中考数学必考特色题型讲练(河南专用)压轴几何证明题及相关辅助线做法(原卷版+解析)

压轴几何证明题及相关辅助线做法 复杂几何证明题作为压轴题出现难度较大，通常有三个小问，前两问中等难度，第三问较难。综合考查几何相关定义性质和初中阶段涉及的几何辅助线做法，题型灵活多变，需要学生有一定的几何基础，掌握中线倍长、一线三等角、角含半角等几何模型。【知识点1-手拉手】手拉手模型的识别：顶角相等的两个等腰三角形，共顶点；方法：等边等角证明全等；结论：（1）两个等腰三角形的腰分别与拉手线相连组成的三角形全等（2）拉手线相等 （3）拉手线交角的度数等于等腰三角形顶角的度数 （4）等腰三角形的顶点与拉手线交点的连线平分这个交角的邻补角1、等边三角形共顶点等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH为等边三角形．2、等腰直角三角形共顶点等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE3、等腰三角形共顶点等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．连结BD，AE交于点F，则结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC平分∠BFE．例题1、已知，∆ACB和∆DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE,BD交于点O，AE与DC交于点O，AE与DC交于点M。BD与AC交于点N，求证AE=BD变式练习1、如图，△ABC和△ADE是等边三角形，连接CE、BD、CD,∠BDC=60°，（1）求证BD=CE;（2）求∠DCE的度数； 变式练习2、如图，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的点C重合，且使∠BCA=∠DCE=α，连接BE，AD交于点M.（1）求证：BE=AD；（2）求∠BMD的度数（用含α的式子表示）.【知识点2-角含半角】1．等腰直角三角形角含半角

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°

（1）△BAE∽△ADE∽△CDA

（2）BD2＋CE2＝DE2．证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，

所以△BAE∽△ADE∽△CDA．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，

所以△ADE∽△FAE（SAS）．

所以DE＝EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．（旋转只是思想，辅助线：做AD垂直AM且AD=AM，连接DC）

方法二（翻折法）：如图2，作点B

关于AD

的对称点F，连结AF，DF，EF．因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，

又因为∠BAD＝∠DAF，

则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，

所以△FAE∽△CAE（SAS）．

所以EF＝EC．

而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，

所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．例题1、已知△ABC为等腰三角形∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2.变式练习1、如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；变式练习2、阅读下面材料小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题．例如：如图1所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF；如图2，小明延长CB至G，使得BG=DF，则形成一组旋转三角形…（1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程；参考小明同学的解题思路解答下面两个问题：（2）如图3，在正方形ABCD中，点E为BC边上的点，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之间的数量关系，并证明；图1 图2 图3【知识点3-“Y”形】如图，在三角形中形成“Y”形，可以利用旋转构造等边三角形来解题。如图，等边△ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A，则△BPP'是等边三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．（2）如图，正方形ABCD内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP'A，则△BPP'是等腰直角三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．注意：在做这类题时旋转是解题思路而不是辅助线做法，所以解题步骤可以写作角相等线段长度相等，通过构造一对全等三角形达到旋转的目的。例题1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。变式练习1、阅读下列材料:数学课上,老师出示了这样一个问题:如图1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°，点D、E在AB上,且AD=BE,DG⊥CE垂足为G,DG的延长线与BC相交于点F,探究线段AD、BD、DF之间的数量关系,并证明.某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量,发现∠BCE与∠BDF存在某种数量关系小强:“通过观察和度量,发现图1中有一条线段与CE相等”;小伟:“通过构造三角形,证明三角形全等,进而可以得到线段AD、BD、DF之间的数量关系”.……老师:“保留原题条件,再过点D作DH⊥BC,垂足为H,DH与CE相交于点M(如图2).如果给出DG和GF的数量关系，就可以求最后结果了图1 图2（1）在图1中找出与线段CE相等的线段,并证明;（2）探究线段AD、BD、DF之间的数量关系,并证明;（3）若DGGF＝n，求DM变式练习2、阅读下面材料，并解决问题：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数。（2）请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题。如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证EF²=BE²+CF²图1图2 变式练习3、如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长度。【知识点4-一线三等角】方法：找角→定线→构相似一线穿直角：【结论】：若AB＝AC，则△ABE≌△CAD若AB＝ｋAC，则△ABE∼△CAD一般模型：同侧型 异侧型【结论】：①若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED例题1、直线CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°则BE_____________CF，EF_____________|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立;（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）变式练习1、已知在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，且OA=1，OB=3.（1）如图1，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.求点C的坐标；（2）如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APQ，过点Q作QE⊥x轴于E，那么PO−QE的值会随着点P的运动而改变吗?如果改变，请说明理由，如果不变，请求出PO−QE的值是多少?变式练习2、在△ABC中,点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.（1）如图1，当DE=DF时，图中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以明;若不存在，请说明理由;（2）如图2,当DE=kDF(其中0＜k＜1)时,若∠A=90°,AF=m，求BD的长。(用含k,m的代数式表示 变式练习3、如图（1），在中，，直线经过点于于．

（1）求证：①；②．

（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，具有怎样的等量关系？说出你的猜想，并证明你的猜想．（1）（2）1、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中22＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出AHHC的值．（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出AHHC的值（用含k2、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．3、如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．（1）填空：与∠CAG相等的角是；（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求ACAB4、如图1，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，BD=BA，点F在BE上，FA=FE，∠AFE=∠ABD.（1）在图1中找出与∠EBC相等的角，并证明；（2）求证∠BEA=∠BED；（3）如图2，连接FD，点M在EF上，∠EDM+∠EDF=180°，AE=kDE，求AFME 图1 图2 压轴几何证明题及相关辅助线做法 复杂几何证明题作为压轴题出现难度较大，通常有三个小问，前两问中等难度，第三问较难。综合考查几何相关定义性质和初中阶段涉及的几何辅助线做法，题型灵活多变，需要学生有一定的几何基础，掌握中线倍长、一线三等角、角含半角等几何模型。【知识点1-手拉手】手拉手模型的识别：顶角相等的两个等腰三角形，共顶点；方法：等边等角证明全等；结论：（1）两个等腰三角形的腰分别与拉手线相连组成的三角形全等（2）拉手线相等 （3）拉手线交角的度数等于等腰三角形顶角的度数 （4）等腰三角形的顶点与拉手线交点的连线平分这个交角的邻补角1、等边三角形共顶点等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH为等边三角形．2、等腰直角三角形共顶点等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE3、等腰三角形共顶点等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．连结BD，AE交于点F，则结论：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC平分∠BFE．例题1、已知，∆ACB和∆DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE,BD交于点O，AE与DC交于点O，AE与DC交于点M。BD与AC交于点N，求证AE=BD【解析】证明∵△ACB和△DCE都是等腰三角形∠ACB=∠DCE=90°∴AC=BC,DC=EC∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD∴∠BCD=∠ACE在△ACE和△BCD中AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD∴△ACE≌△BCD(SAS)∴AE=BD变式练习1、如图，△ABC和△ADE是等边三角形，连接CE、BD、CD,∠BDC=60°，（1）求证BD=CE;（2）求∠DCE的度数； 【解析】（1）①证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AE=AD，AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD，即∠EAC=∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴BD=CE.②∵△ACE≌△ABD，∴∠AEC=∠ADB=α，∵△ADE是等边三角形∴∠AED=∠ADE=60°， 又∵∠BDC=60°， ∴∠AEC+∠ECD=60°，∠BDC+∠ADC+∠CDE=60°，∴∠CED=60°-α，∠EDC=α∴∠ECD=180°-∠ECD-∠EDC=120°变式练习2、如图，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的点C重合，且使∠BCA=∠DCE=α，连接BE，AD交于点M.（1）求证：BE=AD；（2）求∠BMD的度数（用含α的式子表示）.【解析】（1）证明：∠BCA=∠DCE∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE∠BCE=∠ACD在BCE和ACD中，BCEACD(SAS)BE=AD(2)由（1）知.BCEACD(SAS)∠CBE=∠CAD∠ANM=∠BNC∠AMB=∠ACB=a∠BMD=180°-∠AMB=180°-a【知识点2-角含半角】1．等腰直角三角形角含半角

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°

（1）△BAE∽△ADE∽△CDA

（2）BD2＋CE2＝DE2．证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，

所以△BAE∽△ADE∽△CDA．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，

所以△ADE∽△FAE（SAS）．

所以DE＝EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．（旋转只是思想，辅助线：做AD垂直AM且AD=AM，连接DC）

方法二（翻折法）：如图2，作点B

关于AD

的对称点F，连结AF，DF，EF．因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，

又因为∠BAD＝∠DAF，

则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，

所以△FAE∽△CAE（SAS）．

所以EF＝EC．

而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，

所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．例题1、已知△ABC为等腰三角形∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2.【解析】作∠DCA=∠NCB，截取DC=NC，连接AD、MD∵△ABC是等腰直角三角形∴CA=CB，∠B=∠CAB=45°在△DCA和△NCB中CD=CN∴△DCA≌△NCB（SAS）∴AD=BN，∠DAC=∠B=45°∴∠DAM=∠DAC+∠CAM=90°∴△DAM是直角三角形∵∠DCA+∠ACM=∠NCB+∠ACM=∠ACB-∠MCN=45°∴∠DCM=∠NCM在△DCM和△NCM中CD=CN∴△DCM≌△NCM（SAS）∴DM=NM在Rt△ADM中，DM2=AD2+AM2∴AM2+BN2=MN2变式练习1、如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；【解析】在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABM=∠ADN=45°．把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM′．连结NM′．则DM′=BM，AM′=AM,∠ADM′=∠ABM=45°，∠DAM′=∠BAM．∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°,∠DAM′+∠DAF=45°,∠M′AN=∠MAN=45°.．∴△AM′N≌△AMN．∴M′N=MN．在△DM′N中，∠M′DN=∠AND+∠ADM′=90°,∴M'∴MN2=变式练习2、阅读下面材料小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题．例如：如图1所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF；如图2，小明延长CB至G，使得BG=DF，则形成一组旋转三角形…（1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程；参考小明同学的解题思路解答下面两个问题：（2）如图3，在正方形ABCD中，点E为BC边上的点，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之间的数量关系，并证明；图1 图2 图3【答案】（2）2AF²=DF²+BF²【解析】解：（1）延长CB至G，使得BG=DF，连接AG∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AB=AD∴∠ABG=∠D=90°在△ABG和△ADF中AB=AD∴△ABG≌△ADF（SAS）∴AG=AF，∠BAG=∠DAF∵∠BAF+∠BAG=90°即∠GAF=90°∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AGE和△AFE中AG=AF∴△AGE≌△AFE（SAS）∴EG=EF，即BE+BG=EF∴BE+DF=EF（2）过点A作AG⊥AF，且AG=AF∴FG²=AF²+AG²=2AF² ∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°∴∠BAD-∠DAF=∠FAG-∠DAF∴∠BAF=∠DAG在△ABF和△DAG中AB=AD∴△ABF≌△DAG（SAS）∴BF=DG，∠ADG=∠ABF=45°∴∠FDG=90°∴FG²=FD²+DG²∴2AF²=DF²+BF²【知识点3-“Y”形】如图，在三角形中形成“Y”形，可以利用旋转构造等边三角形来解题。如图，等边△ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A，则△BPP'是等边三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．（2）如图，正方形ABCD内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP'A，则△BPP'是等腰直角三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．注意：在做这类题时旋转是解题思路而不是辅助线做法，所以解题步骤可以写作角相等线段长度相等，通过构造一对全等三角形达到旋转的目的。例题1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。【答案】AP=3【解析】将△CPB绕点C旋转，使得BC与AC重合，点P与点D是对应点，∴PC=DC，∠DCA=∠CBP，∴∠DCP=∠ACB=90∘，∴△CDP是等腰直角三角形，∴由勾股定理可知：DP=22∵PB=AD=1，∵∠CPB=∠CDA=135°,∠CDP=45°，∴∠ADB=90°∴由勾股定理可求得：AP=3变式练习1、阅读下列材料:数学课上,老师出示了这样一个问题:如图1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°，点D、E在AB上,且AD=BE,DG⊥CE垂足为G,DG的延长线与BC相交于点F,探究线段AD、BD、DF之间的数量关系,并证明.某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量,发现∠BCE与∠BDF存在某种数量关系小强:“通过观察和度量,发现图1中有一条线段与CE相等”;小伟:“通过构造三角形,证明三角形全等,进而可以得到线段AD、BD、DF之间的数量关系”.……老师:“保留原题条件,再过点D作DH⊥BC,垂足为H,DH与CE相交于点M(如图2).如果给出DG和GF的数量关系，就可以求最后结果了图1 图2（1）在图1中找出与线段CE相等的线段,并证明;（2）探究线段AD、BD、DF之间的数量关系,并证明;（3）若DGGF＝n，求DM【答案】（1）DF＝CE（2）AD2+BD2＝2DF2 （3）n【解析】（1）DF＝CE，证明：如图1，连接CD，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，DG⊥CE，∴∠A＝∠B＝12（180°﹣∠ACB）＝45°，∠∵AD＝BE，AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∠DFC＝90°﹣∠BCE，∴∠DCB＝∠DFC，∴DC＝DF，∴CE＝DF；（2）结论：AD2+BD2＝2DF2，证明：如图2，过点C作CD'⊥CD，截取CD'＝CD，连接BD'，DD'，∴∠DCD'＝90°，∴∠BCD'＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，∵AC＝BC，CD＝CD'，∴△ACD≌△BCD'（SAS），∴BD'＝AD，∠CBD'＝∠A＝45°，∴∠ABD'＝∠ABC+∠CBD'＝90°，∴CD2+CD'2＝DD'2＝BD2+BD'2，∴AD2+BD2＝2DF2；（3）如图2，连接CD，由（1）知，CD＝CE，∵DH⊥BC，∴CH＝FH，∠DHC＝∠DHF＝90°，设CH＝FH＝a，GF＝b，∴CF＝2a，DG＝nb，DF＝（n+1）b，∵DF⊥CE，∴∠DGC＝∠FGC＝90°，∴∠DHF＝∠CGF＝90°，∵∠DFH＝∠CFG，∴△DFH∽△CFG，∴DFCF∴（n+1）b2a∴ba∵∠DMG＝∠CMH，∠DGC＝∠DHC＝90°，∴△DMG∽△CMH，∴DMCM=变式练习2、阅读下面材料，并解决问题：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数。（2）请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题。如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证EF²=BE²+CF²图1图2 【答案】（1）150°（2）EF²=BE²+FC²【解析】（1）过点A作∠P′AP=60°，且AP′=AP，连接P′C∴△APP′为等边三角形PP′=AP=3,∠AP′P=60°，∵∠P′AC+∠CAP=60°∠BAP+∠CAP=60°∴∠P′AC=∠BAP∵AP′=AP、AB=AC∴△P′AC≌△BAP∴CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，∵CP′=4，PP′=3，PC=5∴△PP′C为直角三角形,且∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；（2）如图2,过点A作AE′⊥AE，且AE′=AE，连接CE′，FE′，∵∠E′AC+∠EAC=90°∠BAE+∠EAC=90°∴∠E′AC=∠BAE∵AE′=AE、AB=AC∴△E′AC≌△BAE∴∠ACE′=∠B∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC−∠EAF=45°，∴∠EAF=∠E′AF，∴△EAF≌△E′AF(SAS)，∴E′F=EF，∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，由勾股定理得,E′F²=CE′²+FC²，即EF²=BE²+FC².变式练习3、如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长度。【答案】6【解析】如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，∵Rt△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC=∠ECF，∵∠OBC=∠OCD=45°，∴∠OBG=∠OCF，在△OBG和△OCF中，OB=OC∴△OBD≌△OCF（SAS）∴OG=OF,∠BOG=∠COF∴OG⊥OF在Rt△BCE中，BC=DC=6,DE=2EC，∴EC=2∴BE=BC∵BC²=BF·BE，则6²=BF·210，得BF=9∴EF=BE-BF=1∵CF²=BF·EF∴CF=3∴GF=BF-BG=BF-CF=6在等腰直角三角形OGF中，OF²=12∴OF=6【知识点4-一线三等角】方法：找角→定线→构相似一线穿直角：【结论】：若AB＝AC，则△ABE≌△CAD若AB＝ｋAC，则△ABE∼△CAD一般模型：同侧型 异侧型【结论】：①若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED例题1、直线CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°则BE_____________CF，EF_____________|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立;（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）【答案】（1）①BE=CF，EF=|BE-AF|②EF=|BE-AF|（2）EF=BE+AF【解析】解：（1）①易证△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，EF=|BE-AF|②∠α+∠BCA=180°时，①中两个结论仍然成立；证明：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α+∠BCA=180°∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中∠EBC=∠ACF，∠BEC=∠AFC，BC=AC∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF-CE=BE-AF当E在F的右侧时，同理可证：EF=AF-BE∴EF=|BE-AF|；故答案为∠α+∠BCA=180°（2）EF=BE+AF证明：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA， 又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠BCA=180°∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，∴∠EBC=∠ACF，∴可证△BEC≌△CFA(AAS)∴AF=CE,BE=CF,∵EF=CE+CF∴EF=BE+AF变式练习1、已知在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，且OA=1，OB=3.（1）如图1，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.求点C的坐标；（2）如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APQ，过点Q作QE⊥x轴于E，那么PO−QE的值会随着点P的运动而改变吗?如果改变，请说明理由，如果不变，请求出PO−QE的值是多少?【答案】（1）C(−4，−1)(2)OP−QE=1，始终保持不变【解析】（1）如图1，过C作CD⊥x轴于D∵∠BAC=90∘，∠AOB=90∘∴∠1=∠2在△CDA与△AOB中∠AOP=∠PRQ∠2=∠1AP=PQ∴△CDA≌△AOB(AAS)∴AD=OB=3，CD=OA=1∴OD=4∴C(−4，−1)（2）(PO−QE)的值不会随着点P的运动而改变，且OP−QE=1.理由如下如图2，过点Q作QR⊥y轴于R.则四边形QEOR是矩形∴QE=OR∵∠APQ=90∘∴∠1=∠2在△APO与△PQR中∠AOP=∠PRQ∠2=∠1AP=PQ∴△OPA≌△RQP(AAS)∴OA=PR∴OR=OP−PR=OP−OA∴OP−OR=OA=1，即OP−QE=1，始终保持不变变式练习2、在△ABC中,点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.（1）如图1，当DE=DF时，图中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以明;若不存在，请说明理由;（2）如图2,当DE=kDF(其中0＜k＜1)时,若∠A=90°,AF=m，求BD的长。(用含k,m的代数式表示 【答案】（1）BE=AB（2）BD=km【解析】（1）存在，BE=AB证明：如图1，在BC上取一点M，使BD=BM，连接DM∵∠AFE=∠BDE,∠BDE+∠ADE=180°∴∠AFE+∠ADE=180°∴∠A+∠DEF=180°∵∠ADF+∠DEC=180°,∠DEC+∠DEB=180°,∠ADF+∠BDF=180°,∴∠DEC=∠BDF,∠ADF=∠DEB∵∠DEC=∠EDB+∠B,∠BDF=∠EDB+∠EDF,∴∠B=∠EDF∵BM=BD,DE=DF，∴∠BDM=∠BMD=，∠DFE=∠DEF=∴∠BMD=∠DEF∴∠BMD+∠A=180°∵∠BMD+∠DME=180°,∴∠DME=∠A又DE=DF,∠ADF=∠MED∴△DME≌△FAD(AAS)∴ME=AD.∴BM+ME=BD+DA.∴BE=AB

（2）如图2，过点D作DN⊥BC于点N。∵∠A=90°,∴∠DNB=∠DNE=∠A=90°由(1),知∠ADF=∠DEB∴△DNE∽△FAD，∴ND∵DE=kFD,AF=m,.ND=kAF=km.∵△DNE∽△FAD,∠NDE=∠AFD∵∠AFE=∠BDE,∴∠AFE一∠AFD=∠BDE-∠NDE,即∠DFE=∠BDN。由(1),知∠B=∠EDF.∴△BDN∽△DFE∴BD∵DE=kDF,∴BN=kBD.在Rt△BND中,BD2=BN2+ND2即BD2=(kBD)2+(km)2∴BD∴BD=km1变式练习3、如图（1），在中，，直线经过点于于．

（1）求证：①；②．

（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，具有怎样的等量关系？说出你的猜想，并证明你的猜想．（1）（2）【答案】（2）AD=CE=DE+DC=DE+BE【解析】（1）①在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE＝90°∵∠BCA＝90°∴∠ACD+∠ECB＝90°∴∠DAC＝∠BCE∵AC＝BC∴△ADC≌△CEB（AAS）②由①得DC=BE；AD=CE∴DE=DC+CE=AD+BE（2）在Rt△ADC中，∠ACD+∠CAD＝90°∵∠BCA＝90°∴∠ACD+∠ECB＝90°∴∠DAC＝∠BCE∵AB＝BC∴△ADC≌△CEB（AAS）∴DC=BE；AD=CE∴AD=CE=DE+DC=DE+BE1、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中22＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出AHHC的值．（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出AHHC的值（用含k【分析】（1）利用三角形的外角性质可求解；（2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得AF＝FC，AF＝BF，通过证明△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性质可求解；（3）通过证明△ABH∽△ACB，可得AB2＝AC×AH，设BD＝m，AB＝km，由勾股定理可求AC的长，可求AH，HC的长，即可求解．【答案】（2）BGAC=12k 【解答】（1）∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE∴∠BAE＝∠DAC（2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β∴∠ABC＝∠ADB＝α+β∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC∴∠EAC＝2β∵AF平分∠EAC∴∠FAC＝∠EAF＝β∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β∴AF＝FC，AF＝BF∴AF＝12BC＝∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°∴△ABG∽△BCA∴BG∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB∴△ABF∽△BAD∴ABBD=BFAB，且AB＝kBD，AF＝∴k＝BC2AB，即∴BG（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC∴△ABH∽△ACB∴AB∴AB2＝AC×AH设BD＝m，AB＝km，∵AB∴BC＝2k2m∴AC＝BC∴AB2＝AC×AH（km）2＝km4k2−∴AH＝km∴HC＝AC﹣AH＝km4k2−1﹣km4k∴AH2、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．【分析】（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．想办法证明△AEC≌△AED即可；方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．想办法证明∠ACD=∠ADC即可；（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．理由三角形内角和定理证明即可；②结论：BD=k•DE．如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．首先证明△DFE∽△BAK，推出DFAB=DEBK=【答案】（2）①∠DEF=∠FDG． ②BD=k•DE【解析】（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°，∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．方法二：如图3中，作∠DCF=∠DC