初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习5.1 任意角和弧度制（学生版）

第五章《三角函数》5.1任意角和弧度制【知识梳理】知识点一角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．知识点二弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0<α<2π)为弧所对圆心角．【基础自测】1．判断正误．（1）小于的角都是锐角．()（2）终边与始边重合的角为零角．()（3）大于的角都是钝角．()（4）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是．()2．角的弧度数为（

）A． B． C． D．3．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______．5．已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为，则圆心角所对的弧长为___________，该扇形的面积为___________.【例题详解】一、任意角的概念例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°二、终边相同的角及象限角例2(1)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1020°.(2)下列说法中正确的序号有________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．(3)在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在轴的非负半轴上；(2)终边在上．跟踪训练2(1)将化为的形式是（

）A． B．C． D．(2)下列各角中，与160°角是同一象限角的是（

）A．600° B．520° C．－140° D．－380°三、区域角的表示例3(1)已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围．(2)终边在第四象限的角的集合是（

）A．B．C．D．跟踪训练3如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．

四、确定nα及eq\f(α,n)所在的象限例4已知角的终边在第四象限.（1）试分别判断、是哪个象限的角；（2）求的范围.跟踪训练4已知是锐角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角五、弧度制的概念例5下列说法正确的是()A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角跟踪训练5(1)下列说法中，错误的是（

）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关(2)4弧度的角的终边所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限六、角度制与弧度制的互化例6将下列角度化为弧度，弧度转化为角度(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)跟踪训练6已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．七、与扇形的弧长、面积有关的计算例7已知扇形的圆心角是，半径为.（1）若，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？跟踪训练7已知扇形的周长为20cm，面积为cm，求扇形圆心角的大小.【课堂巩固】1．下列说法中，正确的是（

）A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．是第二象限的角 D．是终边相同的角2．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角3．已知角与的顶点均在原点，始边均在x轴的非负半轴上，终边相同，且，则__________．（用角度表示）4．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．5．当是锐角时，试判断是哪个象限的角．6．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).7．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角.（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）的角.8．将下列角度与弧度进行互化.(1)；(2)；(3)；(4)9．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l，若，R=10，求：（1）扇形的面积；（2）扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.【课时作业】1．下列与角的终边一定相同的角是（

）A． B．)C．) D．)2．若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（

）A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C结论3．终边落在轴上的角的集合是（）A． B．C． D．4．将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（

）A． B． C． D．5．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（）A． B． C． D．27．某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（

）A． B． C． D．8．设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（）A． B． C． D．9．（多选）下列结论中不正确的是（

）A．终边经过点的角的集合是B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角D．，，则10．（多选）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或轴负半轴上11．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________.12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则其面积为________