陕西省富平县2024届高三第二次模拟数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省富平县2024届高三第二次模拟数学试题（理）一、选择题1.设复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，所以在复平面内的对应点为，在第一象限.故选：A2.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，，则，而，所以.故选：C3.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，解得或2，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的值可以为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知函数图象关于原点对称，则，整理可得，当时，.故选：D.5.某电视台举行主持人大赛，每场比赛都有17位专业评审进行现场评分，首先这17位评审给出某位选手的原始分数，评定该位选手的成绩时从17个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到15个有效评分，则15个有效评分与17个原始评分相比，在数字特征“①中位数②平均数③方差④极差”中，可能变化的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个〖答案〗B〖解析〗从17个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到15个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，但中间位置不变，即不变的数字特征数中位数，例如，故可能变化的有3个.故选：B.6.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，则，则故选：C8.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗D〖解析〗，即，故，，因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.故选：D9.在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形〖答案〗A〖解析〗连接，因为⊥平面，平面，所以⊥，又四边形为正方形，所以⊥，又，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，同理可证明⊥，因为，平面，故⊥平面，故平面即为平面，则截该正方体所得截面的形状为三角形.故选：A10.已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令椭圆的右焦点，依题意，轴，且点在第一象限，由，解得，则，而，由，得，解得，，所以椭圆C的离心率.故选：C.11.若函数在内恰好存在8个，使得，则取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，由可得，因为，，则，由题意可得，解得，所以的取值范围为．故选：D．12.已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（）A.14 B.16 C.21 D.23〖答案〗D〖解析〗由，且，，故，即，令，，故当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，由，即，故，，又，故，即，若，则有，即，由，故.故最大正整数为.故选：D.二、填空题13.展开式中的项是_____________.〖答案〗〖解析〗依题意，展开式中的项是.故〖答案〗为：14.若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为_____________.〖答案〗〖解析〗抛物线的焦点，准线，设，则，解得，显然，不妨设，关于直线的对称点为，则因此，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为.故〖答案〗为：15.已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为_____________.〖答案〗〖解析〗令时，可得，可知函数，且的图象恒过定点，因为定点在直线上，可得，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：.16.已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗设外接球半径为，则，解得，故，由于均在球面上，故，由勾股定理得，取的中点，连接，则⊥，⊥，，又，平面，故⊥平面，其中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，故，故，故三棱锥的体积为故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题17.已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和.解：（1）设等比数列的公比为，由及，得，解得，于是，即，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，所以.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点.（1）求证：∥平面PBC；（2）求平面MBC与平面PBC夹角的余弦值.（1）证明：如图，连接BD，由ABCD是平行四边形，则有BD交AC于点N．因为M，N分别为PD，BD的中点，则．且平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．（2）解：由题意可知：平面ABCD，且，如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面MBC的法向量，则，令，则，可得；设平面PBC的法向量，则，令，则，可得；则，所以平面MBC与平面PBC夹角的余弦值为.19.乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男4056女24总计100（1）补全列联表，并判断我们能否有把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为，求的分布列和数学期望．0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910828参考公式：．解：（1）依题意可得列联表如下：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男401656女202444总计6040100，我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，则的可能取值为、、、，所以，，，，所以的分布列为：0123所以．20.已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离为．因为双曲线C的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为．（2）设，，联立，得，，所以，．由，解得t＝1（负值舍去），所以，．直线l：，所以原点O到直线l的距离为，，所以△OAB的面积为．21.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）依题意，函数的定义域为，求导得，当且仅当时取等号，即在上单调递减，所以函数的递减区间为，无递增区间.（2）当时，恒成立，令，求导得，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，则当时，，令，依题意，，恒成立，令，求导得，则函数在上单调递增，当时，，因此，所以实数m的取值范围.（二）选考题【选修4—4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出直线和曲线的普通方程；（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.解：（1）因为l：，所以，又因为，所以化简为，因为，整理得C的直角坐标方程：；（2）联立l与C的方程，即在时有