人教版七年级数学上册培优资料

第1讲与有理数有关的概念

考点-方法-破译

1.了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.

2.会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.

3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.

经典・考题・赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义

⑴向前一7米⑵收入一50元⑶体重增加一3千克

【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,

如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”

解：（1）向前一7米表示向后7米⑵收入一50元表示支出50元⑶体重增加一3千克表示体重减小3千克.

【变式题组】

01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作（）

A.-18%B.-8%C.+2%D.+8%

02.（金华）如果+3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为（）

A.-5吨B.+5吨C.—3吨D.+3吨

03.（山西）北京与纽约的时差一13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间/5:00,纽约时问是____

22

【例2】在一亍，77,0.0333这四个数中有理数的个数（）

41个8.2个C.3个D.4个

［正有理数［正整数［.正整数

［正分数整数＜

0

【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数＜0;按整数、分数分类，有理数＜负整数；其中分数包括有限小数和无限循

上有理数｛1负整份数卜数,'正分数

、负分数

环小数，因为〃=3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以〃不是有理数，一亍是分数0.（）333是无限循环小数可以化成分数形式，。是整

数，所以都是有理数，故选C.

【变式题组】

11

01.在7,0.15,-301.31.25,100./,-3001中，负分数为,整数为,正整数

Zo

02.（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置

1213

15,

11111_

【例3】（宁夏）有一列数为一1,

5'

【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律.击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分

子部是1;（2）各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,

1

并且是一个负数，故答案为一显.

【变式题组】

01.（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3=2+1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四十数是17=9+8…观察并精想第六个数是

02.（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.

03.（茂名）有一组数/,2,5,10,17,26…请观察规律，则第8个数为.

【例4】（2008年河北张家口）若/+/的相反数是一3,则〃的相反数是____.

【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的

距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题/=—4,m=—8

【变式题组】

01.（四川宜宾）一5的相反数是（）

11

A.5B.-C.—5D.--

O□

02.已知a与6互为相反数，c与"互为倒数，则a+6+a/=

03.如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形48、C内分+1别填入适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数

互为相反数，则填入正方形48、C内的三个数依次为（）

A.-1,2,0B.0,-2,1C.-2,0,1D.2,1,0

【例5】（湖北）a、。为有理数，且a>0,b<0,\b\>a,则a,6、一a,一6的大小顺序是（）

A.b<—a<a<—bB.-a<b<a<—bC.-b<a<—a<bD.-aVaV—bVb

a（a>0）

【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示占的点到原点的距离，即|司，用式子表示为|a|=（03=0）.本题注意数形结合思想,

-a（a<0）

画一条数轴

~b"~0a-b标出石、6,依相反数的意义标出一6,一4故选4

【变式题组】

01.推理①若甘=6,贝“a|=|6|;②若|石|=|。|,则a=6;③若a*b,则|a|=#|b|;④若|石|学^引，则占土6,其中正确的个数为（）

44个8.3个C2个/7.1个

02.a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则回+以+应=________.-I-----1----1---1一>

3bcc0ab

bc

03.a、b、c为不等于。的有理散,则卜西+国的值可能是

【例6】（江西课改）已知|a—4|+|6—8|=0,则一的值.

ab

【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|a|20.所以|a—4|》0,16—8|m0.而两个非负数之和为0,则

两数均为0.

解：因为|a—4|20,|6一8|20,又|a-4|+|6—8|=0,—4|=0,|£—81=0即a-4=0,6-8=0,a=4,6=8.故当=2=4

abJzo

【变式题组】

01.已知|a|=1,|b\=2,|c\=3,且a>6>c,求a+6+C.

02.（毕节）^|/77-3|+|/7+2|=0,则/TT+2/7的值为（）

A.-4B.-1C.0D.4

03.已知|a|=8,\b\=2,且|d—6|=。-a,求a和。的值

【例7】（第/8届迎春杯）已知（加+〃）？+|加|=加，且|2加一"一2|=0.求加的值.

【解法指导】本例关键是通过分析（"“y+j引的符号，挖掘出力的符号特征，从而把问题转化为（/〃）2=0,|2加一〃一2|=0,找到解题途径.

解:丁（m+/7）2,0,\m\^0

GTT+Z?）之+|勿|20,而（y7rl■刃+|力|=勿

/./77^0,/.{m+n）2+m=m,即（m+»=0

m+n=0①

又|2m一/7-2|=0

：.2m-n—2=0②

224

由①②得勿=,，〃=一不，*'•mn="o

【变式题组】

01.已知（a+6）2+|6+5|=6+5且|2a-6-/|=0,求a-8.

02.（第16届迎春杯）已知y=|x-a|+|x+l9|+|x-a-96|,如果19<a<96.aWxW96,求y的最大值.

演练巩固-反馈提高

111111

01.观察下列有规律的数彳，1行水前布…根据其规律可知第9个数是（）

zo1zzUoU42

儿豆8,方C•而

02.（芜湖）一6的绝对值是（）

1

A.6B.-6C.-

o

03.在一亍，小8.0.3四个数中，有理数的个数为（）

41个8.2个C.3个4个

04.若一个数的相反数为a+6,则这个数是（）

A.a-bB.b—aC.-a+6D.-a-b

05.数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6,这两个数是（）

4。和6B.0和一6C.3和一3D.。和3

06.若一a不是负数，则a（）

A.是正数B.不是负数C.是负数D.不是正数

07.下列结论中，正确的是（）

①若a=b,则|司=|6|②若a=-b,则|石|=|6|

③若|a|=\b\9则a=­b④若|a|=|6|,则a=b

4①②B.③④C.①④D.②③

08.有理数a、6在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b,一名|引的大小关系正确

的是（）

A.|b\>a>—a>bB.\b\>b>a>—a,।,i_

C.a~>|b\>b>一aD.a>\b\>—a>bb0]a

09.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____

10.已知|x+2|+|y+2|=0,则xy=__.,।,

11.a、6、c三个数在数轴上的位置如图，求回+00ab呼十]^旦+国

ababcc

b

12.若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a+6也可以表示成0、b、-的形式，试求a、6的值.

a

13.已知|a|=4,|b\=5,|c\=6,且a>6>c,求a+6—C.

14.|a|具有非负性，也有最小值为0,试讨论：当x为有理数时，|万一/|+|*—3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.

15.点48在数轴上分别表示实数a、b,A,8两点之间的距离表示为|力）.当48两点中有一点在原点时，不妨设点4在原点，如图1,|48|=|必|=|引=

\a-b\当A8两点都不在原点时有以下三种情况：

①如图2,点4、8都在原点的右边=|一|以|=|引一|a|=6—a=|a—引：

②如图3,点力、8都在原点的左边，\AB\=\OB\—\OA\=\b\—\a\=-b—(―a)=|a-b\：

③如图4,点48在原点的两边，|49|=|08|一|)|=|引一以|=一6一(-a)=\a-b\■

综上，数轴上48两点之间的距离|/8|=|a-6|.

。⑷B_0AB_5.4。BON.

=1.b-士bb£0d-(2

E-H20304

回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是,,数轴上表示1和一3的两点之间的距离是

⑵数轴上表示x和一1的两点分别是点4和8,则为、3之间的距离是,

如果|40=2,那么*=；

⑶当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是.

培优升级-奥赛检测

1

01.(重庆市竞赛题)在数轴上任取一条长度为199%的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是()

A.1998B.1999C.2000D.2001

02.(第/8届希望杯邀请赛试题)在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abcVO;②|a一引+|6一c|=|a-c|;③(a-m

(b一c)(c—a)>0;@|a\<1—be.其中正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

03.如果a、b、。是非零有理数，且a+6+c=0.那么\a\+\b\+\c\+\abc\的所有可能的值为（)

A.-1B.1或一1C.2或一2D.0或一2

04.已知|勿|=一勿，化简|加一/|一|加一2|所得结果（）

A.-1B.1C.2m-3D.3-2m

05.如果0VQV15,那么代数式|X-Q|+|X—15|+|x-p—15|在的最小值（）

A.30B.0C.15D.一个与0有关的代数式

06.|x+11+|x—21+|x—31的最小值为.

07.若a>0,6V0,使|x—+|x—=a—6成立的x取值范围.

08.（武汉市选拔赛试题）非零整数勿、〃满足|o|+|=|—5=0所有这样的整数组（勿，力共有_组

09.若非零有理数小〃、p满足刨■+回+应=1.则等%=

mnp\3mnp\---------

10.(19届希望杯试题)试求|x—1|+|x—21+|x—3|+…+|x—1997|的最小值.

11.已知(|x+/|+|x—2|)(|y—2|+|y+11)(|z—3\+|z+/|)=36,求x+2y+3的最大值和最小值.

12.电子跳蚤落在数轴上的某点〃°,第一步从4向左跳1个单位得％,第二步由左向右跳2个单位到儿，第三步由％向左跳3个单位到〃3,第四步由〃3向右跳4

个单位到息…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点如。新表示的数恰好19.94,试求Ab所表示的数.

13.某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1/台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电

脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.

第02讲有理数的加减法

考点-方法-破译

1.理解有理数加法法则，了解有理教加法的实际意义.

2.准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.

3.理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.

4.会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.

经典・考题-赏析

【例1】（河北唐山）某天股票4开盘价18元，上午11：30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票4这天的收盘价为（）

A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元

【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加,

取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18+（-1.5）+（0.3）=16.8,故选C.

【变式题组】

01.今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为一6℃,西安市最低气温2℃,这一天延安市的最低气温比西安低（）

A.8℃B.-8℃C.6℃D.2℃

02.(河南)飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为

03.(浙江)珠穆朗玛峰海拔8848仍，吐鲁番海拔高度为一155m,则它们的平均海拔高度为

【例2】计算(-83)+(+26)+(-17)+(•-26)+(+15)

【解法指导】应用加法运算简化运算，-83与一17相加可得整百的数，+26与-26互为相反数，相加为0,有理数加法常见技巧有：(1)互为相反数结合一

起：(2)相加得整数结合一起：(3)同分母的分数或容易通分的分数结合一起；(4)相同符号的数结合一起.

解：(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(-83)+(-17)]+[(+26)+(-26)]+15=(-100)+15=—85

【变式题组】

131

01.(—2.5)+(—3—)+(—1—)+(—1—)

244

02.(—13.6)+0.26+(—2.7)+(—1.06)

112

03.0.125+3-+(-3-)+11-+(-0.25)

483

【例3】计算」一+」一+」一+1

H-------------------

1x22x33x42008x2009

【解法指导】依一—=--一5一进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.

H(M+1)n〃+1

解：原式=(l_g)+«)+qT++(短

2009)

,1111111

=1------1-----------1----------1---------------------

2233420082009

=]_1_2008

2009-2009

【变式题组】

01.计算1+(-2)+3+(-4)+…+99+(-100)

02.如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为L的长方形，接着把面积为L的长方形等分成两个面积为L的正方形,

224

2

再把面积为—的正方形等分成两个面积为—的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算

482

11111II1

--1--1--1---1---1---1----1----=.

2481632641282561

【例4】如果aV0,b>0,a+b<0,那么下列关系中正确的是\_8()

A.a>b>—b>—aB.a>—a>b>—b41

132

C.b>a>—b>—aD,—a>b>—b>a161

【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确M定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在

同一数轴上表示出来，即可得出结论.

解：'：a<0,b>0,是异号两数之和

叉a+b<0,：.a,6中负数的绝对值较大，：.\a\>\b\

将H、b、—a、—。表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是一a>b>—b>a

［变式题组］IIIII一

01.若m>0,"V0,且|m|>@b0.b-aI〃I,则叶〃0.(填>、〈号)

02.若加<0,/7>0,且|m\>\n\,则m+n0.(填>、V号)

03.已知aV0,b>0,cV0,且|c\>|b\>|a试比较a、b、c、a+b、a+c的大小

238

【例5】4——(一33—)一(—1.6)一(—21—)

51111

【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；(2)利用有理数的加法法则进行运算.

238238

解：4——(—33—)一(—1.6)一(—21—)=4—F33----F1.6+21—

5111151111

38

=4.4+1.6+(33—+21—)=6+55=61

1111

【变式题组】

01・(--1)-(+^)-(-7)-(+^)-(+1

32632

31

02.4■——(+3.85)—(―3—)+(-3.15)

44

219

03.178-87.21-(-43—)+153-------12.79

2121

【例6】试看下面一列数:25、23、21、19…

⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第"个数是多少？

⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？

⑶求这列数中所有正数的和.

【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律,通过观察推理、猜想出第"个数的规律，再用其它的数来验证.

解：⑴第10个数为7,第〃个数为25—2("-1)

⑵："=13时，25-2(13-1)=1,"=14时,25-2(14-1)=-1

故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.

(3)这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,其和=(25+1)+(23+3)+•••+(15+11)+13=26X6+13=169

【变式题组】

01.(杭州)观察下列等式

112R97d.

1--=-,2--=-,3--=—,4一一=一…依你发现的规律，解答下列问题.

225510101717

(1)写出第5个等式;

⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？

02.观察下列等式的规律

9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20

(1)用关于〃的自然数)的等式表示这个规律;

(2)当这个等式的右边等于2008时求n.

112I231234124849

【例7】(第十届希望杯竞赛试题)求1-(—I—)+(1-----1—)+(—I-----1------1—)+,,,+(-------1--------1------1--------1------)

233444555550505050

【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1,由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.

112123194849

解：设5=—+(-+-)+(—+—+—)+…+(—+—+­••+—+—)

23344450505050

12132149

则有S——F(—I—)+(-+-+-)+-+(―+生+…+2+_L)

23344450505050

将原式和倒序再相加得

1233211

25=-+-+(-+-+-+-)+(-+-+-+-+-+-)+…+(―卜Z+...+史+竺+竺+竺+…+2+工)

2233334444445050505050505050

49x（49+1）

即2s=1+2+3+4+…+49=----------------=1225

2

【变式题组】

01.计算2-22-23-24-25-26-27-28-29+210

02.（第8届希望杯试题）计算（1--------------------------）（—H-------1------1------F---------1---------）—（1——------------------------）（—H-------1------1------F-------

232003234200320042320042342003

演练巩固・反馈提高

01.m是有理数，则m+|同（）

A.可能是负数B.不可能是负数

C.比是正数D.可能是正数，也可能是负数

02.如果|a|=3,\b\=2,那么|a+6|为（）

A.5B.1C.1或5D.±1J

03.在1,-1,一2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

04.两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）

A.两数一定都是正数B.两数都不为0

C.至少有一个为负数D.至少有一个为正数

05.下列等式一定成立的是（）

A.|x\—x=0B.—x—x=0C.|x|+|—x|=0D.Ix|—|x|=0

06.一天早晨的气温是一6℃,中午又上升了10℃,午间又下降了8℃,则午夜气温是（）

A.-4℃B.4℃C.-3℃D.~5℃

07.若a<0,则|a—（一a）|等于（）

A.—aB.0G.2aD.-2a

08.设x是不等于0的有理数，则.一|人、值为（）

2x

40或18.0或2C.0或一1D.0或一2

09.（济南）2+（—2）的值为

10.用含绝对值的式子表示下列各式：

(1)若a<0,6>0,则6—a=,a~b=

(2)若a>6>0,则|a—6|=

(3)若a<h<0,则a-b=

11.计算下列各题：

(1)23+(-27)+9+5(2)-5.4+0.2-0.6+0.35-0.25

⑶-0.5-3*2.75-7123

(4)33.1-10.7-(-22.9)一|———

4210

12.计算1一3+5—7+9-11+…+97—99

13.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从4地出发到收工时所走的路线(单位：千米)为：

+10,—3,+4,—2,—8,+13,—7,+12,+7,+5

(1)问收工时距离4地多远？

(2)若每千米耗油0.2千克，问从4地出发到收工时共耗油多少千克？

14.将1997减去它的工，再减去余下的1,再减去余下的1，再减去余下的L……以此类推，直到最后减去余下的」一，最后的得数是多少？

23451997

112

15.独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国,古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如一+一来表示一，

3155

用上+,+-!-表示,等等.现有90个埃及分数：

—,,你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于一1吗？

4728723459091

培优升级-奥赛检测

1-2+3—4+-14+15行

01.（第16届希望杯邀请赛试题）-----------等于（）

-2+4-6+8-+28-30

11

A.—B,--C.一D.——

4422

自然数、、、，满足」•十

02.abc±+±+±r则方寺于（）

h-c1d-

13715

A.-B.—C.—D.——

8163264

03.（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、"是互不相等的正整数，且占历4=441,则a+b+c+4值是（)

A.30B.32C.34D.36

…口上."工-199519951996199619971997

04.(第7届希望杯试通)若a=---------,b—---------------，则a、6、c大小关系是（）

199619961997199719981998

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

11I

05.(1+--T)(l+)(1+)(1+)(1+•）的值得整数部分为（）

1x32x43x51998x20001999x2001

A.1B.2C.3D.4

06.（一2）2次+3*（—2）须3的值为（)

A.-22003B.22003C.-22004D.22004

07.（希望杯邀请赛试题）若|〃|=始卜1,则（4/1）2出

11?1231

08.—F(—I—)+(—I---F-)++(----F=

233444606060

1919197676

09.

7676761919

10.1+2-22-23-24-25-26-27-28-29+2'°=

11.求32°°'X72°°2x132°"所得数的末位数字为

12.已知(a+6)2+|6+5|=b+5,且|2a-6—l|=0,求aB.

13.计算(一!一一1)(―!—一1)(--D-(--1)(―!--D

19981997199610011000

14.请你从下表归纳出13+23+33+4JH-Hz?的公式并计算出1J+23+3J+4JH---HOO,的值.

第03讲有理数的乘除、乘方

考点-方法-破译

1理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.

2掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.

3了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.

4掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.

5理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.

经典・考题・赏析

【例1】计算

⑶（q）x（q）

⑵汨(4)2500x()

（1,

【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的

积.

解：⑴一X()———(一X—)——---

24248

小」=(」」)」

24248

(3)(--)x(—!-)=+(-x-)=-

24248

(4)2500x0=0

,3、，7、八1、，3、，37103、1

(5)(——)x(——)x(1—)x(——)=-(-X—x—X—)=——

569756973

【变式题组】

,1、，1

01.(1)(-5)x(-6)(2)(--)xl-⑶(一8)x(3.76)x(—0.125)

24

⑸-12x(2!-J+J_J)

(4)(-3)x(-l)x2x(-6)x0x(-2)

42612

24