2025年高考数学一轮复习-第一章-第一节 集合【导学案】

第一节集合[学习要求]1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算.[知识梳理]知识点集合1.集合的含义与表示元素与集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）集合中元素的特征确定性、互异性、无序性集合的表示方法列举法、描述法和图示法特定集合的记法正整数集N*或N＋，自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R元素与集合之间的关系“属于”或“不属于”，记为“∈”或“∉”2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言记法Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⊆B，且∃x∈B，x∉AA⫋B或B⫌A续表关系自然语言符号语言记法Venn图集合相等集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A⊆B，且B⊆AA＝B3.集合的基本运算运算交集并集补集Venn图符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质（1）（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B，A∩B＝B∩A，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩⌀＝⌀.（2）A⊆（A∪B），B⊆（A∪B），A∪B＝B∪A，A∪B＝B⇔A⊆B，A∪⌀＝A.（3）∁UU＝⌀，∁U⌀＝U，∁U（∁UA）＝A，A∪（∁UA）＝U，A∩（∁UA）＝⌀，∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.[小题诊断]1.（多选）已知集合A＝{x｜x≤23，x∈R}，a＝14，b＝22，则（  ）A.a∈A B.a∉A C.b∈A D.b∉A 答案：BC解析：由14＞12＝23，可得a∉A；由22＜23，可得b∈A.2.（2024·北京模拟）已知全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜0＜x＜2}，则∁UA＝（  ）A.0B.－3，C.－D.－3，答案：D解析：全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜0＜x＜2}，由补集定义可知：∁UA＝{x｜－3＜x≤0或2≤x＜3}，即∁UA＝－3，03.已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}.若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为（  ）A.1 B.2 C.4 D.8答案：C解析：由题意知含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个.4.（2021·全国乙卷）已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（  ）A.⌀ B.SC.T D.Z答案：C解析：依题知T⫋S，则S∩T＝T.考点一集合的含义与表示[例1]（1）（2024·海南海口模拟）已知集合A＝xx∈Z，A.2 B.3 C.4 D.5（2）（多选）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的可能取值为（  ）A.1 B.－1 C.3 D.2[答案]（1）C（2）AC[解析]（1）因为x∈Z，且32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合（2）因为5∈M，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，解得m＝3，或m＝1，m＝－1.当m＝3时，M＝{1，5，13}，符合题意；当m＝1时，M＝{1，3，5}，符合题意；当m＝－1时，M＝{1，1，5}，不满足集合中元素的互异性，不成立，所以m＝3或m＝1.┃方法总结┃确定集合的注意点1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.1.（2024·江苏泰州模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（  ）A.5 B.6 C.10 D.15答案：D解析：因为x∈A，y∈A，x－y∈A，所以分以下5种情况：①x－y＝1，有四个，（1，0），（2，1），（3，2），（4，3）；②x－y＝2，有三个，（2，0），（3，1），（4，2）；③x－y＝3，有两个，（4，1），（3，0）；④x－y＝4，有一个，（4，0）；⑤x－y＝0，有五个，（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.综上，B中所含元素的个数为15.2.（2024·山东济南模拟）已知集合A＝x，x2+1,−1答案：1解析：因为x2＋1－x＝x－122＋34＞0，所以x2＋1＞x，所以x2＋1＝2，解得x＝1显然x＝－1不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验x＝1符合题意.考点二集合间的基本关系[例2]（1）已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a－2}，若A＝B，则a等于（  ）A.1或2 B.－1或－2C.2 D.1（2）（2023·新高考Ⅱ卷）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}.若A⊆B，则a＝（  ）A.2 B.1 C.23 D.－（3）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为    .[答案]（1）C（2）B（3）（－∞，3][解析]（1）∵A＝B，∴3a－2＝a2，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，集合A＝{0，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，所以a＝2.（2）若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B，所以a＝1.（3）因为B⊆A，所以分以下两种情况：①若B＝⌀，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；②若B≠⌀，则2m－1≥m+1由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].┃方法总结┃1.子集个数的求解方法穷举法将集合的子集一一列举出来，从而得到子|集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况公式法含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n一1，非空真子集的个数是22.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图或图象帮助分析，同时还要注意空集分类讨论等情况.3.已知集合A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，则A∩B的非空子集的个数为（  ）A.4 B.7 C.8 D.16答案：B解析：法一：因为A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，所以A∩B＝{2，3，5}，A∩B的非空子集为{2}，{3}，{5}，{2，3}，{2，5}，{3，5}，{2，3，5}，共7个.法二：因为A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，所以A∩B＝{2，3，5}，共有3个元素.故非空子集的个数为23－1＝7.4.已知集合A＝xx=2k＋1A.A⊆B B.A∩B＝⌀C.A＝B D.A⊇B答案：A解析：当k＝3n时，x＝6n+13，n当k＝3n＋1时，x＝2（3n+1）+13当k＝3n＋2时，x＝2（3n+2）+13所以B＝xx因为A＝xx＝6k+135.（2024·九省联考测试）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为    .答案：5解析：已知A∩B＝A，则A⊆B.∵B＝{x｜｜x－3｜≤m}，∴B＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，∴3∴m≥5，∴mmin＝5.考点三集合的基本运算◉角度（一）集合的基本运算[例3]（1）（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（  ）A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}（2）（2023·全国甲卷）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（  ）A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.⌀[答案]（1）C（2）A[解析]（1）由x2－x－6≥0，得x≥3或x≤－2，∴N＝{x｜x≥3，或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}.（2）∵M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，∴M∪N＝{x｜x＝3k＋1，或x＝3k＋2，k∈Z}.又U为整数集，∴∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}.◉角度（二）利用集合运算求参数或参数的范围[例4]（1）（2020·全国Ⅰ卷）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（  ）A.－4 B.－2C.2 D.4（2）设A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}.已知A∩B＝{9}，则a＝     ，A∪B＝     .[答案]（1）B（2）－3{－7，－4，－8，4，9}[解析]（1）A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝xx由A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，知－a2＝1，所以a＝－（2）因为A∩B＝{9}，所以9∈A，所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5.当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，B中元素不满足集合元素的互异性，舍去.当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－4，－7，－8，4，9}.当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去.综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}.┃方法总结┃利用集合的运算求参数的方法1.与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍．2.若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组）求解.注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性6.（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x｜｜x－1｜≤1}，则A∩B＝（  ）A.{－1，2} B.{1，2}C.{1，4} D.{－1，4}答案：B解析：由｜x－1｜≤1得0≤x≤2，则B＝{x｜0≤x≤2}，∴A∩B＝{1，2}.7.（2024·河南焦作模拟）若集合A＝{x｜2x2－9x＞0}，B＝{x｜x≥2}，则（∁RA）∪B＝（  ）A.2，9C.[0，＋∞） D.（0，＋∞）答案：C解析：因为A＝{x｜2x2－9x＞0}＝xx所以∁RA＝x0≤x≤92.又B＝{x｜x≥2}，所以（∁RA）∪B＝8.（多选）已知集合A＝{x｜x＋1≤0}，B＝{x｜x≥a}.若A∪B＝R，则实数a的值可以为（  ）A.2 B.－1C.0 D.－2答案：BD解析：∵A＝{x｜x≤－1}，B＝{x｜x≥a}，且A∪B＝R，∴a≤－1，∴实数a的值可以为－1，－2.考点四与集合有关的新定义问题[例5]（1）（2024·云南保山模拟）定义集合运算：A＋B＝zz＝x＋y，x∈A，y∈BA.14 B.15C.16 D.18（2）（多选）（2024·湖南邵阳模拟）若对任意x∈A，1x∈A，则称AA.－1，1C.xx2>[答案]（1）A（2）ABD[解析]（1）由题设知A＋B＝2，∴所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14.（2）根据“影子关系”集合的定义，可知－1，1，12，2，由xx2>1，得xx＜－1或x>1，当x＝2┃方法总结┃解“新定义”题的方法“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．9.（2024·湖南长沙模拟）定义集合A÷B＝zz＝xy，x∈A，y∈B.已知集合A.3 B.4C.5 D.6答案：B解析：因为A＝4，8，B＝所以A÷B＝1，2，4，810.（2024·安徽蚌埠模拟）对于数集A，B，定义A＋B＝x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B，A÷B＝{xx＝ab，A.102 C.212 D.答案：D解析：根据新定义，数集A，B，定义A＋B＝x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B，A÷B＝{xx＝ab，a∈A，b∈B}，集合A用Venn图解决有关集合问题[例]（1）（多选）图中阴影部分所表示的集合是（  ）A.M∩∁UNB.N∩∁UMC.M∩∁UND.∁UM（2）（2024·湖北黄冈模拟）已知全集为U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列运算结果为U的是（  ）A.M∪N B.∁UNC.M∪∁UN D.N[答案]（1）AC（2）D[解析]（1）如图，对于A，∁UN＝①＋④，则M∩∁UN＝④，故A正确；对于B，∁UM＝①＋②，则N∩∁UM＝②，故B错误；对于C，M∩N＝③，∁UM⋂N＝①＋②＋④，故M∩∁UN⋂M对于D，∁UM∩∁UN＝①（2）全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，绘制Venn图，如图所示.对于A：M∪N＝N，A错误；对于B：∁UN∪∁UM＝∁U对于C：M∪∁UN⊆U，对于D：N∪∁UM＝U，D┃方法总结┃利用Venn图可以迅速地解决多个集合之间的关系及运算问题，需要引起重视.1.（2024·江西南昌模拟）已知全集U＝R，集合A＝1，2，3，集合A.2，3 C.4 D.0答案：D解析：根据交集和补集的定义，图中的阴影部分表示的集合为B∩∁UA，即B∩∁UA＝0，2.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（  ）A.最多人数是55 B.最少人数是55C.最少人数是75 D.最多人数是80答案：B解析：设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y.根据题意画出Venn图，如图所示，由图可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.[A组基础保分练]1.设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，则实数m＝（  ）A.－1 B.1C.0 D.2答案：A解析：∵A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，∴－1∈B，∴m＝－1.2.（2022·全国甲卷）设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝x｜0≤x＜5A.{0，1，2} B.{－2，－1，0}C.{0，1} D.{1，2}答案：A解析：集合A中的元素只有0，1，2属于集合B，所以A∩B＝{0，1，2}.3.（2022·北京卷）已知全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜－2＜x≤1}，则∁UA＝（  ）A.（－2，1] B.（－3，－2）∪[1，3）C.[－2，1） D.（－3，－2]∪（1，3）答案：D解析：法一：因为全集U＝（－3，3），A＝（－2，1]，所以∁UA＝（－3，－2]∪（1，3）.法二：因为1∈A，所以1∉∁UA，可排除A选项和B选项；0∈A，所以0∉∁UA，可排除C选项.4.（2023·北京卷）已知集合M＝{x｜x＋2≥0}，N＝{x｜x－1＜0}，则M∩N＝（  ）A.{x｜－2≤x＜1} B.{x｜－2＜x≤1}C.{x｜x≥－2} D.{x｜x＜1}答案：A解析：由题意，M＝{x｜x＋2≥0}＝{x｜x≥－2}，N＝{x｜x－1＜0}＝{x｜x＜1}，根据交集的运算可知，M∩N＝{x｜－2≤x＜1}.5.已知集合A＝{x∈N*｜x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有（  ）A.7个 B.8个C.15个 D.16个答案：A解析：∵集合A＝{x∈N*｜x2－3x－4＜0}＝{x∈N*｜－1＜x＜4}＝{1，2，3}，∴集合A中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7（个）.6.（2023·天津卷）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则（∁UB）∪A＝（  ）A.{1，3，5} B.{1，3}C.{1，2，4} D.{1，2，4，5}答案：A解析：由题意知∁UB＝{3，5}，∴A∪（∁UB）＝{1，3，5}.7.（多选）满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是（  ）A.{5} B.{1，5}C.{3} D.{1，3}答案：AB解析：由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5.8.（多选）已知集合A＝{x｜x＞－1，x∈R}，B＝{x｜x2－x－2≥0，x∈R}，则下列关系中错误的是（  ）A.A⊆B B.∁RA⊆∁RBC.A∩B＝⌀ D.A∪B＝R答案：ABC解析：∵A＝（－1，＋∞），B＝（－∞，－1]∪[2，＋∞），∴A∪B＝R，D正确，其余选项均错误.9.（2024·浙江台州模拟）若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U（M∪N）＝    .答案：{4}解析：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U（M∪N）＝{4}.10.已知集合1，a，ba＝{0，a2，a＋b}，则a2023＋答案：－1解析：易知a≠0，ba＝0，即b＝0所以a2＝1，即a＝±1.又由集合中元素的互异性，知a≠1，所以a＝－1，故a2023＋b2024＝（－1）2023＋02024＝－1.11.已知集合A＝{x｜x2＋2ax＋2a≤0}，若A中只有一个元素，则实数a的值为    .答案：0或2解析：∵集合A＝{x｜x2＋2ax＋2a≤0}，A中只有一个元素，∴Δ＝4a2－8a＝0，解得a＝0或a＝2，∴实数a的值为0或2.12.已知集合A＝{x｜x－a≤0}，B＝{1，2，3}.若A∩B≠⌀，则a的取值范围为    .答案：[1，＋∞）解析：集合A＝{x｜x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠⌀，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.13.（2024·河南郑州模拟）已知集合A＝x∈N*

x＝m答案：6（或8，或10，填其中一个即可）解析：由集合A＝x有15个真子集，得集合A中含有4个元素，则m有4个因数，则除1和它本身m外，还有2个因数，所以m的值可以为6，8，10，故m的一个值为6（或8，或10）.14.已知集合A＝{x｜x2＝4，x∈R}，B＝{x｜kx＝4，x∈R}.若B⊆A，则实数k＝    .答案：0，2，－2解析：A＝{x｜x2＝4，x∈R}＝{－2，2}.因为B⊆A，所以B＝⌀，或B＝{2}，或B＝{－2}，或B＝{－2，2}.因为方程kx＝4最多有一个实数根或无实数根，因此分类讨论如下：当B＝⌀时，方程kx＝4无实根，所以k＝0；当B＝{2}时，2是方程kx＝4的实根，