数学建模选修课二市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

数学建模基础第1页前言第2页一、开设数学建模课程背景1.开设数学建模是数学教育改革必定现在请各位同学回答以下两个问题：(1)数学主要吗，为何？(2)数学有用吗？请举出一些用数学知识处理实际问题例子。第3页对于第一个问题，大家一定会毫不犹豫地回答：数学是非常主要。至于理由我猜测应该是：从小学、初中到高中、大学，从小升初、中考到高考、考研，数学从来是必考科目，而且在总分中所占比重相当高。在大学阶段，许多专业学生都最少要学习高等数学、线性代数、概率统计三门课程，历时一年半，17个学分。第4页对于第二个问题，大家回答可能会有些矛盾：数学应该是有用，但又极难列举出自己用数学处理有价值实例。之所以出现“数学主要，数学又似乎没用”矛盾，原因是多方面。当然有数学比较抽象不易掌握等客观原因，但不可否定是，长久以来数学教育中一些敝病是造成这种情况主要原因。

第5页事实上，现在大学数学教育相当不尽如人意。一方面传统数学已演变为数学技术、理论研究和实验研究三足鼎立现代数学；而其次大部分教材、教学内容和教学伎俩几十年一贯制，过于陈旧，完全没有反映出信息时代数学作为一种技术新特点，致使学生科学计算能力和运用数学知识解决实际问题能力得不到很好培养。第6页比如，我校工科专业一些硕士和教师在科研中碰到稍微复杂一点数学计算问题便束手无策。另外在最近几年全国大学生数学建模竞赛中，尽管我院大部分参赛选手数学成绩都很好，但他们利用数学知识和数学软件处理实际问题能力显著不足。所以，数学教育改革已成了当务之急。第7页为了适应新形势需要，必须改革现有数学教育模式与内容，增强学生使用计算机与数学软件学习数学和处理实际问题能力。数学建模课便应运而生了，能够说数学建模是数学教育改革产物。第8页2.开设数学建模是参加竞赛需要我校于首次参加全国大学生数学建模竞赛。因为缺乏指导教师和充分资金支持、建模活动不普及等原因，我校数学建模水平与省内同类院校相比相差甚远。一直存在着参赛队少、获奖级别低等问题。第9页据调查，我校数学教师中有不少愿意投身数学建模，但缺乏学习和研究建模契机；学生中也有一批数学建模兴趣者，但平时苦于没有机会接收数学建模知识系统介绍和培训。安大、安财等建模先进院校经验表明，开设数学建模选修课是培养指导教师和参赛选手有效路径。数学建模选修课开设不但能够引导教师学第10页习、钻研建模，而且为学生中建模兴趣者提供了接收建模基础学习、培训机会和场所。第11页3.学分制为开设数学建模提供了有利条件我校从级新生开始实施学分制。学分制是以学分为计量单位衡量学生完成学业情况一个弹性教学管理制度。学分制关键和基础是选课制，选课制允许学生在一定范围内自主选择课程、教师、讲课时间、修读方式和学习进程。第12页学分制实施给数学建模选修课开设提供了极为有利条件。在全校开设数学建模选修课，为学生中建模兴趣者提供了接收建模基础学习、培训机会和场所，有利于数学建模活动普及，可在一定程度上改变我校在数学建模竞赛上落后情况。第13页二、课程介绍1.课程主要内容与讲课方式

考虑到选修本门课程大多为非数学专业学生，他们选修本门课程主要目标不是学习数学，而是想经过本门课程学习提升应用数学知识和数学软件处理实际问题能力。第14页所以，除了少数数学理论问题之外，本门课程重点介绍怎样用数学数学软件求解经典数学模型。内容包含：惯用数学软件介绍，重点介绍Maple和Lingo；初等模型、微分方程模型、运筹与优化模型、数据处理与统计分析、随机模拟、图论与网络模型等。第15页因为公选课尤其是数学建模不太适宜指定教科书，所以数学建模课程拟采取学生自学、学生教师课下讨论与教师课堂讲解相结合讲课方式。首先由学生按教师要求对下次讲课内容进行自学，对于疑难问题可经过适当方式与教师进行讨论、交流，然后教师在课堂上对此次讲课内容进行讲解、总结，布置作业。第16页2.上机练习、数学软件使用与编程

数学建模是实践性尤其强课程，与高等数学等课程有很大不一样。数学建模课程中几乎全部问题都要借助数学软件上机完成。希望同学们对数学建模课堂中所讲例题以及课后练习一定要动手上机演练，这么才能有所收获。第17页在数学建模中，能否熟练利用相关软件往往比熟知数学知识更主要。因为对于许多问题而言选定数学方法并不太难，而能否用相关软件得出正确结果往往是能否处理问题关键。训练学生比较熟练地掌握各类相关数学软件是数学建模课程主要内容之一。第18页在充分利用现有软件同时，我们提倡适当地自己动手编程，因为

①Matlab、Maple和Lingo等软件功效确实强大，但它们也不是万能。首先，对于一些问题，这些工具软件有都求不出正确解情况。其次不能确保对任何问题都有现成工具软件，实际上，许多当代计算方法都不可能编制成通用软件。第19页②即使使用数学软件时也需要编程将软件各功效相联结。③在一些大型计算中，可能要求计算是“实时计算”，即计算从前一计算步骤获取参数，计算结果后马上传送给后一计算步骤，全部计算都是在内存中进行。显然，现成工具软件对此无能为力。第20页

④熟练使用相关科技软件、含有一定编程水平是理工科学生所必须含有素养，从某种程度上讲，后者更能反应出个人能力，而编程经验和水平不是凭一朝一夕就能够提升，要靠大量编程实践和不停地日积月累。考虑到学生实际情况，本课程主要要求学生掌握1,2种惯用数学软件基本功效，对编程无过多要求。第21页三、学习数学建模应注意几个问题伴随高等教育普及化，高等学校学生和教师质量不可防止地有了一定程度下降。许多大学生知识面狭窄、自学能力差、计算机应用能力和科技论文写作能力不强。在学习数学建模课程时要注意以下几个方面问题：第22页1.借助于数学建模课程学习尽可能多应用数学知识和方法，尤其是一些当代数学方法。2.在数学建模中着力提升各种动手能力，包含计算能力、编程能力、计算机软件应用能力、科技论文写作与编辑能力等。第23页3.数学建模课程属于拓宽性、启发性、难度较大课程，学好这门课不但要有浓厚兴趣，还要有较强自学能力和不怕困难毅力。我们有理由相信，只要你有兴趣、花功夫、不怕难，经过数学建模课程学习,就一定能拓展知识面，提升应用数学和计算机处理实际问题能力。第24页最终要说明是，今年数学建模是首次做为全校公共选修课，面向来自不一样专业、学习心态各异学生，我们缺乏足够经验。前面提到一些构想可能只是我们一厢情愿，不一定得以实现。假如各位能从课堂上学到一点点有用东西，或者能从课下我们交流中取得一丝有益启示，我认为这门课就没有完全失败。第25页四、参考书目①赵静，但琦.数学建模与数学试验(第3版)，高等教育出版社，；②何青，王丽芬.Maple教程，科学出版社，；③谢金星，薛毅.优化建模与Lingo软件，清华大学出版社，；④周建兴等.Matlab从入门到精通，人民邮电出版社，；第26页⑤数学建模，Matlab，Maple，Lingo电子版资料。邮箱：austmathmodeling@163.com

MM：matlabmaple第27页数学软件Maple介绍第28页一、惯用数学软件介绍当前在科学研究与工程计算中惯用数学软件约30余个，可分为通用与专用两大类。专用软件主要是为处理数学中某个分支特殊问题而设计。第29页惯用专用软件有:1.SAS和SPSS(统计分析)；2.Lindo、Lingo和CPLEX(运筹与优化计算)；3.Cayley和GAP(群论研究)；4.PARI(数论研究)；5.Origin(科技绘图与数据分析)；6.DELiA(微分方程分析)；7.ANSYS(有限元计算)。第30页

通用软件普通能够求解数学许多分支中大部分问题。通用软件又可分为数值计算型与解析计算型。惯用通用型数值计算软件有：

Matlab、Xmath、Gauss、MLAB等。惯用通用型解析计算软件有：Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等。第31页Matlab、Mathematica、Maple与另一个面向大众普及型数学软件Mathcad并称数学软件中“四大天王”。第32页Matlab意思为“矩阵试验室”，是美国计算机科学家CleveMoler在70年代末开发出以矩阵数值计算为主数学软件，如今已发展成为融科技计算、图形可视化与程序语言为一体功效强大通用数学软件。Matlab最突出特点是其带有一系列“工具包”，可广泛应用于自动控制、信号处理、数据分析、通讯系统和动态仿真等领域。高版本Matlab也可进行符号计第33页符号计算，不过它代数运算系统是从解析计算软件Maple移植而来。当前,Matlab最高版本为Rb(3.69G)。Mathematica是美国物理学家StephenWolfram开发第一个将符号计算、数值计算和图形显示很好地结合在一起数学软件，在国内较为流行，拥有广泛用户。它最大优点是带有图形用户接口计算机上Mathematica支持一个专用Notebook第34页接口。经过Notebook接口，能够显示输出结果、图形、动画和声音等。Mathematica另一个特点是它能够和C、Excel、Word等相互调用。

Mathcad是MathSoft企业在80年代开发一个交互式数学文字软件，与Matlab和Mathematica不一样是，该软件市场定位是:向广大教师、学生、工程技术人员提供一个兼备文字、数学和图形处理能力集第35页集成工作环境，而并不致力于复杂数值计算与符号计算问题，含有面向大众普及特点。不过，现在Mathcad计算能力已远超出了其早期设计目标。SPSS(社会科学统计软件包)是世界著名统计分析软件之一。SPSS基本功效包含数据管理、统计分析、图表分析、输出管理等。其过程包含描述性统计、均值比较、普通线性模型、相关分析、回归第36页分析、聚类分析、生存分析、时间序列分析等。SPSS中还有专门绘图系统，能够依据数据绘制各种图形。Origin是与SigmaPlot和Axum齐名科技绘图和数据处理软件。Origin除了能够很方便地画出各种二维和三维图形外，它最突出功效是曲线拟合。它不但能够用内置上百种函数很方便地进行曲线拟合,而且能够依据用户需要添加线型。第37页

Lindo是美国芝加哥大学Schrage教授开发专门用于求解数学规划专用软件包，版权现归属于美国Lindo系统企业。Lindo包含Lindo、Gino、Lingo、LingoNL和“What’sBest”等多个组件，这些组件统称为Lindo，其中Lindo和Lingo最为惯用。

Lindo可求解线性规划、整数规划和二次规划；Lingo除了能够求解线性规划、整数规划和二次规划外，还能够求解非线第38页性规划和线性、非线性方程组。除此之外,Lingo还包含了内置建模语言和一些惯用数学函数，能够简便、直观地描述大规模优化问题。Lingo有各种版本，如学生版、演示版、高级版、发行版、工业版等，其主要区分在于对优化规模(变量和约束个数)有不一样限制。第39页Maple是加拿大Waterloo大学符号计算研究小组于80年代初开始研发，1985年才面世计算机代数软件，起初并不为人们所注意。但MapleVrelease2于1992年面世后，人们发觉它是一个功效强大、界面友好计算机代数系统。伴随版本不停更新，Maple已日益得到广泛认可和欢迎，用户越来越多，声誉越来越高。从1995年二、Maple介绍第40页以后，Maple一直在IEEE数学软件评选中居符号计算软件第1名。当前，Maple最高版本为MapleVrelease14.01。Maple是一个开放计算机代数系统，主要由用户界面、代数运算器和外部函数库三部分组成。用户界面负责输入数学表示式初步处理、运算结果和图像显示等。代数运算器进行输入编译及基本代数运算。外部函数库中包含数千个数学第41页函数和过程，几乎涵盖了数学全部分支Maple支持函数、序列、集合、列表、数组、表等各种数据结构。用户能够查看其非内部函数源程序，也能够将自己编和函数、过程添加到函数库中或建立自己函数库。Maple一个突出特点是界面非常友好。它有一个非常好帮助系统，能够很方便地查找函数和命令使用方法。第42页

总之，Maple是一个功效强大、轻易掌握、不停发展数学解析软件。有了良好数学基础加上Maple就能使你如虎添翼，有能力和信心去处理各种各样数学计算问题。第43页第一章Maple初步1.1Maple安装与开启不一样版本Maple安装过程略有不一样，有版本需要序列号。Maple工作环境是经典windows界面，下面给出Maple7(序列号1210)经典界面和Maple14新界面。第44页第45页第46页1.2Maple命令输入与显示1.>命令提醒符；大小写敏感。2.Maple命令以；或：结尾，以；结尾显示结果，而以：结尾则不显示结果。3.Maple赋值号为：=。4.光标放在命令行任意位置，然后回车即可运行此命令；在书写命令时如需换行，须按Shift+回车。第47页1.3Maple数值与解析计算Maple可进行无误差符号计算和高精度数值计算。比如，100!,Pi,sqrt(2),sin(3)。1.4Maple图形显示1.普通函数做图plot(f(x),x=a..b,option);plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,option);第48页2.极坐标做图plot([sin(3*x),x,x=-2*Pi..2*Pi],cords=polor);3.隐函数做图implicitplot(表示式,x=a..b,y=c..d);with(plots);impliciplot(y=sin(x+y),x=1..20,y=-1..1);4.参数方程做图plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]);第49页5.同一坐标系中做多图方法1:plot([f1(x),…,fn(x)],x=a..b);plot([x^3-6*x+2,3*x^2-6],x=-5..5):切勿与参数方程做图混同.方法2:F1:=plot():F2:=plot():…Fn:=plot():Display(F1,…,Fn);第50页with(plots):F:=plot([cos(x),sin(x),x=0..2*Pi]):G:=plot([cos(x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi):display(F,G):1.5Maple微积分计算1.解方程solve(f(x),x);求解析解fsolve(f(x),x);求全部实数数值解第51页fsolve(f(x),x,complex);求全部复数数值解2.求极限limit((tan(x)-sin(x))/x^3,x=0);limit(sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x),x=infinity);3.求导数diff((x/(1+x))^x,x);diff(sin(x),x$2);diff(ln(tan(x/y)),x,y);第52页simplify(diff(ln(tan(x/y)),x,y));implicitdiff(y=sin(x+y),y,x);4.求积分int(exp(-x)*cos(x),x);int(sqrt(1+cos(2*x),x=0..Pi);5.解微分方程dsolve(diff(y(x),x)=x+y(x),y(x));dsolve({diff(y(x),x)=x+y(x),y(0)=2},y(x));dsolve({diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)^2,x(0)=0,D(x)(0)=200});第53页1.6Maple线性代数计算1.矩阵转置transpose(A);2.矩阵取行列式det(A);3.矩阵加法evalm(A+B);4.矩阵乘法evalm(A&*B);5.求特征值eigenvals(A);6.求特征向量eigenvects(A);第54页1.7Maple帮助功效

Maple有非常强大、完善在线帮助功效。Maple可经过Introduction,TopicSearch和键盘命令等方式寻求帮助。比如，?interp;?dsolve;第55页1.8Maple函数库Maple有数以千计函数，这些函数被分成四大类:标准库、混合库、专用软件包和共享软件包。1.标准库标准库分为内部函数、外部函数和惰性函数三类。内部函数在Maple内核中，不能查看其代码。外部函数和惰性函数能够查看第56页其代码。惰性函数主要用来显示函数名。2.混合库混合库中存放是不太惯用函数，系统开启时不自动调入内存。需要用时需用命令readlib(函数名)调入。3.专用软件包Maple有几十个专用软件包，分别处理不一样数学分支问题。第57页专用软件包在使用时要用命令with(软件包名)调入。4.共享库共享库是由Maple兴趣者开发软件包。这些程序用户可上网搜寻。第58页第一次作业1.安装Maple软件；2.自学Maple相关资料(PPT,word,pdf)，初步掌握Maple基本操作。第59页第二章Maple语言基础Maple是一个可编程数学环境。本章介绍Maple符号集、语句、表示式、基本数据类型以及基本程序语言。2.1标识符与变量名2.1.1标识符标识符是语言基本元素。Maple第60页标识符由26个大小写字母、10个数字字符以及一些特殊符号组成(P49)。2.1.2变量名变量名第一个符号必须是字母，后面能够跟字母、数字、下划线。Maple中关键词是系统内部使用字符串，不能作为变量名。另外，内部函数名也不能作为变量名。第61页2.2语句和表示式2.2.1语句类型1.赋值语句变量名:=表示式注:初学者最轻易犯错误是将赋值号“:=”误写为“=”。2.条件语句if条件then语句组fi第62页if条件then语句组else语句组fiif条件then语句组elif条件then语句组fiif条件then语句组elif条件then语句组else语句组fi3.循环语句for循环变量名from初值by步长to终值do语句组od第63页

考查以下程序中循环和条件语句。restart:n:=10000:count:=0:forifrom1tondor1:=rand(0..1):r2:=rand(0..1):ifr1()=1orr2()=1thencount:=count+1:fi:od:prizeA:=1000*evalf(count/n);第64页2.2.2表示式Maple表示式由常数、变量、函数、运算符和括号等组成。比如，1.序列、列表、集合；(第五章)2.尤其运算符：复合@、自复合@@、取模mod。比如，(sin@ln)(x)结果为sin(ln(x))；(ln@@2)(x)结果为ln(ln(x))；第65页10mod3结果为1。考查以下程序中复合运算。restart:f:=x->x^3-3*x-1:plot(f(x),x=-3..3);fsolve(f(x));x:=-4:n:=9:g:=x->x-(x^3-3*x-1)/(3*x^2-3):第66页forifrom1tondox:=evalf((g@@i)(x)):od;3.布尔表示式和逻辑运算Maple中关系运算符为<,<=,>,>=,=,<>；逻辑运算符为and,or,not。“表示式关系运算符表示式”称为关系式，其值为true或false。第67页由关系式、逻辑运算符和括号组成表示式称为布尔表示式。比如，a:=1;b:=2;c:=3;a>b,c>b;false,truea>bandc>bfalse考查第38张幻灯片程序中逻辑表示式。

4.过程与函数(第五章)第68页2.3类型与判别Maple含有丰富表示式、函数和数据类型，以适应不一样数学领域和用户要求。看一个表示式是什么类型，除凭经验外，还可用命令type对变量类型进行判别,用命令whattype对表示式类型进行问询。2.3.1判别类型命令

函数type(表示式,类型)判别此表示式第69页是否属于该类型。属于时函数值为1，不然为0。比如，type(5,float)值为false。Maple中全部表示式类型见P57。2.3.2类型问询函数whattype(表示式)返回表示式基本数据类型。Maple中基本数据类型见P57。第70页比如，whattype(x-y)值为+，whattype(x^y)值为^。2.4基本数据类型本节介绍一些惯用基本数据类型：整数(integer),分数(fraction),浮点数(float),常数(constant),函数(functions),复数(complex),代数数(algebraicnumber)。下一章将深入介绍惯用复合数据类型。第71页2.4.1整数、分数Maple能够计算和表示最大整数长度为2^19-1=524279位。惯用整数运算函数见P58。Maple分数计算是符号计算，Maple在处理含有分数表示式时，自动地对分数进行约分，将分母表示成正整数。2.4.2浮点数、符号常数第72页浮点数通常指带有小数数，它运算不属于符号运算。1.浮点数有常规和指数两种表示法。比如，314.5和3.145e2。2.可用命令evalf(表示式,精度)求表示式浮点数。比如，evalf(22/7,20)。3.Maple默认浮点精度为10，可用第73页命令“Digits:=精度”进行重新设置。比如，Digits:=40;evalf(22/7);Maple对数学中主要常数做了特殊定义。注：Maple各版本中定义略有不一样。2.4.3复数、代数数

Maple用I代表虚数单位，如1+3*I。复数惯用运算有Re(取实部)、Im(第74页取虚部)、argument(求幅角)、conjugate(求共轭)。代数数是指有理多项式方程根。代数数计算是符号计算。2.5Maple程序语言用本章介绍语句能够编制出简单Maple程序。

下面给出用数值积分计算程序。第75页因为，只要计算出右边积分，即可得到值。我们分别采取数值分析中复化梯形公式和复化Simpson公式计算。复化梯形公式：复化Simpson公式：第76页Pi:=evalf(Pi,50);a:=0:b:=1:n:=1000:f:=x->4/(1+x^2):Pi1:=evalf((b-a)/n*(sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1..n-1)+(f(a)+f(b))/2),50);Pi2:=evalf((b-a)/6/n*(f(a)+f(b)+2*sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1..n-1)+4*sum(f(a+(i+1/2)*(b-a)/n),i=0..n-1)),50);第77页1.在同一坐标系中作出和它Taylor展式前项组成多项式图象。对不一样，观察多项式迫近情形,并经过计算证实Taylor级数收敛于。2.对不一样n，画出在上图象。经过观察图像猜测当时，这个函数趋向于什么函数，并证实之。第78页第三章Maple复合数据类型本章深入介绍Maple语言数据结构，包含惯用复合数据类型、函数定义方法和函数运算。最终介绍复合数据三个主要命令：代换(subs)，映射(map)和转换(convert)。第79页3.1序列、集合、列表序列、集合和列表是三种最惯用复合型数据类型。本节介绍它们使用和相互转换方法。3.1.1序列(sequence)形以以下类型数据称为序列。表示式1,表示式2,…,表示式n比如，1,2,3和x,y,z均为序列。第80页1.序列是Maple中一个基本数据结构，可用于函数、集合、列表等语句中。比如，f(1,2,3)(三元函数),{x,y,z}(集合),[a,b,c](列表)。2.两个序列可用逗号连成一个序列。比如，a:=1,2,3;b:=4,5,6;，则语句c:=a,b;产生序列是1,2,3,4,5,6。3.可用函数seq、$、op生成序列。第81页(1)seq(f(i),i=m..n)生成序列f(m),f(m+1),…,f(n)。(2)语句“表示式$n”表示将表示式重复n次，即生成序列“表示式,…,表示式”。比如，a$3生成序列a,a,a。语句“表示式(i)$i=m..n”表示生成序列“表示式(m),…,表示式(n)”。比如，i^2$i=1..4生成序列1,4,9,16。第82页语句“$m..n”等价于语句“i$i=m..n”，即生成序列“m,m+1,…,n”。比如，$1..4生成序列1,2,3,4。(3)op([列表])生成列表。比如，op([x,y,z])生成列表x,y,z。(4)可用命令“序列名[i]”提取序列第i项。比如，s:=1,2,3;s[3];结果是3。第83页(5)连接算子||可将两个序列按一定法则连接，产生一个新序列。若s为一序列，则a||s能够把a缀于s每一元素前。比如，s:=1,2,3;a||s;生成序列a1,a2,a3。3.1.2列表(list)用一对方括号括起以逗号分隔一组Maple对象即[序列]称为列表。比如，[1,2,3]即为一列表。第84页(1)列表元素是有序，能够重复。比如，[1,2]和[2,1]、[1,2]和[1,2,2]是不一样列表。(2)可用“列表名[i..j]”提取列表第i到第j个元素。比如，L:=[$1..10]:L[5];L[1..3];结果分别为5和1,2,3。(3)op(L)表示提取列表全部操作数即第85页元素，亦即将列表转换为序列。(4)nops(L)表示求列表中元素个数即列表长度。比如，L:=[1,2,3,4]:nops(L)结果为4。(5)[op(L),x]表示在列表后面附加一个元素x；subsop(i=x,L)表示将列表L中第i个元素换成x；subsop(i=NULL,L)表示消去列表L中第i个元素。第86页3.1.3集合(set)用一对花括号括起以逗号分隔一组Maple对象即{序列}称为集合。比如，{x,y,z}即为一集合。(1)列表元素是无序。元素能够重复，但运行后重复元素只保留一个。比如，[1,2]和[2,1]、[1,2]和[1,2,2]是相同集合。第87页(2)可用“集合名[i..j]”提取集合第i到第j个元素。(3)可用命令op(S)、[op(S)]将集合S分别转换为序列和列表，但在转换时去除重复元素。(4)集合运算有union(并)、intersect(交)、minus(差)、member(组员判别)。第88页第一章数学建模介绍一、数学模型与数学建模数学模型与数学建模是用数学描述和处理实际问题产物。数学模型就是对于现实世界一个特定问题，为了某种目标，依据其内在规律,经过必要抽象简化，利用适当数学工具，得到一个数学结构。

第89页通俗地说，数学模型就是描述实际问题某方面规律数学公式、图形或算法。

例1设一根匀质链条，悬挂在一个无摩擦钉子上。链条从静止开始运动，运动开始时一端下垂8厘米，另一端下垂12厘米，求链条运动方程。第90页第91页

解设链条密度为，在时刻链条下滑长度为，由牛顿定理，，。第92页数学建模是利用数学方法处理实际问题一个实践，即经过抽象、简化、假设等处理过程后，将实际问题用数学方式表示，建立起数学模型，然后利用先进数学方法及计算机技术进行求解。比如，用常微分方程中方法或数学软件可求出例1中运动方程为。第93页数学建模其实并不是什么新东西，能够说有了数学并需要用数学去处理实际问题，就一定要用数学语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模过程。

第94页二、数学建模过程及要求学习数学建模基本目标在于学会怎样利用有效数学知识、计算工具和科学试验伎俩来创造性地处理实际问题。数学建模基本组成部分为：(1)用适当数学方法对实际问题进行描述；(2)数学模型求解；(3)结果分析和模型检验。第95页很好数学模型通常含有以下特点：考虑问题较全方面，含有独到性或创新性，结果合理，稳定性好，适用性强。第96页实际问题问题分析数学模型模型求解模型验证实际使用正确修正数学建模基本过程第97页1.数学建模中惯用数学知识

数学建模通常需要具备微积分、微分方程、概率统计(随机模拟、方差分析、回归分析)、数值计算方法(插值、拟合、数值积分)、运筹优化(线性规划、整数规划)、图论(最短路、网络流)、神经网络、层次分析法、含糊数学等相关知识。第98页不过，数学建模并不要求学生对上述知识精通(不现实也不可能)。同学们只要对上述知识有所了解，对所面临问题知道用什么知识和方法处理就能够了。第99页2.求解数学模型惯用软件

在求解数学模型时，要充分利用先进计算工具和计算软件。提议熟悉和掌握以下惯用软件：Matlab（功效强大数值计算软件）Maple（方便实用解析计算软件）SPSS或SAS（专业统计分析软件）Lingo（专业运筹与优化软件）第100页3.结果分析和模型检验

一个高质量数学建模要求对计算结果进行合理性分析，对模型进行准确性检验。对结果分析包含误差分析、灵敏性与稳定性分析等。在对模型进行检验时，要采取不一样方法检验。比如，模型求解时采取是解析法或数值法，模型检验时可采取计算机仿真或模拟法。第101页三、数学模型分类依据数学模型数学特征和应用范围,普通有以下几个分类方法：1.依据模型应用领域，数学模型可分为人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。第102页2.按研究方法和对象数学特征，数学模型可分为初等模型、微分方程模型、网络图论模型、规划与优化模型、统计模型等。3.依据模型数学特征，数学模型可分为离散与连续模型、确定性与随机性模型、线性与非线性模型、静态与动态模型等。第103页4.根据建模目，数学模型又可分为分析、预测、决策、控制和优化模型等。第104页微积分与微分方程建模第105页

因为选课绝大多数学生仅学过微积分、线性代数和概率论，所以我们首先介绍一些只用一元、多元函数微积分以及微分方程即可处理简单建模问题。

第106页例1设一根匀质链条，悬挂在一个无摩擦钉子上。链条从静止开始运动，运动开始时一端下垂8厘米，另一端下垂12厘米，求整个链条滑过钉子所用时间。

第107页第108页

解设链条密度为，在时刻链条下滑长度为，由牛顿定理，，。。第109页不是特征根，设，代入求得，。由，即,得，。

。x=8时，时间。第110页restart:a:=12:b:=8:dsolve({diff(x(t),t$2)-x(t)*g/(a+b)+(a+b-x(t))*g/(a+b),x(0)=a,D(x)(0)=0});solve(a+b=rhs(%),t);第111页例2一粒子弹以速度v=200m/s打进一厚度为0.1m板。已知穿出板速度为80m/s，若板对子弹阻力与速度平方成正比，问子弹穿过板用了多少时间？第112页第113页

解由题意知，

。假设子弹过板所用时间为T，则，。第114页restart:dsolve({diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)^2,x(0)=0,D(x)(0)=200});solve({0.1=rhs(%),80=diff(rhs(%),t)},{t,k});第115页例3曲柄滑块机构运动规律曲柄滑块是一个惯用机械结构，它将曲柄转动转化为滑块在直线上往复运动，是气压机、冲床、活塞式水泵等机械主机构。下面为其示意图：第116页第117页记曲柄OQ长为r，连杆QP长为l。当曲柄绕固定点O以角速度旋转时，由连杆带动滑块P在水平槽内作往复直线运动。假设初始时刻曲柄端点Q位于水平线段OP上，曲柄从初始位置起转动角度为，连杆QP与OP锐夹角为(称为摆角)。第118页在机械设计中要研究滑块运动规律和摆角改变规律，确切地说，要研究滑块位移、速度和加速度关于函数关系，摆角及其角速度和角加速度关于函数关系，进而第119页(1)求出滑块行程，即滑块往复运动时左右极限位置；(2)求出滑块最大,最小加速度(绝对值)，以了解滑块在水平方向上作用力；(3)求出最大,最小加速度(绝对值)，以了解连杆转动惯量对滑块影响。设。第120页解取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上坐标为x，则，。(1)由上式即可得出滑块往复运动时左右极限位置。因为，故有而，第121页所以(2)由上式可求出滑块最大和最小加速度。第122页又，得，

第123页(2)由上式可求出最大和最小加速度。第124页restart:x:=theta->r*cos(theta)+sqrt(l^2-r^2*sin(theta)^2):v:=diff(x(theta),theta):a:=diff(x(theta),theta$2):r:=100:l:=3*r:omega:=240:plot(x(theta),theta=0..Pi,y=0..400);plot(