,3)和B(a,4)的直线方程为.

8.斜率为且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为

三、解答题

9.求分别满足下列条件的直线/的方程：

(1)经过两点A(l,0)、

(2)经过点(4,一3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.

10.已知三角形三个顶点分别是A(—3,0),BQ,-2),C(0,l),求这个三角形三边各自

所在直线的方程.

B组•素养提升

一、选择题

1.(2020•镇巴中学高一检测)直线/与直线y=l和x—y—7=0分别交于P,Q两点,线

段PQ的中点坐标为(1,-1),那么直线/的斜率是()

2.过尸(4,—3)且在坐标轴上截距相等的直线有()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

3.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是()

A.x+y—3=0B.x+y+3=0

C.x—y—1=0D.x—y+l=0

4.已知两点A(3,0),8(0,4),动点尸(x,y)在线段AB上运动，则xy()

A.无最小值，且无最大值B.无最小值，但有最大值

C.有最小值，但无最大值D.有最小值，且有最大值

二、填空题

5.(2021•福建省莆田二十五中月考)直线1+^=1和坐标轴所围成的三角形的面积是

6.(2020•衡水高一检测)已知直线/的斜率为6,且在两坐标轴上的截距之和为10,则

此直线I的方程为—.

7.已知直线/过点P(2.1),且与x轴，y轴的正半轴分别交于4,B两点,。为坐标原

点，则三角形0A8。积的最小值为4.

三、解答题

8.已知直线/过点P(4,l),

(1)若直线/过点Q(—1,6),求直线/的方程；

(2)若直线/在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线/的方程.

9.如图，已知点4(2,5)与点3(4,-7),试在y轴上找一点尸,使得照|+|PB|的值最小.

2.2.2直线的两点式方程

课堂检测二固双基

1.下列语句中正确的是(B)

A.经过定点P(xo,州)的直线都可以用方程y—yo=%(x—xo)表示

B.经过任意两个不同点尸3，9)、(2(X2，＞2)的直线都可以用方程(y—汨)=(工一

加)。2­)")表示

C.不经过原点的直线都可以用方程，+方=1表示

D.经过定点的直线都可以用y=^+6表示

［解析］A、D不能表示斜率不存在的直线，C不能表示％=0或不存在的直线.

2.过点A(5,6)和点B(—1,2)的直线方程的两点式是(B)

y—5y+1y-6x~5

A1---------B----=------

・x~6x-2,2~6—1—5

2—61—5x—6y—5

C----=----D----=~^----

・y~6x~52—6-1-5

［解析］由两点式方程得，直线方程为汽=一千三，故选B.

2—6—1—5

3.已知直线/的两点式方程为七三=则/的斜率为(A)

-3—03-：(一-，5U);

3八3

A.B.g

y-0工一(_5)

［解析］由两点式方程—3—0=3—(-5)'知直线/过点(一5,0)、(3,-3),所以/的斜

率为

4.点Pi(5,—2)、点巳(-7,6),则线段P/2的中点M的坐标为(-1,2).

5—7—2+6

［解析］%亍，一2—),即M(T,2).

5.在△ABC中，已知点A(5,-2)、8(7,3),且边AC的中点M在)，轴上，边的中

点N在x轴上.

(1)求点C的坐标；

(2)求直线的方程.

［解析1⑴设点C（x,由题意得一2一=。，—2—=。.

得x=-5,y=-3.故所求点C的坐标是（一5,—3）.

（2）点M的坐标是（0,一|）,点N的坐标是（1,0）,

直线MN的方程是｛2=后，

亍°

即5x-2y-5=0.

素养作业•提技能

请同学们认真完成练案［13］

A组•素养自测

一、选择题

1.在x、y轴上的截距分别是一3,4的直线方程是（A）

A.士+；=1B.f+^=l

「上J

C

--34TD.4T—3—

［解桐由截距式方程可得，直线方程为±+；=1,故选A.

2.（2021.丹东一中月考）直线y=fcr+〃经过第一、三、四象限，则有（B）

A.k>0,b>0B.k>0,b<0

C.k<0,b>0D.k<0,b<0

［解析］直线过第一、三象限，故斜率无>0.当直线在y轴上的截距6为正时，直线过

第一、二、三象限；当直线在y轴上的截距匕为负时，直线过第一、三、四象限.

I点评］斜截式方程中斜率左的正负描述直线的走向，截距人的正负决定了直线与y轴

的交点.

3.两条直线需一：=1与：-5=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的（B）

［解析］两直线的方程分别化为y=%一〃，丫=务一机，易知两直线的斜率符号相同.

4.过点尸(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是(D)

A.X—y+l=OB.x—y+l=O或4x—3y=0

C.x+y—7=0D.x+y—7=0或4x—3y=0

4

［解析］当直线过原点时，直线方程为y=三，即4x—3y=0；排除A、C；当直线不过

原点时，设直线方程为因为该直线过点P(3,4),所以解得a=7.所以直

线方程为Jt+y-7=0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或

x+y~l=0.故选D.

5.直线/过点(一I,一1)和(2,5),点(1010,份在直线/上，则匕的值为(C)

A.2019B.2020

C.2021D.2022

［解析］直线I的两点式方程为厂，化简得y=2x+l,将x=l010代

5-(-1)2-(-1)，

入，得b=2021.

二、填空题

6.(2020・承德高一检测)直线/过点M(—1,2),分别与x、y轴交于A、8两点，若M为

线段AB的中点，则直线/的方程为r—y+4=0.

［解析］设A(x,0)、B(0,y).

由M(—1,2)为AB的中点，

x+0

x=-2

用2J=4

由截距式得/的方程为士+%=1,即2x—y+4=0.

7.经过点A(l,3)和3(“4)的直线方程为了一l)y+3。-4=0一.

［解析］当。=1时，直线AB的斜率不存在，所求直线的方程为x=l；

当“wi时，由两点式，得下|=口，

4—3a—\

整理，得x—一l)y+3〃一4=0,

在这个方程中，当。=1时方程也为x=l,

所以，所求的直线方程为工一3—1»+3々­4=0.

8.斜率为3,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为X—2y+4=0或x

一2丫-4=0.

［解析］设直线方程为y=5+b,令x=0,得y=b；令y=0,得x=-2b.所以直线

与坐标轴所围成的三角形的面积为S=^\b\-\-2b\=b2.

由〃=4,得。=±2.所以直线方程为、=*±2,

即x—2y+4=0或x—2y—4—0.

三'解答题

9.求分别满足下列条件的直线/的方程：

(1)经过两点4(1,0)、

(2)经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.

［解析］(1)当加工1时，直线/的方程是田=口，

1-0m—1

1

即y=

Jm—r\(x—1),

当m=l时，直线/的方程是x=L

综上所述，直线/的方程为》=-二(X—1)或X=l.

(2)设/在x轴、y轴上的截距分别为a、b.

当“wo,6ro时，/的方程为？+}=i；

43

•直线过P(4,—3),.•.二一石=1.

又：刈=1勿,

(43

a-b=X=1a=l

解得4或

b—1b=-l

、a=±b

当a=6=0时，直线过原点且过(4,—3),

3

二/的方程为y=-jx.

3

综上所述，直线/的方程为x+y=l或x—y=7或>=一不.

10.已知三角形三个顶点分别是A(—3,0),8(2,-2),C(0,l),求这个三角形三边各自

所在直线的方程.

［解析］由两点式方程得AB：七三=下以,

—2—U2—(—3)

2

即43方程为y=-gX(x+3).

y—1x~0

由两点式方程得8C：-2-l=2-0,

即3c方程为尸一去+l.

由截距式方程，得g六+十L

即AC方程为＞-=|x+1.

B组•素养提升

一、选择题

1.(2020・镇巴中学高一检测)直线/与直线y=l和x—y—7=0分别交于尸，。两点，线

段P。的中点坐标为(1,-1),那么直线/的斜率是(B)

22

A.3B--3

八33

C.2D.~2

［解析］因为直线/与直线y=l和x—y—7=0分别交于P,。两点，所以可设P(a,l),

Q(b,b-7),:线段PQ的中点坐标为(1,-1),二1="芋，一］」+:二7,解得。=一2,

—3—12

6=4,；.P(—2,1),2(4,-3),直线/的斜率为4+，=一下故选B.

2.过P(4,—3)且在坐标轴上截距相等的直线有(B)

A.1条B.2条

C.3条D.4条

［解析］解法一：设直线方程为)，+3=依-4)(左£0).

3+4〃

令y=0得》=二K7-，令x=0得y=-4左一3.

3+443

由题意，-%-=—4左-3,解得左=一彳或左=一1.

因而所求直线有两条，，应选B.

解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为

YV

m,0),(0,a),a^O,则直线方程为z+\=1,把点尸(4,一3)的坐标代入方程得a=1.

二所求直线有两条，...应选B.

3.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(AC)

A.x+厂3=0B.x+y+3=0

C.x一厂1=0D.x—y+l=0

［解析］由题意设直线方程为5+5=1或5+上=1,

aaa-a

把点(2,1)代入直线方程得2+21=1或2!+」1-=1,

aaci-a

解得a=3或〃=1,...所求直线的方程为与+1=1或彳+*=1,即x+y—3=0或x—y

-1=0.

4.已知两点A(3,0),8(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动，则孙(D)

A.无最小值，且无最大值B.无最小值，但有最大值

C.有最小值，但无最大值D.有最小值，且有最大值

［解析］线段AB的方程为］+；=l(0WxW3),于是y=4。一§(0WxW3),从而xy=

4x(1—］)=一条一券+3,显然当*=类［0,3］时，町取最大值为3；当x=0或3时，孙取

最小值0.

二、填空题

5.(2021•福建省莆田二十五中月考)直线1+^=1和坐标轴所围成的三角形的面积是

5.

［解析］易知直线1+^=1与两坐标轴的交点分别为(5,0),(0,2),所以直线方+尹1和坐

标轴所围成的三角形的面积是gx2X5=5.

6.(2020•衡水高一检测)已知直线/的斜率为6,且在两坐标轴上的截距之和为10,则

此直线/的方程为64—/+12=0.

8

［解析］设/：y=6x+b,令y=0得x=6一

由条件知6+(一§=10,二6=12.

.••直线/方程为y=6x+12.

解法2：设直线/：2+力=1，变形为y=—孑+4

h=12,

由条件知，解得，

、a+b=10,

二直线/方程为六+右=1.即6x—y+12=0.

7.已知直