高三数学一轮复习 7-2空间几何体的表面积和体积随堂训练 理 苏教版

第2课时空间几何体的表面积和体积一、填空题1．一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，这个长方体的对角线是________．解析：设长方体的长、宽、高为a、b、c，则ab＝eq\r(2)，bc＝eq\r(3)，ac＝eq\r(6)，解得：a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)∴长方体的对角线长为：l＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(2＋1＋3)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)2．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πRl＋πR2＝3π,2πR＝π·l))，解得：R＝1，∴2R＝2.答案：23．(·江苏通州市高三素质检测)已知三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝AC＝2，则三棱锥S—ABC体积的最大值为________．答案：14．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积之比是________．解析：设球的半径为r，圆锥底面半径为R，圆锥侧棱长为l，∵eq\f(r,R)＝eq\f(2r,l)，∴l＝2R，∵eq\f(r,R)＝eq\f(l－R,3r)，∴R2＝3r2，∴eq\f(S锥侧,S球)＝eq\f(πRl,4πr2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)5．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的体积为________．解析：连OA、OF，则△OAF为等边三角形，∴S△OAF＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，∴SABCDEF＝6eq\r(3)，∴VP－ABCDEF＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×6eq\r(3)×2＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)6．(·上海)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是________．解析：如下图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)πR2·h＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8π,3).答案：eq\f(8π,3)7．(南京市高三期末调研测试)已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．解析：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2eq\r(2)，所求体积V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3).答案：eq\f(2\r(2)π,3)二、解答题8．已知圆锥的母线长为10cm，高为5cm.(1)求过顶点作圆锥的截面中，最大截面的面积；(2)这个截面是轴截面吗？为什么？解：(1)如右图，截面SAB为轴截面．在Rt△SAO中sin∠SAO＝eq\f(SO,SA)＝eq\f(1,2)，∴∠SAO＝30°，∴∠ASB＝120°.作截面SBC，使∠BSC＝90°，则S△BSC最大．∴S△BSC＝eq\f(1,2)·10·10＝50(cm2)．(2)∵S△ASB＝eq\f(1,2)·10·10·sin120°＝eq\f(1,2)·10·10·eq\f(\r(3),2)＝25eq\r(3).∴S△ASB<S△BSC，∴面积最大的截面不是轴截面．9．如图，在四面体P—ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只蚂蚁从A点出发沿着四面体的表面绕一周，再回到A点，问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短，最短路程是多少？解：如右图，将四面体沿PA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，连接AA′分别交PB，PC于E，F两点，则当蚂蚁沿着A→E→F→A′路径爬行时，路程最短．在△APA′中，∠APA′＝90°，PA＝PA′＝2，∴AA′＝2eq\r(2)，即最短路程AA′的长为2eq\r(2).10．棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积与体积．解：以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体，则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球．由图知正方体的棱长为eq\f(\r(2),2)a，正方体的对角线长为eq\f(\r(6),2)a，设正四面体的外接球的半径为R，则2R＝eq\f(\r(6),2)a，∴R＝eq\f(\r(6),4)a，于是球的表面积S＝4π·(eq\f(\r(6),4)a)2＝eq\f(3,2)πa2，球的体积V＝eq\f(4,3)π(eq\f(\r(6),4)a)3＝eq\f(\r(6),8)πa3.1．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．解析：如右图，分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结 DG、CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).答案：eq\f(\r(2),3)2．将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积和体积分别为________、________.解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则有eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)·eq\