高中数学高考总复习复数习题【讲解】

高中数学高考总复习复数习题及详解

一、选择题

―““3+2,

1•复数2—3j=（）

A.i

B.~i

C.12-13;

D.12+13/

［答案］A

［解析］错误!=错误！=错误！=i.

2.在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段48的中点，则

点C对应的复数是（）

A.4+8i

B.8+2i

C.2+4i

D.4+i

［答案］C

［解析］由题意知A（6,5）,B（—2,3）4B中点C（x,y）,则》=错误！=2,y=错误!

=4,

.•.点C对应的复数为2+4i,故选C.

3.若复数（加一3"?-4）-F（m2—5m—6），表示的点在虚轴上，则实数，"的值是（）

A.-1

B.4

C.一1和4

D.一1和6

［答案］C

［解析］由加—3m—4=0得"?=4或一1,故选C.

［点评］复数z=a+历（a、对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别.虚轴上

包括原点（参见教材104页的定义），切勿错误的以为虚轴不包括原点.

4.（文）已知复数2=错误!，则错误!d在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

［答案］B

［解析］2=错误！，错误！=错误！+错误!，错误!”=一错误！+错误!i.实数一错误!,

虚部错误！，对应点错误!在第二象限，故选B.

(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数错误!()

A,是纯虚数

B.是虚数但不是纯虚数

C.是实数

D.只能是零

［答案］C

［解析］解法1:...z的对应点P在单位圆上，

.•.可设尸(cos。,sin®),；.z=cosO+isin。.

则错误！=错误！=错误！

=2cos6为实数.

解法2：设2=。+万(4、b&R),

的对应点在单位圆上，.•./+序=1,

:.(a-bi)(a+bi)=♦+扶=1,

.,.错误！=z+错误！=(a+bi)+(a-bi)=2a^R.

5.(2010.广州市)复数(3z-l)i的不胡复鳌是()

A.-3+/

B.-3~i

C.3+z

D.3~i

［答案］A

［解析］(3/-l)/=-3-z,其共匏复数为-3+i。

6.已知x»eR,i是虚数单位，且(x-l)i—y=2+i,则(1+。厂＞'的值为()

A.-4

B.4

C.-1

D.1

［答案］A

［解析］由(x—l)i—y=2+i得小=2,y=—2,所以(1+i)。=(1+。4=(2/)2=-4,

故选A.

7.(文)复数窈=3+5=1一，；则2=21口在复平面内对应的点位于()

A.第一-象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

［答案］D

［解析］：Z=ZIZ2=（3+z）（l-z）=4-2z,・•.选D。

（理）现定义:理=cos8+isin”其中i是虚数单位，e为自然对数的底，。仁氏且实数指数

523244

幕的运算性质对那都适用，若a=C5°COS0-C5cos0sin<9+C5cos<9sin0,8=C51cos%sin。

—C53cos20sin30+C55sin50,那么复数a+bi等于（）

A.cos50+isin5。

B.cos50—isin50

C.sin59+icos59

D.sin50—icos50

［答案］A

522323323

［解析］a+bi=C50COS6>+iC51cos,Osin。+iC5cos0sin<9+iC5cos<9sin<9+

i4C54cos0sin40+i5C55sin50=（cos0+isin0）5=（ei0）5=e2伊=cos56+isin56,选A。

8.（文）已知复数。=3+2访=4+xi（其中i为虚数单位），若复数错误！WR,则实数x

的值为（）

A-6

B6

8

C-

3

D.一错误！

［答案］C

［解析］错误！=错误！=错误！

=16+x2+错误'・,•错误！=0,，^^错误！。

（理）设Z=1—d是虚数单位），则z2+：=（）

A.-l-i

B.-1+i

C,1—i

D.1+z

［答案IC

［解析］・・・z=l-i,・・.z2=-2i,错误！=错误！=l+i,

7

2_选

/.z+z=l—f,C.

9.在复平面内，复数错误!对应的点到直线y=x+l的距离是（）

A。错误！

B„错误！

C.2

D.2错误！

［答案］A

［解析］•.•错误!=错误！=l+i对应点为（1,1）,它到直线x-y+l=0距离d=错误!

=错误！，故选A。

10.（文）设复数z满足关系式z+I错误！I=2+1,则z等于（）

A.

B.错误！T

Co错误!+i

D.一错误!一i

［答案］C

［解析］由z=2—I错误!|+i知z的虚部为1,设z=a+i（“CR）,则由条件知a—2

一错误！，...〃=错误！，故选C。

（理）若复数z=错误！"GR,i是虚数单位）是纯虚数，则|〃+2i|等于（）

A.2

B.2错误！

C.4

D.8

［答案］B

［解析］z=错误!=错误！=错误！+错误!i是纯虚数,.•.错误！，."=2,

：.\a+2i\=|2+24=2错误！。

二、填空题

11.规定运算错误!=以/一反，若错误！=1-2人设i为虚数单位，则复数z=.

［答案］1-/

［解析］由已知可得错误！=2Z+F=2Z—1=1-2z,z—1—io

12.若复数zi=4—i,Z2=1+i（i为虚数单位），且Z「Z2为纯虚数,则实数a的值为.

［答案］T

［解析］因为Z「Z2=（«—i）（1+i）=a+1+（＜7—1）i为纯虚数，所以a=-1。

13.（文）若。是复数4=3的实部力是复数Z2=（1一万的虚部，则仍等于.

［答案］—错误！

［解析］；z严错误!=错误！=错误!+错误!i,

，4=错误!。

又Z2=(1-/)3=1—3Z+3J2一尸=—2—2i,：.b=-2。

于是，必=一错误！。

(理)如果复数错误!(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数人等于.

［答案J一错误！

［解析］错误！=错误!•错误！=错误！一错误!i,

2—2/?

由复数的实数与虚数互为相反数得，一―=错误！，

解得匕=一错误!.

14.(文)若复数z=sina—i(l—cosa)是纯虚数，则a=.

［答案J(2&+1)兀(&GZ)

I解析］依题意，错误！，即错误！，所以a=(2k+im(MZ).

［点评］新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复

杂的几何形式和性质;对于复数的模的要求很低，了解概念就行.主要考查复数的代数形式

以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围.

(理)设i为虚数单位，复数z=(12+5i)(cos0+isin。),若zGR,则tan。的值为.

［答案］一错误！

［解析］z=(12cos6»-5sin6»)+(l2sin6>+5cos61)zGR,

.•.12sin0+5cos6=0,.•.tan9=一错误！。

三、解答题

15.已知复数2=错误！+(a2—5a—6)i(a£R).

试求实数“分别为什么值时，z分别为：

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

［解析］(1)当z为实数时，错误！，

：.a=6,...当”=6时，z为实数.

(2)当z为虚数时，错误！，

二。关一1且

故当“GR,aW—1且“W6时,z为虚数.

(3)当z为纯虚数时，错误！

.,.67=1,故。=1时，Z为纯虚数.

16.求满足错误！=1且z+错误！GR的复数z.

I解析］设z=a+6i(a、6GR),

由错误！=10|z+lI=Iz—1I,

由|(a+l)+bi|=|(a-l)+WI,

，(a+1)2+Z>2=(a—l)2+fe2,#a=0,

，z=bi,又由Z?i+错误！GR得，

匕一错误!=0=>方=士错误!,，z=±错误!i。

17.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记

第一次出现的点数为“，第二次出现的点数为从

(1)设复数z=a+〃(i为虚数单位)，求事件“z—3i为实数”的概率；

(2)求点P(a力)落在不等式组错误!表示的平面区域内(含边界)的概率.

［解析］(1)z=a+bi”•为虚数单位)，z—3i为实数，则。+加―3i=a+(匕-3)i为实

数，则b=3。

依题意得力的可能取值为1,2,3,456,故6=3的概率为错误!。即事件“z-3i为实数”

的概率为错误！。

(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)