沪教版七年级数学上册专题03因式分解(原卷版+解析)

专题03因式分解一、单选题1．对于多项式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是(

)A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（

）A． B．C． D．4．不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（

）A．-9 B．-3 C．3 D．95．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（

）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（

）A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④7．下列因式分解中错误的是（

）A． B．C． D．8．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣19．已知实数m，n，p，q满足，，则（

）A．48 B．36 C．96 D．无法计算10．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列六个字：口，爱，我，数，学，渌．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）．A．我爱学 B．爱渌口 C．渌口数学 D．我爱渌口二、填空题11．＝______________12．因式分解：________．13．多项式因式分解时应提取的公因式为______．14．若，则的值为______．15．分解因式：____．16．分解因式：=___________．17．分解因式：______．18．阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求对称式的值；②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．三、解答题19．分解因式(1)4a-2ab；(2)(3)20．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．21．因式分解：(1)(2)(3)(4)22．因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．23．分解因式：．24．因式分解：25．阅读材料：若，求的值．解：根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则，．(2)已知，求的值．(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．26．阅读下列解答过程：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为则，，∴，∴∴另一个因式为，m的值为-21．请依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．27．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）(1)上述操作能验迁的等式是（请选择正确的选项）A．a-ab=a（a-b）

B．a-2ab+b=（a-b）

C．a+ab=a（a+b）

D．a-b=（a+b）（a-b）(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b=②计算：28．阅读下面材料完成分解因式．型式子的因式分解．这样，我们得到．利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．例把分解因式分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．解：请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．(1)(2)29．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．(1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．(6)类比以上探究，尝试因式分解：=．专题03因式分解一、单选题1．对于多项式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是(

)A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）【答案】C【分析】由于平方差公式必须只有两项，并且是两个数差的形式，利用这个特点即可确定哪几个能用平方差公式分解．【解析】解：平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，（1）两平方项符号相反，可以利用平方差公式；（2），两平方项符号相同，不能运用平方差公式；（3）4虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；（4），两平方项符号相反，可以利用平方差公式．所以（1）（4）能用平方差公式分解．故选：C．【点睛】此题考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键．2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义即可求出答案，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．【解析】解：A、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；B、从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；D、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式逐项分解因式可求解．【解析】解：A、，无法因式分解，故此选项错误；B、，无法因式分解，故此选项错误；C、，无法因式分解，故此选项错误；D、，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的基本形式是解题关键．4．不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（

）A．-9 B．-3 C．3 D．9【答案】D【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值，即可求出答案．【解析】解：由题意可得，=，∴p=2，q=-3，则=9．故选D．【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（

）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用完全平方公式判断即可．【解析】解：①，能用完全平方公式分解，不符合题意；②，不能用完全平方公式分解，符合题意；③，不能用完全平方公式分解，符合题意；④，能用完全平方公式分解，不符合题意；⑤，不能用完全平方公式分解，符合题意．综上，不能用完全平方公式分解的是②③⑤，共3个故选：C．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（

）A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④【答案】C【分析】先把每个多项式分解因式，再逐个选项判断即可．【解析】解：①2x2-x=x（2x-1），②x2+4+4x=（x+2）2，③x2+x-2=（x+2）（x-1），④-x2+4x-4=-（x-2）2，即①和②没有相同的因式，①和④没有相同的因式，②和③有相同的因式x+2，③和④没有相同的因式，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键．7．下列因式分解中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可【解析】解：A.

，故该选项正确，不符合题意；B.，故该选项正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，符合题意；

D.，故该选项正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．8．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1【答案】C【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【解析】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．故选：C．【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.9．已知实数m，n，p，q满足，，则（

）A．48 B．36 C．96 D．无法计算【答案】A【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【解析】解：，，，，，，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．10．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列六个字：口，爱，我，数，学，渌．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）．A．我爱学 B．爱渌口 C．渌口数学 D．我爱渌口【答案】D【分析】先将题干算式因式分解，后于所对应汉字对应即可求解．【解析】解：=∵，，5，，a，，分别对应六个字：口，爱，我，数，学，渌，结果中一定有“我”，“爱”，“渌”，“口”，∵根据代数式的书写规则，“5”一定在最前面，∴“我”在最前面，对照四个选项可知，只有D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解并于所对应汉字对应为关键．二、填空题11．＝______________【答案】【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．【解析】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．12．因式分解：________．【答案】【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．【解析】解：原式；故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．13．多项式因式分解时应提取的公因式为______．【答案】【分析】根据公因式取系数最大公约数，相同字母的最低次项相乘即可求解．【解析】解：多项式因式分解时应提取的公因式为，故答案为：．【点睛】本题考查了确定公因式，解题关键是明确公因式的确定方法．14．若，则的值为______．【答案】18【分析】先进行因式分解，然后整体代入计算即可．【解析】解：==；将整体代入=．【点睛】本题考查了代数式求值、因式分解，熟练掌握完全平方公式整体代入是解题关键．15．分解因式：____．【答案】【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．【解析】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多项式的特征灵活选合适方法解答是解题的关键．16．分解因式：=___________．【答案】(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)【分析】运用两次平方差公式进行因式分解即可．【解析】解：原式=(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)．故答案为：(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)．【点睛】本题考查运用平方差公式进行因式分解，解题关键是掌握a2-b2=(a+b)(a-b)．17．分解因式：______．【答案】【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式，再进行分组得到完全平方公式，所以原式，然后再把括号内分组分解即可．【解析】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键．18．阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求对称式的值；②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．【答案】（1）①③；（2）①＝6；②的最小值为．【分析】（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b＝﹣2，ab＝，再变形得到＝＝，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到＝，再利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab+，所以原式=m2+，然后根据非负数的性质可确定的最小值．【解析】解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是①③．故答案为①③；（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n∴a+b＝m，ab＝n．①a+b＝﹣2，ab＝，＝＝＝＝6；②＝＝（a+b）2﹣2ab+＝m2+8+＝m2+，∵m2≥0，∴的最小值为．【点睛】本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．三、解答题19．分解因式(1)4a-2ab；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）运用提公因式法分解因式即可；（2）运用平方差公式分解因式即可；（3）运用提公因式法分解因式即可．（1）解：4a-2ab；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了分解因式，解决本题的关键是运用提公因式法和平方差公式分解因式．20．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．【答案】(1)3（a﹣b）（2a﹣2b+1）(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．（1）解：＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）（2）解：x（x﹣1）﹣3x+4（3）解：（4）解：【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）利用完全平方公式，进行分解即可解答；（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法进行分解即可解答；（4）利用因式分解﹣分组分解法，进行分解即可解答．（1）解：；（2）；（3）；（4）【点睛】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．22．因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式2x，再用完全平方公式分解因式即可；（3）先提公因式x，再用十字相乘法分解因式即可；（4）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可．（1）解：原式==；（2）解：原式==；（3）解：原式==；（4）解：原式====【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．23．分解因式：．【答案】【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式．【解析】===．【点睛】此题考查分解因式：分组分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．24．因式分解：【答案】【分析】分组后利用立方差公式分解，再提取公因式即可.【解析】【点睛】本题考查是因式分解，掌握立方差公式及会分组是关键.25．阅读材料：若，求的值．解：根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则，．(2)已知，求的值．(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；（2）由得，然后由非负数性质求得结果；（3）把两个方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．（1）解：由，得，∵≥0，，∴a-3=0，b=0，∴a=3，b=0．故答案为：3；0．（2）由得，∴x-y=0，y-4=0，∴x=y=4，∴=16；（3）∵a+b=8，∴b=8-a，∵，∴，∴，∴a-4=0，c-5=0，∴a=4，c=5，∴b=4，∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．26．阅读下列解答过程：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为则，，∴，∴∴另一个因式为，m的值为-21．请依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，利用多项式相等，对应项或对应项的系数相等进而得出方程组，可得答案．【解析】解：设另一个因式为（x+m），由题意，得：x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，∴，解得，∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．27．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）(1)上述操作能验迁的等式是（请选择正确的选项）A．a-ab=a（a-b）

B．a-2ab+b=（a-b）

C．a+ab=a（a+b）

D．a-b=（a+b）（a-b）(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b=②计算：【答案】(1)D(2)①4；②【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．（2）①利用（1）中得到的平方差公式计算即可；②根据平方差公式可进行求解．（1）解：图1中阴影部分的面积，图②中阴影部分的面积．．故选D．（2）解：①，3a+b=9，，．故答案为：4．②．【点睛】本题主要考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求解本题的关键．28．阅读下面材料完成分解因式．型式子的因式分解．这样，我们得到．利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．例把分解因式分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．解：请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；（2）仿照题意进行分解因式即可．（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．29．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数