广东省高中数学-立体几何复习资料(文)

广东省高中数学一立体几何复习资料（文）

4.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯

视图轮廓为正方形，则其体积是（）俯视图

AB4血c.D-

3363

【答案】A

13.如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好

盛满杯子，则杯子高11=.

【答案】8cm

9.如图所示，已知三棱柱ABC-4月G的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC上的射

影D为8C的中点，则异面直线与CG所成的角的余弦值为（）

V53

()D)--(C)(D)-

AT4T4

【答案】D

【解析】连结AD，AD,易知ZA.AB为异面直线与CG所成的角，则

3

cosNAAB=cos/AADcos=故选D；

6.已知直线/,加，〃及平面a,下列命题中是假命题的是

A.若/〃加，〃〃，则/〃〃；B.若/〃a,n//a,贝!)/〃〃.

C.若/!•加，m//n,则/_L〃；D.若/_La,〃〃a,则/_L〃；

【答案】B

5.如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的图面称为

俯视图-图1<

A.B.4GC.8D.12

3

【答案】C

11.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆,

那么这个几何体的圆回积为.

【答案】-71

2

12.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1

的半圆，则该几何体的体积是.

V3

【答案】6

9.已知某个几何体的三视图如图（俯视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位:

cm）,可得这个几何体的体积是（）cn?。

A.nB.2乃C.4兀D.4

【答案】A

4.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

【答案】D

【解析】①错，②正确，③错，④正确.故选D

7.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x,且它的8个顶点都在同一个球面上,

这个球面的表面积为125n则x的值为（）

A.5B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】因为球的半径为R=，所以有44（小上匚）2=125肛所以x=10

22

9.如图1是某个正方体的侧面展开图，八是两条侧面对角线，则在正方体中，4与，2

A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为2TTD.相交且夹角为巴TT

33

【答案】D

9.有一个几何体的三视图如下，外轮廓是边长为1的正方形，则该几何体的体积为

正视图侧视图俯视图，

【答案】C

15

【解析】该几何体是正方体削去一个角，体积为1一a=£

00

9.某个锥体（图1）的三视图如图根所示，据图中标出的尺寸，这个锥体的侧面积S=

A.6B.2岳JrC.6+VBTZ-D.6+2岳兀

【答案】C

7.己知名£是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，给出下列命题：（）

①若m_La,，“u〃，则a_L£.②若mua,nua,mH仇〃〃尸，则a〃。.

③如果加ua,〃（za,m、〃是异面直线，那么〃与a相交.

④若ac^=加,〃〃机，且〃则〃〃a且〃〃△其中正确的命题是（）

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】B11.己知一个空间几何体的三视图如右图所示，它们是半径为4的半圆或圆，则

该几何体的表面积为•

正视图（主视明）

甥视制《第”制出，

【答案】32乃

4.三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图

所示，则这个三棱柱的全面积等于

A.12+472B.6+2V2C.8+4V2D.4

主视图-左视图“

【答案】A

1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面

PADL^ABCD,且PA=P£>=二一A。，若E、尸分别为PC、8。的中点.

2

C

AB

'(1)求证：上/〃平面PA。；

(2)求证：平面POC，平面PAD.

(3)求四棱锥P—ABC。的体积匕-88.

【答案】(1)证明：连结AC,则尸是AC的中点，在△CPA中，EF/7PA,

2分

且PAu平面PAD,EF<Z平面PAD,

，EF〃平面PAD........4分

(2)证明：因为平面PAD_L平面ABCD,平面PADC1平面ABCD=AD,

又CDJ_AD,所以,CDJ_平面PAD,.......7分

又CDu平面PDC,二平面PAD_L平面PDC.........8分

(3)PA^PD^—AD^y/2,：.PA2+PD~=AD2,

2

2

PA1PD,SSPAD=；(V2)=1,.............10分

又由(2)可知CD_L平面PAD,CD=2,.................11分

12

^P-ADC=^C-PAD=1X2=—,.................13分

24

VP-ABCD=2VP-ADC=2><3=5,.................I4分

18.(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC—A4G中，AC=3,BC=4,AB=5,A&=4,点。是AB的

中点，

(1)求证：AC1BC｝；

AB2=AC2+BC2,：.ACIBC

CC,1平面ABC,ACu平面ABC,

AC±CC,,又BCCC,=C,

AC1平面BCC4,万Gu平面BCG4，

AC1BC,.............5分

(2)设C4与QB的交点为石，连结OE，•••。是AB的中点，E是。刀的中点,

：.DEAG，DEu平面COB’AGZ平面CD耳,AC1平面。……

10分

=,,

(3)Vp—RCC~5--AC=—x|—x4x4|x—=4.....14分

cC]-rCAD/Z>|A/-t>|C|C3Oa|Cc|Cc23(2J2

18.在四棱锥P-ABCD中，APBC为正三角形,AB_L平面PBC,AB〃CD,AB=-DC,E为P£>中点.F

2

为PC中点。(1)求证：AE〃平面PBC；(2)求证：AEL平面PDC.

【答案】⑴证明:连接EF,E为PO中点.F为PC中点，则EF〃CD,EF=^DC,因为AB〃CD,

2

AB=-DC,所以有EF〃AB且EF=AB,则四边形ABEE是平行四边形.所以AE〃BF,因为AE不在

2

平面PBC内，BF在平面PBC内，所以AE〃平面PBC.(8分)

(2)因为AB_L平面PBC,AB〃CD,所以CD_L平面PBC,BF在平面PBC内，CD_LBF.

△PBC为正三角形,BFJ_PC,又PCcCD=C,PC、CD在平面PDC内，所以BFJ_平面PDC,又AE

〃BF,所以AE,平面PDC.(14分)

19.(本小题满分14分)

如图所示，圆柱的高为2,PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，AB=2,BC=4,E、F、

G分别是线段PA,PD,CD的中点。

(1)求证：平面PDC_L平面PAD；

(2)求证：PB〃面EFG；

(3)在线段BC上是否存在一点M,使得D到平面PAM的距离为2?若存在，求出BM；若不

P

存在，请说明理由。

【答案】证明(1)：PA是圆柱的母线，...PA_L圆柱的底面。............................1

分

•；CDu圆柱的底面，，PAJ_CD

又；ABCD为矩形，.".CD1AD

而ADPA=A,；.CD_L平面PAD...............................3分

又CDu平面PDC,...平面PDCJ_平面PAD。...............................4分

(2)取AB中点H,连结GH,HE,

；E,F,G分别是线段PA、PD、CD的中点，

；.GH//AD〃EF,

；.E,F,G,H四点共面。.....................................6分

又H为AB中点，，EH〃PB。.....................................7分

又EHu面EFG,平面EFG,

.*.PB//ffiEFGo.....................................9分

(3)假设在BC上存在一点M,使得点D到平面PAM的距离为2,则以APAM为底D为

顶点的三棱锥的高为2,连结AM,则人乂=，4?2+3知2=@+创〃,

2

由(2)知PA_LAMS△PAM='PA・A例='x2,22+8"=V4+5M

22

I1iQ____________________

DPAM

**•V-二~•SAPAM•2=—•+BM-•2=-J4+BM-........11分

,••S„=(AO・A8=gx4x2=4

1IQ

p

==§..............12分

；VD-PAM=Vp_AM£,

-yj4+BM2=号解得：BM=2y/3

33

c

2框<4

...在BC上存在一点M,当BM=273使得点D到平面PAM的距离为2。........14分

18.(本小题满分13分)如图1,在正三角形ABC中，AB=3,E、F、P分别是AB、AC、

BC边上的点，AE=CF=CP=lo将AAFE沿EF折起到AAiEb的位置，使平面AEF与平面

BCFE垂直，连结AiB、AiP(如图2)。

(第18题图)

(1)求证：PF//平面AiEB；

(2)求证：平面8cFEJ•平面AFB；

(3)求四棱锥Ai—BPFE的体积。

CFPC

【答案】(1)证明：在正三角形ABC中：PC=FC，AF=BP；.——=——PF//BE

AFBP

又•••PF(z平面A|EB,BEu平面ARB；.PF〃平面A】EB...............4分

(2),/AE=CF=1AF=2EF=Jl+4-2xlx2xcos60"=V3

-：EF2=AE2+AF2EF±AB即所，为£

又平面&EF±平面8PFE,且平面AEFc平面BPFE=EF

.•・AEJ•平面BP/西•••AEu平面AE8二平面BCFEl平面AiEB............9分

（3）由（2）知平面3PFE且:.SBPF£=gx（l+2）xJ5=g6

：•VA-BPFE=；X'|百xl=V.........................13分

18.（本小题满分14分）

如图5,己知四棱柱ABC。-Age?的俯视图是边长为3的正方形，侧视图是长为3

宽为8的矩形.

⑴求该四棱柱的体积；

⑵取的中点E,证明：面BCE_1_面A1.

【答案】⑴依题意，四棱柱的底面是矩形，侧面与底面垂直，过片作底面垂线的

垂足是AB的中点，四棱柱的体积V=SABC&X。……2分，=ABxADxh……3分，

=2x3xV3.......5分，=6-\/3........6分

⑵连接C2,依题意AC。。］是正三角形……8分，所以……9分，

又4），面。。。6……10分，。七＜=面。。。6,所以AO1CE……11分,

因为所以CE1面A。3A……12分，

因为CEu面BCE,面BCEJ.面A。2A14分.

18.（本小题满分14分）

如图所示的长方体ABC。—44GA中，底面A8CD是边长为2的正方形，。为AC

与8。的交点，BB、=航,M是线段BQ1的中点.

(1)求证：3M//平面。AC；

(2)求三棱锥。的体积.

：。、M分别是3。、BQ1的中点，8。1。乃是矩形,

...四边形。。8M是平行四边形，

AD.O//BM.-------2分

•.•。0u平面QAC,8Mz平面〃AC,

BM//平面AAC.-----------------6分

(2)解法1连结。片，；正方形A3CD的边长为2,

BB\=C.,：.B\D、=2®,OB{=2,0,0=2,则+

:.OB]1D,O......................................................................-8分

又：在长方体ABC。-44GA中，AC1BD,AC1D,D,且3。RD=D,

：.AC_L平面BDD[B],又DQu平面BDD^,

.•.AC，。。，又ACOB1=0,

。0L平面ABC，即D0为三棱锥A—ABC的高.------1°分

,/5A4fir=1x272x2=272,D、0=2

4J/1O|V2।2

VSDX2X2分

■-LD^l-/A1£BJ|VC=3--ZMViDB]VC-JP^3-^^3-^-------------------------------14

解法2：三棱锥D,-AB,C是长方体ABCD一人用弓"割去三棱锥D,-DAC、三棱锥

B1—BAC、三棱锥4一4月。1、三棱锥C—。蜴4后所得，而三棱锥2—D4C、

BAC、A-A,BtD,.C—C4。是等底等高，故其体积相等.

%-AB,=匕tBco-ABcq_45_BAC=2x2x2A/2-4x—x—x2x2x2A/2=-y—

18.（本小题满分14分）

已知四棱锥P-ABCD的底面A6co是边长为4的正方形，

PD±平面ABC。,PD=6,E,F分别为PB,A3中点。

⑴证明：8。，平面?。。；

（2）求三棱锥P-DEF的体积。

【答案】18.解：（1）「。，平面48。。,3。0：平面48。。.・.。。，3。........2分

又底面A8CO是正方形，故8CJ.C。.........4分

PDDC相交........5分

故8CJ.平面POC.......6分

（2）E为中点，故P,8两点到平面。EF的距离相等.....8分

故Vp_DEF=VB-DEF=^E-BDF........“分

设5。中点E',则七£：'=,「。=3且£：白〃尸。，又P£>J_平面A6CO

2

故EE'_L平面A8CO,又"BDF=gx4x2=4

故Vp-DEF=VE-BDF=1x4x3=4.....14分

如图6,在四面体PABC中，PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分别是PA,AC、CB、BP的中点.

(1)求证：D、E、F、G四点共面；

(2)求证：PC1AB；

(3)若△ABC和PAB都是等腰直角三角形，且AB=2,PC=桓,求四面体PABC的体积.

【答案】证明与求解(1)依题意DG//AB……1分，EF〃AB…2分，

所以DG〃EF……3分,DG、EF共面,从而D、E、F、G四点共面……4分。

(2)取AB中点为0,连接P0、C0……5分因为PA=PB,CA=CB,所以PO_LAB,C01AB

7分，

因为P0CC0=D,所以AB_L面POC...8分

PCu面POC,所以ABJ_PC...9分

(3)因为AABC和PAB是等腰直角三角形，所以PO=CO=gAB=1…10分，

因为PC=0,Op2+oc2=pc2,所以0p，()c……11分，

又PO_LAB,且ABA0C=0,所以P0,面ABC...12分

4xPOx5-4xlx2xlxrl……M分(公式।分’其他㈤

18.(本题满分14分)

如图所示，圆柱的高为2,底面半径为J7,AE、DF是圆柱的两条母线，过AO作圆柱的截

面交下底面于3C.

(1)求证：BCHEF-,

(2)若四边形ABCD是正方形，求证BC_LBE；

(3)在(2)的条件下，求四棱锥A-8CE的体积.

【答案】(1)证明：在圆柱中：

上底面〃下底面，

且上底面C截面ABCD=A£>,下底面Cl截面ABCD=3C

BC//AD........................................................2分

又AE、DF是圆柱的两条母线，,AEd)产

ADFE是平行四边形，所以又3C〃AO

Z.BC//EF......................................................5分

（2）AE是圆柱的母线，

4£_1下底面,又BCu下底面，，BEJ.5C.......................7分

又截面ABCD是正方形，所以又ABAEA

面A8E,又BEu面A8E,二BCLBE......................9分

（3）因为母线AE垂直于底面，所以AE是三棱锥A—BCE的高................1。分,

E0就是四棱锥E—A3C。的高................10分

设正方形ABCD的边长为x,贝ijAB=EF=x,BE=AB2-AE2=g-4

又BC//EF,且BCLBE,，EFJ_BE,「.BF为直径，即BF=2J7

在Rf8所中，BF2=BE2+EF2

即（277）2=/+无2-4n%=4

SABCD=4x4=16）................................................12分

AEBE2x"2-4

AB4~

：.V=ixV3X16^...................

CE>~ABCD^-3OES/AiBDCC-tDx3314分

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,且PA=AD,点F是棱PD

的中点，点E在棱CD上移动。

（1）当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系,并说明理由;

（2）求证：PE1AF.

【答案】（1）当点E为CD的中点时，EF〃平面PAC（2分）

•.•点E、F分别是CD、PD的中点.\EF/7PC（4分）

•.•PCU平面PAC,EFC平面PAC，EF〃平面PAC（6分）

（2）：PA_L平面ABCD,CDU平面ABCDACD±PA

又：ABCD是矩形ACD±AD

•?PAnAD=A；.CD_L平面PAD

；AFU平面PAD.\CD±AF（9分）

；PA=AD,点F是棱PD的中点APDIAF（12分）

又⑶口必口二口；.AF_L平面PDC（13分）

：PEU平面PDCAPE1AF（14分）

6.在空间，下列命题正确的是（）

A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面

B.若直线m与平面Q内的一条直线平行，则m//a

C.若平面虹分，且an/?=/，则过a内一点p与/垂直的直线垂直于平面£

D.若直线a//b,且直线/J_a,则/工人

【答案】D

6.已知直线/J_平面a,直线mu平面尸，给出下列四个命题：①。〃£=/_Lm

②a工pnlHm；③/〃根=a_L/?；®lLm^a///3.其中正确的命题有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

12.一个正方体的全面积为。2,它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为

2

______________:［答案］M

2

17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥尸-RBCO中，底面ABCD是正方形，侧棱即，底

面ABCD,F少=EC,E是PC的中点，作EF1产B交PB于点F；

（I）证明以“平面EDB；（II）证明PB_L平面EFD；

【答案】（1）证明：连结AC,AC交BD于0。连结E0。

\,底面ABCD是正方形，点0是AC的中点

在ABC中，E0是中位线，，以“或\

而£0U平面EDB且产金仁平面EDB,

所以，为“平面EDB。

（1D证明：：RD_L底在ABCD且QCU底面ABCD,

J.PD1.DC..,.DELPC

①同样由尸。，底面ABCD,得PD1BC.

•.•底面ABCD是正方形，有QC13C,：8C1平面PDC

而㈡/u平面PDC,•。匠

②由①和②推得DE，平面PBC

而FHu平面PBC,「.OEJ•产§

又防1尸8且加1口酹=£,所以产81平面EFD

18.(本题满分14分)

如图(1)在等腰AA8C中，。、E、尸分别是A3、AC,3c边的中点，现将AACQ沿CO

翻折，使得平面AC。_L平面8co.(如图(2))

(1)求证：AB〃平面OEF；

(2)求证：BD1AC；

(3)设三棱锥A-BCD的体积为K、多面体ABFED的体积为％,求匕：匕的值.

【答案】(I)证明：如图：在△ABC中,由E、尸分别是AC、8c中点，得EF，AB,

又AB(Z平面。EF,EFu平面QEF,〃平面OEF........................4分

(2)•.•平面AC。，平面BCD于CD

AD±CD,且AOu平面ACQ

.•.4D_L平面BCD,又BDu平面BCD,••