2021吉林省吉林市高三数学理科高考模拟考试题含答案

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2021吉林省吉林市高三数学理科高考模拟考试题含答案

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吉林市普通中学2020-2021学年度高中毕业班第四次调研测试

理科数学

本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试

题卷一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条

形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

的标号；非选择题答案必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、

笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案

无效.

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮

纸刀.

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求.

1.已知全集U=4U5={0,12,3,4},zin（CtrB）={13}，则集合8:

A.{1,3}B.{2,4}

C.{0,2,4}D.{0,1,23,4}

2.已知a是笫二象限角，则

A.cosa>0B.sina<0

C.sin2a<0D.tana>0

3.己知i为虚数单位，若复数？=（/-1）+（〃+1）2为纯虚数，则0=

A.1B.-1

C.1或一1D.0

高三数学（理科）试题第1页（共14页）

4.甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如

图1,图2和图3,若S甲，S乙,S丙分别表示他们测试成绩的标准差，则

A.$乙<$甲<$丙B.$丙V$乙V$甲C.$乙V$丙V$甲D.S丙<S甲<S乙

5.己知随机变量X〜N(5,l),且P(〃-b<X«〃+b)a().6827,

P(/z—2。vXW〃+2。)氏0.9545,则P(6<XV7)为

A.0.1358B.0.1359C.0.2716D.0.2718

6.若点尸(1,1)为圆(X-4)2+J，Z=16的弦,4B的中点，则弦,4B所在直线方程为

A.3x+j-4=0B.x-3j+2=0

C.x+3j-4=0D.3x-j-2=0

7.设次,"是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题正确的是

A._L〃naJL6

B.±a,n///?=>mLn

C.a±ftjnA_aynl/ntLn

D.aA.fifi=m1.mnA.p

8.已知a,b,c分别为A45C三个内角,4,5,C的对边，且acosC+\3asinC-6-c=0,

则力为

nn

A.-B.-

63

Inn

C.—D.-

34

9.己知log而=log4X2=10&+/3<0(0<。<1),则斗冷七的大小关系是

A.x2>X,>X5B.Xs>x2>K]

C.Xj>X2>X5D.Xj>Xj>x2

高三数学（理科）试题第2页（共14页）

10.一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角形，另一种

是有一个锐角是30"的直角三角形，如图两个三角板斜边

之比为J5：2.四边形.48C〃就是由三角板拼成的，

|AB|=2.Z,1BC=6O",则而•丽+正•丽的值为

A.2\3B.—6C.—6—243

11.已知函数/(x)=sinox(0>O)在区间[-等,§上单调递增，且|/(x)|=l在区间

[0,川上有且仅有一个解，则0的取值范围是

333

A.(0,-)^5)

13、131

C12'2)。.弓，/

12.已知抛物线C：V=2〃K(P>0)的焦点为尸，过点/的直线/交抛物线于45两点，以

线段,4〃为直径的圆与J，轴交于；M,N两点，设线段片方的中点为Q,若抛物线C上存

在一点E(3,t)到焦点F的距离等于4.下面四个命题：

①抛物线的方程是=2K②抛物线的准线方程是x=-l

③sin/QMN的最小值是；④线段长的最小值是4

其中正确的命题的个数是

A.4B.3C.2D.1

第II卷(共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分,

第二个空填对得3分.

2x-y>5

13.已知变量x和『需满足约束条件—2,则z=1的最小值为.

X

x<6

高三数学(理科)试题第3页(共14页)

14.宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、

李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.数学周老师将秦九韶的

《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益占演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的

《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则有一

种不同的分配方式.

15.己知函数/(K)=U+ln上，设产(〃)=/(L)+/(2)+・・・+/(T),其中“wN*

21—xnnn

且〃22,则，'(2021)=.

如图所示，在长方体,18C。一4用6\2中,

14=3,,40=4,441=5,点E是棱CC；

上的一个动点，若平面交棱于点

F,则四棱锥纥-8£7)/的体积为一

截面四边形8ER尸的周长的最小值为.AB

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.笫22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(本小题满分12分)

已知等比数列｛。“｝的前n项和=——一w.

(1)求机的值，并求出数列但”｝的通项公式；

(II)令2=(-1)”10可〃“，设7；为数列也,｝的前〃项和，求Q.

18.(本小题满分12分)

已知斜三棱柱.44C-4与G，便I而.4CG4与底面45C垂直，448c=90°,

BC=2,AC=2y[2t且44]_L4C,44]=4C—

(i)试判断4M与平面45c是否垂直，并说明理由；一

(II)求二面角A-BC-G的余弦值./'\X/

高三数学(理科)试题第4页(共14页)

19.（本小题满分12分）

江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑（8）》现已进入联盟抢分赛环节，由12强

选手组建的凌宵、逐日、登峰联盟三支队伍（每队四人）将进行“12进6”的登顶预备战，

每局有两队参加，没有平局.按12强历次成绩统计得出，在一局比赛中，逐H联盟胜凌

343

霄联盟的概率为M，逐H联盟胜登峰联盟的概率为m，凌霄联盟胜登峰联盟的概率为

联盟抢分赛规则如下：按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛，然后每局

的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛.在比赛中，有队伍先获胜两局，就

算取得比赛的胜利，直接晋级6强的全国脑王争新赛.

（I）求只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强的概率；

（II）求只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队的概率；

（III）求逐日联盟晋级6强的概率.

20.（本小题满分12分）

已知点厂为椭圆C:5+*=1（。>6>0）的右焦点，椭圆上任意一点到点F距离的最

大值为3,最小值为1.

（I）求椭圆。的标准方程；

（II）若〃为椭圆C上的点，以M为圆心，A/尸长为半径作圆若过点七（一1,0）可

作圆时的两条切线£4,七8为切点），求四边形面积的最大值.

2L(本小题满分12分)

\-a1

已知函数f(x)=Itix-axH-----(a>—).

x2

(1)当曲线j，=/(x)在(2,/(2))处的切线与直线/:7=2K+1垂直时，求实数。的值;

(II)求函数/(x)的单调区间；

(HD求证：—+—------<bi(«+1)<14--+—H----1■—(//eN*).

234〃+123/1

高三数学（理科）试题第5页（共14页）

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号

涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］

在平面直角坐标系工3,中，点P是曲线；(，为参数)上的动点，以坐标原

y=t~~

点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

=、/

Psin。-3cos。

(I)求曲线G的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(II)若点P在F轴右侧，点。在曲线C?上，求I尸01的最小值.

23.【选修4一5：不等式选讲］

设函数/(x)=|x-2«|+|A*+«|(6r>0).

(1)若。=1,求证：f(x)>3；

(II)对于Vxw(0,l),恒成立，求实数〃的取值范围.

命题、校对：高三数学核心命题组

高三数学(理科)试题第6页(共14页)

吉林市普通中学2020-2021学年度高中毕业班第四次调研测试

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.

123456789101112

CCADBDBBACDB

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分,

第二个空填对得3分.

13.-14.9015.101016.20（2分），2回（3分）

3

17.【解析】

9

(I)法一：当〃=1时，。]=S]=—m1

分

3”

当“N2时，％=S“-S"I=-------m—(-----m)=3"3

分

93

♦.｛〃“｝是等比数列，,丐=3,即2—/«=3,解得m=Q.............................................5

分

3

所以，利的值为2,数列｛〃”｝的通项公式为%=3”....................................................6

分

9

法二：/=S[=£—,a2=S2—Si=9^a3=Si—S2=27

,93

•.｛4”｝是等比数列，••・%=%/，即(5一m"27=81,.•./«=5....................................3

分

设｛"“｝的公比为4,二夕=二=3,6=1,二〃”=3*3"'=3"......................................6

a\

分

(II)•「b〃=(一1)"log3an=(-1)"•n.............................................................8

分

高三数学（理科）试题第7页（共14页）

TI"=bl+h2+4+4+…+4”1+4”

=(-1)+2+(—3)+4+,,,+[-(2/i-1)]+2〃

=(-1+2)+(—34-4)+,,,+1—(2/i—1)+2/21

分

18•【解析】

取,4C中点O,连接Afi、BO,又=4C,得Afi_L<C,平面ACCXAX_L平面ABC,

交线为,4C,又4。u平面ACCXAX,则4。_L平面ABC,

•・・乙ABC=90°,8C=2,AC=2、2,•二8c=4C=2,・•O为力C中点，:.OB±AC

以OC为x轴，0〃为j，轴，0,七为Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则4（0,0,VI）,c（瓶,o,o）,

B（0,VI,0）,4（-立0,0）,

“2、孙、5）_....

（I）而=（枝,0,71）,（衣—衣。）

HX-BC=>/2X\/2+0X（-V2）+72x0=2^0

所以与5c不垂直，即与平面45c不垂直6

分

（另解：求出平面/18C法向量片=（131）,而与片不平行，则44与平面48c不垂

直）

（11）因为4。J■平面45C,设平面45C的一个法向量痴=（0,0,1）..............7

分

设G=为平面BB£C的一个法向量，

BC=（V2,-V2,0）,CC\=（V2,0,V2）

由ti-BC=0x/lx-\/2y=0

[w-CC；=01&x+VI.O

令X=l,则p=l,z=-l，即〃=（1,1,一1）,10

分

□rm一■*°xl+0xl—1x1J3

又因为cos<>=-------------f=---------=---------,

lxJ33

如图知，二面角.4—AC-G为钝角，所以二面角4-8C-G的余弦值为一字.…•…12

分

高三数学（理科）试题第8页（共14页）

法二：(I)由44，4C=AtCfAC=2^2,得AAX=2,

由Z/18C=90°,AC=2,4C=2、5,得力"=2,

所以=48,则44不垂直于A.Bu平面AxBCf

则44与平面A.BC不垂直.3

分B)

(n)如图：过G做G。工4(7,垂足为。，.'

平面乂。€；41平面.45C,交线为.4C,又G。u平面/1CG4，

则gc1平面ABC,.......上=二….….jL

分一匕

所以二面角G-3C—Z)的补角为所求..........................7分

过G向棱BC作垂线，垂足为石，连接。“，

则NGEO就是二面角C.-BC-D的平面角

DC*=&,DE=1,所以£C;=有，.......................10

分

所以cos/OEC]=当，

所以二面角4-AC-C,的余弦值为一半....................12

分

19.【解析】

(I)记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强”为事件.4.

12

;.始)=沁3

25

分

(TI)记“只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队”为事件8

则事件〃包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级.

318

.•，(4)=泥+:x=

353525

分

(ni)记“逐日联盟晋级6强”为事件c.则事件c包含三种情况:

高三数学(理科)试题第9页(共14页)

3412

①逐日联盟胜凌驾联盟，逐日联盟胜登峰联盟：-x-=—

②逐日联盟胜凌西联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌驾联盟，逐日联盟胜

313327

凌霄联盟：xXX=

5555625

③逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜

224348

凌霄联盟:—X—X—X—=---

5555625

尸⑹7+京+12

分

（注：②③求对各给2分）

20.【解析】

（I）根据题意椭圆上任意一点到点尸距离的最大值为3,最小值为1.

fa+c=3

所以1解得。=2,c=l.................................................2

[fir—c=1

分

所以〃=,3

因此椭圆c的标准方程为土+X=I

43

（II）（法一）

由（1）知，£（-1,0）为椭圆的左焦点，

根据椭圆定义知，|ME|+|A"|=4,

设/•=IA/尸|=|5/网，，•点石在国A/外rjME\=4-r>rr.l\r<2/_______6

所以，在直角三角形AWES中,

22

|EB\=v'(4-r)-r=2<4-2r,S^fEB=^\EB\-\MB|=r^4-2r............8

分

由圆的性质知，四边形E4A/面积S=2sAM£8=2「、4二2/*,其中14，<2...............9

分

高三数学（理科）试题笫io页（共14页）

即£=2、/-2r+4/(l<r<2).

令j=-2，+4r2(l<r<2),则>'=-«，+8r=-2r(3<-4)

当l<r<±时，y>0,y=-2/+4/单调递增;

3

当±<r<2时，y'<0,|，=-2rs+4/单调递减.

3

所以，在r=g时，y取极大值，也是最大值

(法二)同法一，四边形EAMB面积S=2s41s=2rx4-2r,其中1<r<2—….9分

4

所以S=2vr-r^(4-2rj<2T(匚二二三)'=为石

当且仅当/•=4-2r,即r=；e[l,2)时取等号

所取Sa若R.....................................................................................................................12

21.【解析】

因为/(x)=111X-OV+---(x>0),

所以/'0)='-。+二1

XX

分

根据题意外2)=5+一=-；.................................................2

分

(I)解得。=1,满足。>1，二。=14

2........................................

分

1—a

1-«x-l)(x--------)

(ior(x)」…安=---------;」

XXX

高三数学(理科)试题第11页(共14页)

当一时，0<---<1,

2a

令/'(X)>0~—<x<1,令fr(x)<0/.0<A*<---诙k>1

aa

，递减区间是二色)

所以/Gr)的递增区间是(—,1)(0,1),(1,+<Q

aa

当时，i^<0,

令/'(X)>0.•・0<KV1,令/'(K)<0X>1

所以/(K)的递增区间是(0,1),递减区间是(1,+8)

综上所述：当工V。V1时，/(X)的递增区间是(匕9,1),递减区间是(0,匕>(1,48)

2aa

当。时，/(*)的递增区间是(0,1),递减区间是(1,48)............................8

分

(3)由(2)知当4=1时，/(x)=hix-x,并且1nsi,=〃1)=-1，

因此有InxV工一1在(0,+Q。)恒成立，

用工替换x得In^vL-l,即InxWl-L在(0,+8)恒成立，

XXXX

因此当x€(0,+8)时不等式1----<InA*<x-1恒成立

X

令人wN.用人单替换x得」一<加优+1)-加左〈,，

kA+lk

所以之旨<£>(A+1)-加A]<

+1*=1*=1*

、,

即mJ一•I---1-1■—1+♦・•+----1----<l1n(/n+l)<1.H---1-F—1■I------F-1neA♦12

234M+123n............................

分

22.【解析】

1

x=f+-

(i).不消去，得.1xz-r=4

y=t--

t

X2V2

即曲线G的普通方程为・•・--^=1...............................................12

高三数学(理科)试题笫12页(共14页)

分

曲线。2的极坐标方程为夕sin0—32cos0=JI,

（x=〃cos6

由〈.八得曲线。2的直角坐标方程为3