初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习专题强化1 与指数函数、对数函数有关的复合函数（教师版）

强化专题1与指数函数、对数函数有关的复合函数【方法技巧】指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．【题型目录】一、判断复合函数的单调性二、已知复合函数单调性求参数范围三、求复合函数的值域/最值四、与复合函数有关的不等式问题五、判断复合函数的奇偶性【例题详解】一、判断复合函数的单调性1．函数的单调递增区间是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据指数函数、二次函数的单调性结合复合函数单调性的“同增异减”求解.【详解】令，则是单调递增函数，当时，是增函数；当时，是减函数，由复合函数单调性可知，当时，单调递增，故选：B2．函数的单调递减区间为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A3．关于函数的单调性的说法正确的是（

）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数【答案】C【分析】先求出函数定义域，再结合复合函数单调性性质进行判断即可.【详解】由函数的解析式知定义域为，设，显然在上是增函数，在上是增函数，由复合函数的单调性可知在上是增函数，故选：C4．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由，则，，解得，即函数的定义域，由题意，令，，则，易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，由，则在上二次函数的递增区间为，故选：C.5．函数的单调减区间是_______．【答案】【分析】令，则，分别判断函数和的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间.【详解】令，则∵，∴在上单调递减作出的图象由图象可以在上单调递减，在上单调递增∴在上单调递增，在上单调递减故答案为：.二、已知复合函数单调性求参数范围1．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令，则，因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，函数与的单调性相反；又因为单调递减，所以需在上单调递增.函数的对称轴为，所以只需要，故选:A.2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围【详解】解：令，∵在上单调递减，∴在内递增，且恒大于0，且，．故选：C．3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，又由函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，因为函数在上单调递减，则，可得实数的取值范围是.故答案为：.4．已知函数(为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．【答案】【分析】首先根据题意得到，从而得到当时，函数为增函数，再根据题意即可得到答案.【详解】因为函数，当时，函数为增函数，而已知函数在区间上是增函数，所以，即的取值范围为．故答案为：5．已知函数在区间(－∞，eq\r(2))上是增函数，求实数a的取值范围．【详解】令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))上是减函数，∵0<eq\f(1,2)<1，∴是关于g(x)的减函数．而已知复合函数在区间(－∞，eq\r(2))上是增函数，∴只要g(x)在(－∞，eq\r(2))上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，eq\r(2))上恒成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)≤\f(a,2)，,g\r(2)＝\r(2)2－\r(2)a＋a≥0，))∴2eq\r(2)≤a≤2(eq\r(2)＋1)，故所求a的取值范围是[2eq\r(2)，2eq\r(2)＋2]．三、求复合函数的值域/最值1．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数的值域.【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.故选：B2．函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用换元法和对数函数的性质即可求得函数的值域．【详解】令，则，又在上单调递增，所以，故函数的值域为．故选：B．3．已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域．【详解】．故的值域为．故选：B．4．函数的值域是__________.【答案】【分析】由对数的真数大于0得定义域，结合对数函数的单调性求函数值域．【详解】由题意可得，即，所以函数的定义域为(－3，3)．因为，所以，故函数的值域为．故答案为：.5．函数的值域为________.【答案】【分析】利用换元法结合对数函数和指数函数的性质求解即可.【详解】函数的定义域为，令，则，因为，所以，即，所以，即，所以函数的值域为，故答案为：6．函数的最小值是______．【答案】－2【分析】首先求真数部分的值域，再根据函数的单调性求函数的最小值.【详解】设，所以，是单调递减函数，所以当时，函数取得最小值，最小值是.故答案为：7．函数的值域为__________．【答案】/【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可【详解】当时，在上单调递减，所以；当时，在上单调递减，所以；所以函数的值域为，故答案为：8．设，若函数在上的最大值是，则在上的最小值是______.【答案】【分析】令，利用二次函数性质先求b，然后可解.【详解】令，则因为，所以，所以当时函数有最大值，故，解得，当时，函数有最小值.故答案为：9．函数的最大值是_____【答案】【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案.【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大值，所以当时，.故答案为：10．函数的最大值为________.【答案】【分析】根据对数的运算可得,配方，根据二次函数的性质即可求最大值.【详解】，故当时，.故答案为:.11．已知函数，求函数的最大值与最小值.【答案】函数的最大值为，最小值为.【分析】利用换元法将函数转化为关于的二次函数，然后利用二次函数的图象和性质即可求解.【详解】令，因为，所以，所以函数可化为，因为，由二次函数的图象和性质可知：当，也即时，函数取最小值；当，也即时，函数取最大值；所以函数的最大值为，最小值为.12．已知函数.(1)求的值域；(2)当时，的最大值为7，求的值.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）利用换元法，设，则，然后利用二次函数的性质可求得函数的值域，（2）分和两种情况求解即可【详解】（1）设，则.因为，所以，所以，所以，即的值域为.（2）函数图象的对称轴为直线.当时，，所以在上单调递增，则，解得或（舍去），所以；当时，，所以在上单调递增，则，解得或（舍去），因为，所以.综上，或.13．设函数．(1)求函数的定义域；(2)设函数，求在区间上的值域．【答案】(1)；(2)【分析】（1）对数的真数大于零列不等式组解决.(2)代入化简得到对数型函数求值域.【详解】（1）由题知解得．函数的定义域为．（2）．当时，，又是增函数，，，函数在区间上的值域为．四、与复合函数有关的不等式问题1．已知，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数以及指数函数的单调性即可由和分类讨论求解.【详解】当时，，即，即，又，即，故，即，当时，由，无解，综上，实数a的取值范围是．故选:A．2．已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．【答案】【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理.【详解】，令，由于，根据指数函数性质，，于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，故，于是.故答案为：3．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】设，，则题目转化为在恒成立，求的最小值即可.【详解】设，因为，则，不等式对于恒成立，等价于，即在恒成立，设，，令，（负舍），则根据对勾函数的性质可知：在上为单调减函数，则，所以，故实数的取值范围是，故答案为：.4．已知函数．(1)求函数的定义域；(2)求满足的实数的取值范围．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）由函数的解析式可得，解一元二次不等式，求出的范围．（2）依题意可得，即，由此解一元二次不等式组，求得实数的取值范围．【详解】（1）解：对于函数，所以，即，解得或，所以函数的定义域为或．（2）解：不等式，即，，即，解得或，即实数的取值范围为．5．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可；（2）利用换元法，结合常变量分离法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）当时，，由，所以不等式的解集为；（2）令，因为，所以，，因为，所以由，因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号，因此当时，恒成立，只需，所以实数的取值范围为.五、判断复合函数的奇偶性1．函数是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数【答案】B【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.故选：B2．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；对于B，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；对于C，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；对于D，的定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；故选：B.3．已知函数，则（

）A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数【答案】C【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.故选：C4．函数的奇偶性是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数【答案】A【分析】由奇偶性定义直接判断即可.【详解】的定义域为，，是奇函数，不是偶函数.故选：A.5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出每个选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项.【详解】由题意可得，对于A，，定义域为，不关于原点对称，故A错误；对于B，，定义域为，不关于原点对称，故B错误；对于C，，定义域为，关于原点对称，令，，所以不是奇函数，故C错误；对于D，，定义域为，关于原点对称，令，，所以是奇函数，故D正确.故选：D.6．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递增C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递增【答案】B【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.【详解】解：由，得x≠±．又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，∵11．可得内