高中数学建模的主要过程及教学案例

高中数学建模的主要过程及教学案例

摘要：高中新课程标准中提出了数学建模核心素养，

数学建模素养的培养是高中数学教学中的重要内容，提高数学建

模素养是影响学生综合数学素养的重要因素。数学建模共有四个

步骤，通过对每一个步骤最核心内容的阐述，将有利于开展数学

建模教学活动。

关键词：数学建模；高中数学；数学教学；数学素养；

最新颁布的《普通高中数学课程标准》（2017年版）（以下简

称《课标》（2017年版））中明确了中学阶段数学学科核心素养，

包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数

据分析［1］。史宁中教授也曾多次表示数学学科核心素养可以更

简单地概括为抽象、推理、模型。此次新课标的公布进一步强调

了数学建模的重要性，突出了建模在数学教学中的重要地位。事

实上，在2003年公布的《普通高中数学课程标准（实验）》中就

开始强调数学建模的重要性。强调在整个高中课程内容中渗透数

学建模思想，并至少在高中阶段安排一次建模活动。在最初这对

数学一线数学教育工作者来说是一个不小的挑战，特别是在重视

推理、运算能力，强调解题为主，以面对高考为最根本出发点的

高中数学教学中，教师们将数学建模融入课堂教学确实具有一定

的难度。但是，随着不断的变化和认识，数学建模已经不再是陌

生的事物。由于数学建模可以简化数学问题，更容易地分析数学

数据解决数学问题。近年来，数学建模教学在我国中学教学中得

到了广泛的应用。许多从事数学教学的积极参与到数学建模教学

领域的研究中，寻找答案来解决数学教学中存在的问题。不过，

随着社会的变化，人们对数学和人才培养质量也不断提出新的要

求。加之新的教育理念、教育方法、教育技术快速地涌进一线教

学，数学建模的教学也处在不断地变化甚至是挑战之中。

一、数学建模的主要过程

按照《课标》（2017年版）的要求，数学建模是对现实问题

进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决

问题的素养。主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问

题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检

验结果、改进模型，最终解决实际问题。通过这些描述可以看出

数学建模的过程实际上是一个完整的数学问题解决过程，在这个

过程中学生要对问题有深入的分析，不但能够发现问题还有能够

找到解决问题的办法，更为重要的是在进行一定操作运算之后能

够对模型有所改进，验证结果。通过高中数学课程的学习，学生

能够有意识地用数学语言表达现实世界，发现问题并提出问题，

理解数学与现实的关系。学会用数学模型解决实际问题，积累实

践经验。认识数学模型在科学、社会和工程技术中的作用，提高

实践能力，增强创新意识和科学精神［2,3］。

数学最为基本的核心素养是抽象、推理、模型，但是这三者

之间并不是相互独立，互不联系的过程。我们在解决一个实际问

题的过程中，往往是三个素养同时发挥作用，或者多次交互发生,

这一点从数学建模的四个过程就可以看出。

第一步，发现问题，提出问题。发现问题、提出问题一直以

来是数学教育关注的重点内容。在20世纪我国的数学教育更加

侧重学生三大能力的培养，在学生问题解决表现方面没有给予足

够的重视。在21世纪初期，随着新课改的推行，问题解决能力

逐渐受到大家的认可和重视。在课堂教学或者课程标准制定中都

考虑了学生在这些方面的能力。我国学生历来比较擅长解决问

题，并且往往是封闭性问题。蔡金法教授对中美学生在开放性问

题的对比研究中清晰地展示了这种差异，而在问题提出等方面我

国学生仍然还需提高，需要引导学生能够主动思考，主动发现问

题，提出问题。作为数学建模的第一个过程，这里面的发现问题

和提出问题是在一定的情境下，对所涉及的现实场景或者某个具

体数学情境下的深入思考，所提出的问题可以是经过数学抽象后

的数学问题，也可以是一个现实问题。这个过程最重要的是提出

一个问题，而且是一个具有一定价值的问题，有了这个问题或者

一系列问题才能够为后续的建模活动打开局面。

第二步，分析问题，建立模型。对问题的分析并不局限于数

学，还需要调整其他学科或生活经验，往往还需要查阅资料。这

一过程主要是对前面提出问题的再加工，在这一过程中一定要将

问题进一步数学化，或者说完全转化为数学问题，虽然可能仍然

带有不同的现实背景，但问题的内部结构关系一定是数学的。这

种再加工的过程就是应用已经学习过的数学定理、概念、性质等

知识把问题模型化。经过上述两个步骤完成了数学抽象的过程，

从现实世界进入了数学世界，用数学的规律和方法分析问题。

第三步，确定参数，计算求解。这一过程就是解决问题的过

程，在这个过程中参数的确定最为关键。参数的确定需要基于高

质量的数据，而数据收集往往是数学建模活动的重要组成部分。

数据的来源可以多样化，在一些封闭性问题中要利用所给数据。

而在一些开放性问题中，数据的获得可以通过网络、教科书、其

他资料等。用数据来确定假设模型中的参数，通过计算为了解决

数学问题，这个过程体现了数学建模和数据分析、数学运算、逻

辑推理等素养直接相关［4］。

第四步，检验结果，改进模型。这是最后的过程，在这个过

程中要给出最后的结果。有些时候在第三个步骤就能够得出问题

的结果，或者作出结论的判断。但是由于面对一个较为复杂的问

题时，问题所涉及的方面较多，在模型中会涉及到很多参数，且

在计算过程中所应用的数据来源也相对单一、有限，不能完全符

合现实情况，会导致结果出现偏差。因此，在这个过程中研究者

需要根据所解决问题的实际情况进行调整，做到最佳符合。

二、数学建模教学案例

例：市化工厂生产香皂，现接到生产180g装的香皂的订单。

目前化工厂有两种规格的产品，分别是60g装每块1.15元，

150g装每块2.5元。那么180g装的香皂出厂价格为多少？

第一步将香皂的体积与其表面积的函数关系看作一种相对

规则形状的对应关系。在简化的情况下，明确问题中的变量和参

数。这里可以设定香皂的出厂价格(y)；香皂的成本(yl)；香皂

的包装成本(y2)；香皂的质量(w)；香皂的质量为w时包装的表

面积(Sw)o

第二步抽象出数学模型：

(1)香皂的出厂价格y由香皂的生产成本yl和包装成本y2

确定;

(2)当香皂质量为w时，其表面积为

(3)香皂的生产成本与香皂质量成正比，设比例系数为kl,

即yl=klw；

(4)香皂的包装成本与香皂表面积成正比，设比例系数为

k2,即y2=kS2swo

在上述讨论出的变量之间关系的基础上以及香皂质量为w

时其各项成本与相关因素之间的关系，得出关于香皂出厂价格的

函数

目标是在条件60g装的香皂出厂价为每块1.15元和150g

装的香皂出厂价为每块2.5元下求出180g装的香皂的出厂价

格。

第三步是模型求解。由题中已知条件60g装的香皂出厂价

为每块1.15元，150g装的香皂出厂价为每块2.5元。将其代

入上述所求出厂价格的函数中得到

二者联立得由此解得kl心9.668X10-3,将kl代入中，解

得k2k3心3.719X10-2。

因此，香皂的出厂价格和香皂质量的表达式为

那么当w=180时，对应的函数值即180g装的该厂家生产的

香皂的出厂价约为2.93元。

接下来还可以对该问题做一步的讨论，如果考虑单位质量内

香皂所对应的出厂价格（记为y3）,可以得到如下函数关系式：

根据该函数的单调性也可以清楚地说明生活中常见的大包

装的商品售出的价格更低的现象。

第四步，分析模型结果。根据日常生活经验，结合在超市等

地购物可以知道同类型商品往往购买体积、质量较大的会更划

算，也就是单位体积或者质量价格较低。这在酸奶、饮料中表现

十分明显。不过也要考虑随着体积增大给包装带来的成本增加问

题。事实上随着体积的变化还会带来商品摆放位置的变化，甚至

影响商品的销售成本。可见这是一系列问题，实际的建模问题比

我们计算的还要复杂得多。但是从这个问题中学生能够体会到数

学建模的重要性，体会到数学对于解决问题的重要价值。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年

版)[M].北京：