沪教版九年级上册数学专题训练专题02锐角三角函数之余弦重难点专练(原卷版+解析)

专题02锐角三角函数之余弦重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海九年级一模）在中，，那么等于（）A． B． C． D．2．(2023·上海九年级专题练习）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．无法确定3．(2023·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（）A． B． C． D．4．(2023·上海炫学培训学校有限公司九年级期中）在△ABC中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．5．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果把∠C为直角的各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的各三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半C．都没有变化 D．有些有变化第II卷（非选择题）二、解答题6．(2023·上海浦东新区·九年级其他模拟）已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求证：BG＝EG；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．7．(2023·上海九年级专题练习）如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．（1）求证：；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．8．(2023·上海炫学培训学校有限公司九年级期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，BC=2，DB=DC=5，点P由点D出发沿着DB方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点M由点B出发沿着BA方向匀速运动，速度也是为每秒1个单位长度，且MN∥BC，交DB于点Q，交DC于点N，运动时间为x秒（0<x<2.5）（1）求证：△BMQ∽△DCB；（2）设△PMQ的面积为y，求y与x的函数关系式；（3）联结PN在上述运动过程中，五边形PNCBM的面积是否发生变化？①请直接写出结论（改变或不改变）②如果“不变”，那么五边形PNCBM的面积是多少？（直接写出结果，不需要证明）9．(2023·上海浦东新区·九年级月考）已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.（1）如图1，当时，求AF的长.（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.10．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.(1)求证：AP＝OQ；(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．11．(2023·上海静安区·九年级二模）如图，平行四边形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B，交线段PA于点E．设BP=x．（1）求AC的长；（2）设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．12．(2023·上海九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．13．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，上的一点在边的垂直平分线上，．（1）求证：；（2）如果，，求的值．14．(2023·上海九年级专题练习）如图，点A、B在第一象限的反比例函数图像上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A、B的横坐标分别为6、2，AB=．（1）求∠ACO的余弦值；（2）求这个反比例函数的解析式．15．(2023·上海九年级专题练习）抛物线经过点两点．（1）求抛物线项点D的坐标．（2）抛物线与轴的另一交点为，求的值．16．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面CD垂直的位置时的示意图，已知米，米，(参考数据：)（1）求的长（2）若米，求两点的距离（精确0.01)17．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在Rt△ADC中，∠C=90°，B是CD的延长线上的一点，且AD=BD=5，AC=4，求cos∠BAD的值．三、填空题18．(2023·上海九年级专题练习）如图，在，，，，是的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结，当是直角三角形时，的长为_______．19．(2023·上海金山区·九年级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC上的点A′重合时，那么∠AA′B的余弦值等于_____．20．(2023·上海九年级专题练习）如图，在△中，，，垂足为，若，，那么的值为______．21．(2023·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么______．22．(2023·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为______．23．(2023·上海闵行区·九年级一模）在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么_________．24．(2023·上海九年级专题练习）如图，正六边形的边长为2，则的周长为__．25．(2023·上海市川沙中学南校九年级期中）已知中，则边的长度为____________．专题02锐角三角函数之余弦重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海九年级一模）在中，，那么等于（）A． B． C． D．答案:B分析：作出草图，根据锐角的正弦=列式即可．【详解】解：如图，∵∠C=90°，

∴cosA=．

故选：B．

．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．(2023·上海九年级专题练习）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．无法确定答案:B分析：如图，画出简图，根据切线的性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数．【详解】如图，OA、OC分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，∴OC⊥AB，∴∠OCA=90°，∵外接圆半径是其内切圆半径的倍，∴cos∠AOC==，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，∴此多边形的边数=360°÷90°=4，故选：B．【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．3．(2023·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（）A． B． C． D．答案:C分析：直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．4．(2023·上海炫学培训学校有限公司九年级期中）在△ABC中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．答案:B分析：按照锐角三角函数的定义求各函数值即可．【详解】解：如图，由勾股定理可得BC=选项A，，故错误；选项B，，故正确；选项C，，故错误；选项D，，故错误；故应选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，解答关键是按照相关锐角三角函数定义解题．5．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果把∠C为直角的各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的各三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半C．都没有变化 D．有些有变化答案:C分析：根据正弦、余弦、正切的定义即可得．【详解】在中，，，，则当各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A的各三角比的值都没有变化，故选：C．【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．第II卷（非选择题）二、解答题6．(2023·上海浦东新区·九年级其他模拟）已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求证：BG＝EG；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．答案:（1）见解析；（2）y＝x﹣3+，定义域是x＞；（3）圆O与圆P的圆心距为或．分析：（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，则可得出结论；（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，连接PE，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．【详解】（1）证明：∵BGAP，∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，∴△FBG∽△FAP，∴，∵GEPC，∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，△FEG∽△FCP，∴，∴，∵AP＝PC，∴BG＝EG；（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，∴∠AQK=∠QKP=90°，∵DEAP，∴AQ⊥AP，∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，∴四边形APKG为矩形，∴PK＝AQ，AP＝QK，∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，∴BQ＝AB•cos∠ABQ＝×5＝3，∴AQ＝，∴PK＝4，∵AP＝x∴PE=AP=x，∴KE＝，又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，∴BE＝BK+EG＝，∴y＝，当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，∵AQ⊥AP，QBAH，∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，∴四边形QAHB为矩形，∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，在Rt△BHP中，由勾股定理即解得,∴AP＝，∴定义域是x＞；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，∴BF＝BE，∴∠BFE=∠FEB，∵BEAC，∴∠ACF=∠BEF，∴∠AFC=∠ACF，∴AF=AC，∴y+5＝2x，∵y＝，∴2x﹣5＝，整理得,两边平方得,整理得,∴x＝5，∴BE＝5，∴BG=EG＝，∵圆O的半径为，在Rt△BOG中，BO=，根据勾股定理∴OG＝，∴EK=∴PV＝KG=3-GE=3-=，当圆心O在BE下方时，在Rt△PO2V中，由勾股定理∴O2P＝，当圆心O在BE上方时，∴OP＝．综合以上可得OP的长为或．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线准确构图是解题关键．7．(2023·上海九年级专题练习）如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．（1）求证：；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．答案:（1）证明见解析；（2）；（3）或分析：（1）根据，得，，即可得．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出，求出，再根据，列出函数关系式，化简即可．（3）先证，再分3种情况讨论，分别求出的长．【详解】解：（1），∴，，∴．（2），∴又点为斜边的中点，∴，又在中，又，由勾股定理得：BC=10D为AB中点，∴BD=5，DE=，由勾股定理得：BE=，可得，，．（3），∴，又∵，∴，∴为等腰三角形时，亦为等腰三角形．若，，，解得．若，，解得．③若，，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．8．(2023·上海炫学培训学校有限公司九年级期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，BC=2，DB=DC=5，点P由点D出发沿着DB方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点M由点B出发沿着BA方向匀速运动，速度也是为每秒1个单位长度，且MN∥BC，交DB于点Q，交DC于点N，运动时间为x秒（0<x<2.5）（1）求证：△BMQ∽△DCB；（2）设△PMQ的面积为y，求y与x的函数关系式；（3）联结PN在上述运动过程中，五边形PNCBM的面积是否发生变化？①请直接写出结论（改变或不改变）②如果“不变”，那么五边形PNCBM的面积是多少？（直接写出结果，不需要证明）答案:（1）见详解，（2）当0<x≤2.5时PQ=5-2x，S△MPQ=；（3）①不变，②．分析：（1）由MN∥BC，可得NQ∽△DCB，由AB∥DC，可得△BMQ∽△DNQ，∴DNQ∽△BMQ，（2）过点C作CE⊥BD于E，MF⊥BD于F，设BE=a，则DE=5-a，由勾股定理a=，再求CE，由△DNQ∽△DCB，可得,∵DC=DB，∴BM=BQ=x,DP=x，0<x≤2.5时PQ=5-2x，利用面积公式求S△MPQ即可，（3）①不变，作BG⊥MN于G，PH⊥MN于H，则∠GBQ=∠FPQ=，用BC为底，BC边上的高BG求面积S平行四边形BCNM=2BQ•cos，以MN为底，PH为高求面积S△MNP=，把它求和S五边形PNCBM=S平行四边形BCNM+S△MNP证明定值即可，②过D作DK⊥BC于K，由于BD=CD，BK=CK=1，由勾股定理DK=，由DK∥PH∥BG，可推出∠BDK=∠QPH=∠GBQ=，用三角函数定义求即可．【详解】（1）∵MN∥BC，∠DNQ=∠C，∠NDQ=∠CDB，∴△DNQ∽△DCB，∵AB∥DC，∴∠MBQ=∠NDQ，∠NQB=∠NQD，∴△BMQ∽△DNQ，∴DNQ∽△BMQ；（2）过点C作CE⊥BD于E，MF⊥BD于F，设BE=a，则DE=5-a，由勾股定理DC2-DE2=BC2-BE2，即25-（5-a）2=4-a2，a=，CE=，由△DNQ∽△DCB，，∵DC=DB，∴BM=BQ=x，DP=x，2x=5，x=2.5,当0<x≤2.5时PQ=5-2x，S△MPQ=，（3）①不变，作BG⊥MN于G，PH⊥MN于H，则∠GBQ=∠FPQ=，BG=BQ•cos，，S平行四边形BCNM=BC×BG=2BQ•cos，S△MNP=，S五边形PNCBM=S平行四边形BCNM+S△MNP=2BQ•cosα+=（2BQ+PQ）•cos，∵BQ=DP，∴2BQ+PQ=DP+PQ+QB=AB=5，S五边形PNCBM=5cos，与x无关，故五边形面积不变，②过D作DK⊥BC于K，由于BD=CD，BK=CK=1，在Rt△DBK中，由勾股定理DK=，∵DK∥PH∥BG，∴∠BDK=∠QPH=∠GBQ=，，S五边形PNCBM=5cos=．故答案为：S五边形PNCBM=．【点睛】本题考查知识较多，难度比较大，涉及的知识有等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数，勾股定理等，是动点中的综合运用题型，掌握所学知识，并能灵活运用．9．(2023·上海浦东新区·九年级月考）已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.（1）如图1，当时，求AF的长.（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.答案:（1）；（2）；（3）或或.分析：过点作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的长，利用勾股定理即可求出AN的长，根据线段的和差关系可得CN的长，利用勾股定理可求出AC的长，根据AD//BC，AD=BC即可证明四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，进而可证明△ABC∽△ADF，根据相似三角形的性质即可求出AF的长；（2）根据平行线的性质可得，根据等量代换可得，进而可证明△ABC∽△ABE，根据相似三角形的性质可得，可用x表示出BE、CE的长，根据平行线分线段成比例定理可用x表示出的值，根据可得y与x的关系式，根据x>0，CE>0即可确定x的取值范围；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三种情况，根据BE=及线段的和差关系，分别利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.【详解】（1）如图，过点作于N，∵AB=5，，∴在中，=5×=3，∴AN===4，∵BC=x=4，∴CN=BC-BN=4-3=1，在中，，∵AD=4，BC=x=4，∴AD=BC，∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，∴△ABC∽△ADF，∴，∴解得：，（2）∵，∴，∵，∴，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△ABE，∴，∴，∵AD//BC，∴，∴，∵x>0，CE=>0，∴0<x<5，∴，（3）①如图，当PA=PD时，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延长GP交BM于N，∵PA=PD，AD=4，∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，∵AD//BE，∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，∴∠DBE=∠AEB，∴PB=PE，∴BN=EN=BE=，∵，AB=5，∴BH=AB·cos∠ABH=3，∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，∴四边形AHNG是矩形，∴HN=AG=2，∴BN=BH+HN=3+2=5，∴=5，解得：x=.②如图，当AP=AD=4时，作AH⊥BM于H，∴∠ADB=∠APD，∵AD//BM，∴∠ADB=∠DBC，∵∠APD=∠BPE，∴∠DBC=∠BPE，∴BE=PE=，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BH=3，AH=4，∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，解得：x=，③如图，当AD=PD=4时，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，∴∠DAP=∠DPA，∵AD//BM，∴∠DAP=∠AEB，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠AEB，∴BP=BE=，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BH=3，AH=4，∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，∴四边形AHND是矩形，∴DN=AH=4，HN=AD=4，中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，解得：x=，综上所述：x的值为或或.【点睛】本题考查相似三角形的综合，熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想是解题关键.10．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.(1)求证：AP＝OQ；(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．答案:（1）详见解析；（2）y＝，x的取值范围为<x<10；（3）线段OP的长为8.分析：（1）连接OD，根据两直线平行，内错角相等和等边对等角的性质可得出∠AOC＝∠ODC，再利用边角边的判断定理可证明△AOP≌△ODQ，根据全等三角形对应边相等即可证明AP＝OQ.（2）过点P作PH⊥OA于点H，过点O作OG⊥CD于点G.根据两直线平行，内错角相等可证明△PFC∽△PAO，利用三角函数的计算公式和勾股定理可用x表示出△PAO的面积，再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方即可用x表示出y，分别取点F与点D和点C重合时，利用垂径定理和相似三角形的性质可求出x的值，因为点F与点C、D不重合，即可得出X的取值范围．（3）根据题意可知，当△POE为直角三角形时，可分三种情况讨论：即∠POE=90°、∠OPE=90°、∠OEP=90°，分别讨论三种情况OP的长，并取符合（2）中x的取值范围的结果．【详解】(1)证明：连结OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵CD∥AB，∴∠AOC＝∠OCD，∴∠AOC＝∠ODC.在△AOP和△ODQ中，∴△AOP≌△ODQ，∴AP＝OQ.(2)作PH⊥OA，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G.由cos∠AOC=可得OH＝x，再RT△OPH中，由勾股定理可得：PH=，则S△AOP＝=3x.∵CD∥AB，∴△PFC∽△PAO，∴，∴=.当点F与点C重合时，OP＝10.当点F与点D重合时，∵cos∠OCG＝＝cos∠AOC＝，∴CG＝8，∴CD＝16.∵，∴解得x＝.又∵点F与点C、D不重合，∴x的取值范围为<x<10.(3)解：当∠POE＝90°时，CQ＝，OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍去)；当∠OPE＝90°时，则∠APO＝90°，∴OP＝AO·cos∠COA＝8；当∠OEP＝90°时，此种情况不存在．∴线段OP的长为8.【点睛】本题结合三角形相似考查了几何图形中的动点问题，动点问题要注意运动的范围，此外第三问中只是说△OPE是直角三角形，并未指明哪个角是直角，需要分类讨论.11．(2023·上海静安区·九年级二模）如图，平行四边形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B，交线段PA于点E．设BP=x．（1）求AC的长；（2）设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．答案:（1）9；（2），定义域：0＜x≤3；（3）或解析：试题分析：（1）作AH⊥BC于H，根据已知条件和锐角三角函数的定义即可求得BH=2，根据勾股定理求得AH的长，在分局勾股定理求得AC的长即可；(2)作OI⊥AB于I，联结PO，可得AO=4.5，Rt△AIO中，求得AI=1.5，IO=3，即可得PI=-x，在Rt△PIO中，根据勾股定理求得，又因⊙P与⊙O外切，可得，所以-x，因为动点P在边AB上，⊙P经过点B，交线段PA于点E，即可得定义域为0＜x≤3；（3）分①当E与点A不重合时和②当E与点A重合时两种情况求AP的长即可.试题解析：（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，那么BC=9，HC=9-2=7，，﹒（2）作OI⊥AB于I，联结PO，AC=BC=9，AO=4.5，∴∠OAB=∠ABC，∴Rt△AIO中，，∴AI=1.5，IO=，∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=，∴Rt△PIO中，，∵⊙P与⊙O外切，∴，∴=，∵动点P在边AB上，⊙P经过点B，交线段PA于点E．∴定义域：0＜x≤3；（3）由题意得：∵点E在线段AP上，⊙O经过点E，∴⊙O与⊙P相交∵AO是⊙O半径，且AO＞OI，∴交点E存在两种不同的位置，OE=OA=①当E与点A不重合时，AE是⊙O的弦，OI是弦心距．∵AI=1.5，AE=3，∴点E是AB中点，，，，IO=，②当E与点A重合时，点P是AB中点，点O是AC中点，，∴或．点睛：本题是四边形与圆的综合题，考查的知识点有平行四边形的性质、勾股定理、切线的性质，解决第（1）（2）问时，正确作出辅助线是解题的关键，解决第（3）问时，要注意分类讨论数学思想的应用.12．(2023·上海九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．答案:（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．顶点B坐标为（1，3）．（2）cot∠AMB=m﹣2．（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．【详解】试题分析：（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=1，即=1，解得b=2．∴y=﹣x2+2x+c．将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，∴抛物线向下平移了3个单位．∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．∵OP=OQ，∴点O在PQ的垂直平分线上．又∵QP∥y轴，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的纵坐标为﹣．将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=或x=．∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．考点：二次函数的综合应用.13．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，上的一点在边的垂直平分线上，．（1）求证：；（2）如果，，求的值．答案:（1）见解析；（2）分析：（1）由，得出，可证得，进而证得，再根据线段垂直平分线的性质可推得，根据等量代换即可解得；（2）作DE⊥AB于E，由垂直平分，求出，，由勾股定理求出AH，设，则，再由勾股定理求出AD，然后由三角函数定义即可得出结果．【详解】解：（1）证：，，又，，，又是的垂直平分线，，，．（2）作垂直平分，垂直平分，，在中，在中，设，则．【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角函数的定义，难度不大，正确做出辅助线是解题的关键．14．(2023·上海九年级专题练习）如图，点A、B在第一象限的反比例函数图像上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A、B的横坐标分别为6、2，AB=．（1）求∠ACO的余弦值；（2）求这个反比例函数的解析式．答案:（1）；（2）．分析：（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，可证∠ACO=∠ABH，由点A、B的横坐标分别为6、2，可得AH=4，再由勾股定理可求得BH，即可求解∠ACO的余弦值；（2）设反比例函数的解析式为，根据点A、B在第一象限的反比例函数图像上,则点A（6，），B（2，），由BH=2可得，求出k值，此题即可得解．【详解】解：（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，垂足分别为D、E，AD、BE相交于点H．∵BE∥y轴，∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90°．∵点A、B的横坐标分别为6、2，∴AH=4．在Rt△ABH中，∵BH=．∴．（2）设反比例函数的解析式为，设点A（6，），则B（2，），∴，∴，∴反比例函数解析式为．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质及求锐角的三角函数值，掌握反比例函数的图象与性质并能结合反比例函数图象上的点的坐标特点求出函数表达式与角的三角函数值是解题的关键．15．(2023·上海九年级专题练习）抛物线经过点两点．（1）求抛物线项点D的坐标．（2）抛物线与轴的另一交点为，求的值．答案:（1）(1，4)；（2）分析：(1)抛物线y=ax2+2x+c经过点B(3,0)、C(0,3)两点，可求解析式，把解析式配方变为顶点式，求顶点D，(2)让y=0,求出A点坐标，过D作DE⊥x轴于E，则E点可求，连AD，在在Rt△ADE中AE，DE可求，用勾股定理求AD，利用正弦函数定义求即可．【详解】(1)抛物线y=ax2+2x+c经过点B(3,0)、C(0,3)两点，把B、C两点代入得，解得，∴y=-x2+2x+3，∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴D(1,4)，(2)y=0,-x2+2x+3=0，∴(x+1)(x-3)=0，∴x+1=0或x-3=0，∴x=-1或x=3，∴A(-1,0)，过D作DE⊥x轴于E，则E(1,0)，在Rt△ADE中，AE=1-(-1)=2，DE=4，∴AD=，∴Sin∠DAE=．【点睛】本题考查抛物线顶点，∠DAB的正弦，关键是用待定系数法求抛物线解析式，确定抛物线顶点，会求与x轴交点，用对称轴，AD及x轴围成Rt△，用正弦定义解决问题．16．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面CD垂直的位置时的示意图，已知米，米，(参考数据：)（1）求的长（2）若米，求两点的距离（精确0.01)答案:（1）0.8；（2）1.04m分析：（1）已知AC与BD，求AB，为此过D作BE⊥AC于E，可求AE，由∠ABE已知，利用30角所对直角．边等于斜边的一半，可求AB即可，（2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，∠ONF=α=30°，利用外角有∠M=∠MNO=∠FON=30º，在30ºRt△OFN中，OF=ON，易求MF，利用Rt△MFN中MN=即可．【详解】（1）过B作BE⊥AC于E，则四边形CDBE为矩形，CE=BD=0.26米，AC=0.66米，∴AE=AC-EC=0.66-0.26=0.40米，在Rt△AEB中，α=30°，AB=2AE=2×0.40=0.80米，（2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，∴∠ONF=α=30°，∵ON=0,6米，∴OF=ON=0,3米，∵OM=ON=0.6米，∴MF=0.9米，∴∠FON=90º-30º=60º，∴∠M=∠MNO=∠FON=30º，在Rt△MFN中，MN=．【点睛】本题考查求斜面长，MN长，关键是掌握把要求的线段置于Rt△中,用三角函数来解决问题．17．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在Rt△ADC中，∠C=90°，B是CD的延长线上的一点，且AD=BD=5，AC=4，求cos∠BAD的值．答案:分析：利用勾股定理求得CD和AB的长，再利用三角函数的定义求得cos∠B的值，即可求解．【详解】∵AD=BD，∴∠BAD=∠B，∵∠C=90°，AD=BD=5，AC=4，∴CD==3，∴BC=CD+BD=8，∴AB=，∴cos∠BAD=cos∠B=．【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及勾股定理的应用，锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．三、填空题18．(2023·上海九年级专题练习）如图，在，，，，是的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结，当是直角三角形时，的长为_______．答案:2或分析：分两种情况讨论，当时，则，利用锐角三角函数先求解，，，设，再表示，再利用勾股定理求解即可得到答案；当时，如图，连接，过作于，先证明：，再证明设，利用的锐角三角函数可得利用勾股定理求解可得答案．【详解】解：是的中点，当时，则，，设则，，即：当时，如图，连接，过作于，同理可得：，，，，设由，当，不合题意，舍去．综上：的长为或．故答案为：或【点睛】本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论．19．(2023·上海金山区·九年级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC上的点A′重合时，那么∠AA′B的余弦值等于_____．答案:．分析：作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝DC＝BC＝3，利用勾股定理求出AD，再根据旋转的性质可知，根据勾股定理可得，进而可得的余弦值．【详解】解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝4，BC＝6，