重庆市2024届高三下学期高考信息领航预测卷数学试题（解析版）（二）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市2024届高三下学期高考信息领航预测卷数学试题（二）一､单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，解得，则，，所以，则.故选：B.2.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗设，，则，因为，所以，则，解得，所以复数的虚部为.故选：C3.2022年4月26日下午，神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（）A10秒 B.13秒 C.15秒 D.19秒〖答案〗D〖解析〗设每秒钟通过的路程构成数列，则是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有，解得．故选：D.4.已知向量，.若，则可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴，又∵，∴或，对选项A，若，，解得，此时不成立；对选项B，若，，解得，此时不成立；对选项C，若，，解得，此时成立；对选项D，若，，且，此时不成立.故选：C5.在中，，，为垂足，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如下图所示：不妨设，在中，，，则为等腰直角三角形，所以，且，又因为，则，在中，，则，所以，，，因此，.故选：A.6.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意得所拨数字共有种可能．要使所拨数字大于，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于，有种；若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有种，则所拨数字大于的概率为，故选：C．7.三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，．若球M的表面积为，，则三棱锥的体积的最大值为（）A.24 B. C.27 D.〖答案〗A〖解析〗因为三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，所以，又，，故面，又，故面，又面，故.球M的表面积为，设球的半径为，则，解得，即，所以，，三棱锥的体积为，要使体积最大，即最大，又，当且仅当时取等，故体积的最大值为.故选：A.8.已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.-1〖答案〗A〖解析〗因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，又函数为奇函数，所以，所以函数图象关于对称，所以，所以，即，所以，则函数的一个周期为4，令，则，所以，令，，又，所以，，所以.故选：A.二､多项选择题9.下列命题中正确的是（）A.若样本数据的样本方差为3，则数据的方差为7B.经验回归方程为时，变量和负相关C.对于随机事件与，若，则事件与相互独立D.若，则取最大值时E.残差和越小，模型的拟合效果越好〖答案〗BC〖解析〗对于A，已知样本数据的样本方差为3，则数据的方差为，不正确；对于B，因为经验回归方程为的斜率小于，所以变量x和y负相关，正确；对于C，若，根据条件概率公式有，变形可得，则事件与相互独立，正确；对于D，因为随机变量，所以.所以要使最大，只需最大，由二项式系数的性质得：当或4时最大，不正确；对于E，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，而残差和小，残差平方和不一定小，不正确.故选：BC10.设点为抛物线的焦点，过点斜率为的直线与拋物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.的面积为（为坐标原点）E.的面积为（为坐标原点）〖答案〗BC〖解析〗如图：设，因为，所以，所以，又，所以，即，解得，故选项A不正确；从而，，所以，故故选项C正确；所以直线的方程为，又抛物线的准线为，所以，则，所以，故选项B正确；的面积为，故选项DE不正确；故选：BC11.已知，且，则（）A.的取值范围是B.的取值范围是C.的最小值是3D.的最小值是E.〖答案〗BD〖解析〗对于A项，，由可得，因，故得，则，当且仅当时等号成立，错误；对于B项，由可得，因，故得：，当且仅当时等号成立，又，所以的取值范围是，正确；对于C和E项，由得，所以，当且仅当即时，等号成立，所以，故C项错误，E正确；对于D项，由得，所以，当且仅当即时，等号成立，正确.故选：BD.三､填空题12.若的展开式中的系数为9，则a的值为______．〖答案〗1〖解析〗，且展开式的通项，当时，，此时的系数为.当时，，此时的系数为.展开式中的系数为，．故〖答案〗为：113.在某次测验中，测验结果服从正态分布．若，则______．〖答案〗0.6〖解析〗因为服从正态分布，所以，因为故〖答案〗为：0.6.14.已知椭圆C：，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________．〖答案〗〖解析〗如图，由条件得点为线段中点，设点坐标为，得，由得坐标为，将坐标分别代入中，得解得则坐标分别为､，故直线方程为，即，所以直线的方程为．故〖答案〗为：四､解答题15.已知数列是各项均为正数的等比数列，设.（1）证明：数列是等差数列；（2）设数列的前5项和为35，，求数列的通项公式.（1）证明：设的公比为，∴故，所以，故是以为公差的等差数列；（2）解：∵数列的前5项和为35，∴，又，故的公差2，故，即，即，故且，从而，或，所以或.16.如图1是由边长为4的正方形ABCD与腰长及下底长均为2的等腰梯形ABEF组成的平面图形，将此图形沿AB边折叠，使得平面平面ABEF，如图2所示．（1）在图2中，连接BF，DF，求证：平面ADF；（2）求图2中平面ADF与平面BDE夹角的余弦值．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴．又平面平面ABEF，平面平面，∴平面ABEF．又平面ABEF，∴．在等腰梯形ABEF中，，，易得，，．又，AD，平面ADF，∴平面ADF．（2）解：以F为坐标原点，FB，FA所在直线分别为x，y轴，过点F且垂直于平面ABEF的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，∴，．设平面BDE的法向量为，则令，得，，故．易知平面ADF的一个法向量为，所以，故平面ADF与平面BDE的夹角的余弦值为．17.某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果.（1）现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望；（2）以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值.解：（1）由题意，所以，所以这100个水果中礼品果的个数为，采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，其中礼品果有个，故随机变量的所有可能取值为，则，，.所以的分布列为012期望（2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为，则，所以，要使最大，则且，解得，因，所以，所以当最大时，或.18.已知椭圆的离心率为，且过点，点O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上的动点M，P，Q满足直线的斜率互为相反数，且点M不在坐标轴上，设直线的斜率分别为，求的值.解：（1）由题，联立解得，所以椭圆方程为.（2）设，直线，联立椭圆方程得，，∴，，同理可得，∴，∴.19.已知函数和有相同的最大值.（1）求实数；（2）设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.（1）解：，令.有最大值，且在上单调递增上单调递减，.，当时，单调递增；当时，单调递减，.（2）证明：由，由，令,当时，，当时，，所以在上单调递增；上单调递减，至多两个零点，令，当时，，当时，，所以在上单调递增；上单调递减；至多两个零点.令，当时，，所以；当时，由，