沪教版六年级下册数学专题训练专题04计算能力之角的综合运算专练(原卷版+解析)

专题04计算能力之角的综合运算专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，∠AOC=∠BOD=80°，如果∠AOD=138°，那么∠BOC等于（）A．22° B．32° C．42° D．52°2．已知如图，，，小明想过点引一条射线，使（与都小于平角），那么的度数是（）A． B．或 C． D．或3．把一副三角尺按如图所示拼在一起，则等于（）A． B． C． D．4．如果∠AOB=45°，∠BOC=30°，则∠AOC等于（）A．75° B．15°C．75°或15° D．不能确定5．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．60° B．75° C．90° D．105°6．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（）A．点 B．点 C．点 D．点7．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（）A． B． C．或 D．或8．如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（）A．个 B．个 C．个 D．个9．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（）A．∠BCD和∠ACF B．∠ACD和∠ACFC．∠ACB和∠DCB D．∠BCF和∠ACF10．一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（）①的角度恒为105°；②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作，则平分A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝__________时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．12．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝_____．13．已知：AOB＝32°，BOC＝24°，AOD＝15°，则锐角COD＝____14．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是_____．15．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号）16．已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB＝β，则∠BOE＝_____．（用含β的代数式表示）17．在同一平面内，，，，至少有一边在内部，则的度数为___．18．如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为______．(用含的式子表示)19．已知∠AOB=110°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=4∠BOC(∠BOC<35°)，则∠COD的度数为____________．20．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．三、解答题21．如图1，正方形和长方形的周长相等，且各有一条边在数轴上，点对应的数分别是．正方形以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度向左移动．设正方形和长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t．(1)长方形的面积是______．(2)当S是长方形面积的一半时，求t的值．(3)如图2，当正方形和长方形运动到点B和点F重合时，停止运动，将正方形绕点B顺时针旋转，旋转角度为，点分别在线段、线段的延长线上，平分，判断和之间的数量关系，用等式表示，并说明理由．22．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；（3）如图3若∠AOC＝60°，将三角尺从图1的位置开始绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旅转．当ON与OC重合时，射线OC开始绕点O以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与OA第一次重合时停止运动．当射线OC运动到与OA第一次重合时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．23．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使．（1）如图①，若平分，则的度数是_______；（2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时，①若，求的度数；②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示．24．如图，∠AOD＝130°，∠BOC：∠COD＝1:2，∠AOB是∠COD补角的．（1）∠COD＝_______；（2）平面内射线OM满足∠AOM＝2∠DOM，求∠AOM的大小；（3）将∠COD固定，并将射线OA，OB同时以2°/s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停止．在旋转过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ＋∠AOD＝50°时，求旋转时间t（秒）的取值范围．25．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于（1）如图2，当绕点逆时针旋转到与重合时，则；（2）如图3，当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即∠BOC＝80°）时，求的度数；（3）当从图2中的位置绕点顺时针旋转且，其中为正整数）时，则．专题04计算能力之角的综合运算专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，∠AOC=∠BOD=80°，如果∠AOD=138°，那么∠BOC等于（）A．22° B．32° C．42° D．52°【标准答案】A【思路指引】根据题意先计算出∠COD的度数，然后进一步利用∠BOD−∠COD加以计算求解即可.【详解详析】∵∠AOC=∠BOD=80°，∠AOD=138°，∴∠COD=∠AOD−∠AOC=58°，∴∠BOC=∠BOD−∠COD=80°−58°=22°，故选：A.【名师指路】本题主要考查了角度的计算，熟练掌握相关方法是解题关键.2．已知如图，，，小明想过点引一条射线，使（与都小于平角），那么的度数是（）A． B．或 C． D．或【标准答案】D【思路指引】分OD在∠AOB的内部与外部两种情况，画出图形求解即可．【详解详析】解：①当OD在∠AOB内部时，如图①，∵，∠AOB=100°，∴∠BOD=∠AOB=×100°=75°，∴∠BOC=∠BOD-∠BOC=75°-30°=45°．②当OD在∠AOB外部时，如图②，∵，∴∠AOD:∠AOB=1:2，∴∠AOD=50°，又∠AOC=∠AOB-∠BOC=100°-30°=70°，∴∠COD=∠AOD+∠AOC=50°+70°=120°，故∠COD的度数为45°或120°．故选：D．【名师指路】此题主要考查了角的计算，根据已知进行分类讨论是解题关键．3．把一副三角尺按如图所示拼在一起，则等于（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】由图形和三角尺各角度数得出∠AOB的度数是30°和90°的和，求出即可．【详解详析】解：根据图形可知：∠ABC=30°+90°=120°，故选：D．【名师指路】本题考查角的有关计算的应用，解题关键是准确观察图形和正确计算．4．如果∠AOB=45°，∠BOC=30°，则∠AOC等于（）A．75° B．15°C．75°或15° D．不能确定【标准答案】C【思路指引】分①当射线OC在∠AOB内部时和②当射线OC在∠AOB外部时两种情况求∠AOC的度数即可.【详解详析】分为两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB–∠BOC=45°–30°=15°；②如图2，当射线OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+30°=75°；故选C．【名师指路】本题主要考查了角的计算，明确分①当射线OC在∠AOB内部时和②当射线OC在∠AOB外部时两种情况求解是解决问题的关键.5．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．60° B．75° C．90° D．105°【标准答案】D【思路指引】如图，先利用三角形的外角性质求出∠BAE的度数，进而可得∠CAE的度数，问题即得解决.【详解详析】解：如图，由题意得∠BAE+∠B=∠DEF，∠BAE+30°=45°，所以∠BAE=15°.所以∠CAE=75°，所以∠α=105°.【名师指路】本题以三角板为载体，考查了三角形的外角性质定理和直角三角形的性质，掌握基本知识是解题的关键.6．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（）A．点 B．点 C．点 D．点【标准答案】A【思路指引】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．【详解详析】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表：，即时针转了24°，∵分针每转动1°，时针转动，由此知：分针转动：，由每一大格对应30°知：，即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：由此确定此时是10点48分；故答案为：A．【名师指路】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．7．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（）A． B． C．或 D．或【标准答案】D【思路指引】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．【详解详析】解：分两种情况：①如图平分时，，即，解得；②如图平分时，，即，解得．综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：．【名师指路】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．8．如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（）A．个 B．个 C．个 D．个【标准答案】C【思路指引】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．【详解详析】解：∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故①正确；∵，∵平分，平分，∴,∴，故②正确；∵，∴，∴，故③正确；∵不能证明，故④错误；∴正确的选项有3个；故选：C.【名师指路】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.9．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（）A．∠BCD和∠ACF B．∠ACD和∠ACFC．∠ACB和∠DCB D．∠BCF和∠ACF【标准答案】A【思路指引】因为是直角三角板，所以∠ACB和∠DCF都等于90°，所以利用角的和差把选项中的角能转化成∠ACB+∠DCF即为正确答案.【详解详析】∵∠BCD+∠ACF=∠BCD+∠ACD+∠DCF=∠ACB+∠DCF=90°+90°=180°,∴选A【名师指路】本题中出现一副三角板，我们需注意到三角板中的直角，又提出问题为互补，所以我们应将相应的角，利用角的和差等量变化成直角，若能即为正确答案.10．一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（）①的角度恒为105°；②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作，则平分A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】A【思路指引】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．【详解详析】如图1，当时如图2，当时因此，的角度不恒为，则①错误如图1，当时由角平分线的定义得如图2，当时由角平分线的定义得因此，的角度恒为定值，则②正确边与三角板的三边所在直线夹角不可能成如图1，当时，设DE与AB的交点为F，即DE只与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次；DB只与三角板的BC边所在直线夹角成，次数为1次如图2，当时，延长DE交AB于点F，即只有DB与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，则③错误如图3，作，即平分如图4，作显然不平分，则④错误综上，正确的个数只有②这1个故选：A．【名师指路】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．二、填空题11．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝__________时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．【标准答案】105°或75°【思路指引】分两种情况：①AB⊥CD，交DC延长线于E，OB交DC延长线于F，②AB⊥CD于G，OA交DC于H求出答案．【详解详析】解：①如图1，AB⊥CD，交DC延长线于E，OB交DC延长线于F，∵∠B=45°，∠BEF=90°，∴∠CFO=∠BFE=45°，∵∠DCO=60°，∴∠COF=15°∴∠AOC=90°+15°=105°；②如图2，AB⊥CD于G，OA交DC于H，∵∠A=45°，∠AGH=90°，∴∠CHO=∠AHG=45°，∵∠DCO=60°，∴∠AOC=180°-60°-45°=75°；故答案为：105°或75°．【名师指路】此题考查了三角形的角度计算，正确掌握三角板的度数及各角度的关系是解题的关键．12．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝_____．【标准答案】20°或120°【思路指引】如图，当OE在AB的上面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−70°＝110°，于是得到∠COE＝∠BOE−∠BOC＝130°−11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−70°＝110°，于是得到∠COE′＝180°−∠DOE′＝180°−60°＝120°．【详解详析】如图，当OE在AB的上面时，∵∠AOC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵∠BOE＝130°，∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，∵∠AOC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵∠BOD＝∠AOC＝70°，∴∠DOE′＝∠BOE′﹣∠BOD＝130°﹣70°＝60°，∴∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°，综上所述，∠COE＝20°或120°，故答案为：20°或120°．【名师指路】本题考查了对顶角，邻补角．解题的关键是采用形数结合的方法分情况讨论．13．已知：AOB＝32°，BOC＝24°，AOD＝15°，则锐角COD＝____【标准答案】71°或41°或23°或7°【思路指引】当BOC在AOB的外部时，AOD在AOB的外部和内部两种情形；当BOC在AOB的内部时，AOD在AOB的外部和内部两种情形．【详解详析】当BOC在AOB的外部时，AOD在AOB的外部时，COD=AOB+BOC+AOD=32°+24°+15°=71°；当BOC在AOB的外部时，AOD在AOB的内部时，COD=AOB+BOC-AOD=32°+24°-15°=41°；当BOC在AOB的内部时，AOD在AOB的外部时，COD=AOB-BOC+AOD=15°+32°-24°=23°；当BOC在AOB的内部时，AOD在AOB的内部时，COD=AOD+BOC-AOB=24°+15°-32°=7°．故答案为：71°或41°或23°或7°．【名师指路】本题考查了角的计算，学会用分类思想计算是解题的关键．14．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是_____．【标准答案】①②④【思路指引】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断②正确；由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．【详解详析】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．故答案为：①②④．【名师指路】本题考查了角度的计算，解题的关键是结合图形和题中信息准确判断．15．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号）【标准答案】①②③【思路指引】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解．【详解详析】∵射线、分别经过刻度117和153∴把绕点逆时针方向旋转到，得∵，∴，即①正确；∵射线经过刻度27∵∴射线经过刻度为：∴∴∴，即②正确；∵，且∴∴∴射线经过刻度为：，即③正确；故答案为：①②③．【名师指路】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解．16．已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB＝β，则∠BOE＝_____．（用含β的代数式表示）【标准答案】β或β【思路指引】【详解详析】解：如图1，∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=β，∵∠BOD＝∠COD，∴∠BOD＝∠COB=β，∠COD=β，∵OE平分∠COD，∴∠EOD=∠COD=β，∠BOE＝β+β=β；如图2，∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=β，∵∠BOD＝∠COD，∴∠BOD＝∠COB=β，∠COD=β，∵OE平分∠COD，∴∠EOD=∠COD=β，∠BOE＝β-β=β；故答案为：β或β【名师指路】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是画出正确图形，结合分类讨论思想，准确进行计算．17．在同一平面内，，，，至少有一边在内部，则的度数为___．【标准答案】或或．【思路指引】对射线OC、OD在∠AOB内部和外部进行分类讨论，然后按照角的和差计算即可．【详解详析】解：∵，，，如图1，OC、OD都在∠AOB内部，；如图2，OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部，，如图3，OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部，，故答案为：或或．【名师指路】本题考查了角的和差，解题关键是画出准确图形，分类讨论，准确计算．18．如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为______．(用含的式子表示)【标准答案】【思路指引】先求出，利用角平分线的性质求出∠COD=，由得到，再根据推出的度数.【详解详析】∵，，∴，∵OC平分∠AOD，∴∠COD=，∵∠COE=∠COD+∠DOE，且，∴,∴,∴,∵,∠BOD=∠BOE+∠DOE，∴∠BOE=3∠DOE=故答案为：.【名师指路】此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算.19．已知∠AOB=110°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=4∠BOC(∠BOC<35°)，则∠COD的度数为____________．【标准答案】60°或.【详解详析】当OD在∠AOB内部时，分两种情况：i如图①，当OC在∠AOB内部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=3x，∵∠AOD=∠AOC，∠AOC=∠COD+∠AOD,∴∠COD=∠AOC,∴∠AOC=，∵∠AOB=110°,∴x+=110°，得x=20°，∴∠COD=3x=60°；ii如图②，当OC在∠AOB外部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=5x，∵∠AOD=∠AOC，∴∠COD=∠AOC,∴∠AOC=,∵∠AOB=110°,∴x+=110°，得，∴∠COD=5x=.当OD在∠AOB外部时，分两种情况：i：如图3，当OC在∠AOB内部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=3x，∵∠AOD=∠AOC，∴∠AOC=3∠AOD,∴4∠AOC=3x∠AOC=，∴得，∵∠BOC<35°∴不合题意舍去；ii：如图4，当OC在∠AOB外部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=5x，∵∠AOD=∠AOC，∴∠AOC=3∠AOD,∴4∠AOD=5x∠AOC=，∴4x-=110°，得，∵∠BOC<35°∴不合题意舍去；故填60°或.【名师指路】此题考察角度计算，注意分类讨论，应考虑到∠BOC在∠AOB内部或是外部两种情况，（因为∠COD=∠AOC,故OD在∠AOB外不成立），设∠BOC=x，根据角度关系求得x的值即可得到∠COD的度数.20．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．【标准答案】150【详解详析】试题分析：首先根据直角定义可得∠COE=90°，再根据角的和差关系可得∠AOC=∠COE+∠AOE=90°+60°=150°，根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=150°．三、解答题21．如图1，正方形和长方形的周长相等，且各有一条边在数轴上，点对应的数分别是．正方形以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度向左移动．设正方形和长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t．(1)长方形的面积是______．(2)当S是长方形面积的一半时，求t的值．(3)如图2，当正方形和长方形运动到点B和点F重合时，停止运动，将正方形绕点B顺时针旋转，旋转角度为，点分别在线段、线段的延长线上，平分，判断和之间的数量关系，用等式表示，并说明理由．【标准答案】(1)60(2)t的值为或(3)∠ABP=∠CBN，理由见解析.【思路指引】（1）由数轴上两点间的距离求出BC=8，FG=6，进而可得正方形ABCD的周长为32，再根据正方形ABCD和长方形EFGH周长相等，即可求EF长，进而求其面积；（2）分情况讨论：①当点F在正方形BC边上时；②当点F在正方形BC边左边时两种情况即可；（3）由角平分线定义得∠EBP=∠CBE，由平角定义得∠ABE=180º-∠ABC-∠CBN=90º-∠CBN，根据角的和差即可得到∠ABP=∠CBN(1)解：∵四边形ABCD是正方形，BC=-5-(-13)=8，∴正方形ABCD的周长为32，∵四边形EFGH是长方形，FG=8-2=6，∴长方形EFGH的周长为2(EF+FG)=2(EF+6)，∵正方形ABCD和长方形EFGH周长相等，∴2(EF+6)=32，∴EF=10，∴S长方形EFGH=10×6=60，故答案为：60(2)解：当点F在正方形BC边上时，如图：正方形ABCD以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形EFGH以每秒1个单位长度的速度向左移动，移动时间为t，∴CC1=2t，FF1=t，CF=2-(-5)=7，∴F1C1=CC1+FF1-CF=2t+t-7=3t-7，∵重叠部分的面积=F1C1·C1D1=×60=30，且C1D1=8，∴F1C1=，∴3t-7=，∴t=；当点F在正方形BC边左边时，如图：正方形ABCD以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形EFGH以每秒1个单位长度的速度向左移动，移动时间为t，∴BB2=2t，GG2=t，BG=8-(-13)=21，∴B2G2=BG-BB2-GG2=21-3t，∵重叠部分的面积=B2G2·A2B2=30，且A2B2=8，∴B2G2=，∴21-3t=，∴t=，故t的值为或(3)∵平分，∴∠EBP=∠CBE，∵∠ABE=180º-∠ABC-∠CBN=90º-∠CBN，∴∠ABP=∠EBP-∠ABE=∠CBE-90º+∠CBN=（180º-∠CBN）-90º+∠CBN=∠CBN，即∠ABP=∠CBN【名师指路】本题考查了一元一次方程的应用、数轴等知识点，体现了分类讨论思想，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．也考查了角平分线的定义等知识.22．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；（3）如图3若∠AOC＝60°，将三角尺从图1的位置开始绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旅转．当ON与OC重合时，射线OC开始绕点O以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与OA第一次重合时停止运动．当射线OC运动到与OA第一次重合时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．【标准答案】（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=15或t=24或t=54【思路指引】（1）①求出∠BOC，利用角平分线的定义求出∠BOM，进而求出∠AON，然后列方程求解；②求出∠CON=15°即可求解；（2）用含t的代数式表示出α和β，消去t即可得出结论；（3）分三种情况列方程求解即可．【详解详析】解：（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠COM=60°，∠BOC=150°，∵OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM=∠BOC=75°，∴∠AON=180°-90°-75°=15°，∴5t=15，∴t=3；②∵∠AOC=30°，∠AON=15°，∴∠CON=15°，∴此时ON平分∠AOC；（2）由旋转的性质得，∠AON＝α=5t①，∠COM＝β=60°+5t②，把①代入②，得β=α+60°；（3）当ON与OC重合时，60÷5=12秒，当OC与OA重合时，(360-60)÷20+12=27秒，当OC平分∠MON，且OC未与OA重合时，则∠CON=45°，由题意得，60+20(t-12)-5t=45，解得t=15；当OM平分∠CON，且OC未转到OA时，则∠CON=180°，由题意得，60+20(t-12)-5t=180，解得t=24；当OM平分∠CON，且OC转到OA时，则∠AOM=90°，由题意得，∴360-90=5t，∴t=54，综上可知，当t=15或t=24或t=54时，ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线．【名师指路】本题考查了角的和差，角平分线的定义，以及一元一次方程的定义，正确识图是解答本题的关键．23．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使．（1）如图①，若平分，则的度数是_______；（2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时，①若，求的度数；②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示．【标准答案】（1）；（2）①80°；②．【思路指引】（1）由题意根据角平分线可得∠BOD=30°，∠BOE=90°，进而可得∠AOE的度数；（2）①由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：2可得∠BOD=40°，∠BOE=100°，进而可得∠AOE的度数；②由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：n可得，再由①的思路可得答案．【详解详析】解：（1）因为平分，，所以，，所以．故答案为：；（2）①因为，，所以，所以，所以．②．因为，，所以，所以，所以．【名师指路】本题主要考查角的运算，注意掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．24．如图，∠AOD＝130°，∠BOC：∠COD＝1:2，∠AOB是∠COD补角的．（1）∠COD＝_______；（2）平面内射线OM满足∠AOM＝2∠DOM，求∠AOM的大小；（3）将∠COD固定，并将射线OA，OB同时以2°/s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停止．在旋转过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ＋∠AOD＝50°时，求旋转时间t（秒）的取值范围．【标准答案】（1）；（2）∠AOM的大小为或（3）旋转时间t（秒）的取值范围为【思路指引】（1），用分别表示出与的大小，利用角之间的关系，即可求解．（2）分射线OM在∠AOD的内部和外部两类情况进行讨论，利用角与角之间的关系，即可求出答案．（3）先观察到，寻找临界情况，利用角的关系求出对应两种临界情况下的旋转角度，进而求出时间t（秒）的取值范围．【详解详析】（1）解：设：，∠BOC：∠COD＝1:2，∠AOB是∠COD补角的．，。，，解得：，故．（2）解：当射线OM在∠AOD的内部时，如下图所示：∠AOD＝130°，且∠AOM＝2∠DOM，当射线OM在∠AOD