2017届中考数学考点研究复习检测49

第四章三角形第19课时等腰三角形1.(2016赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是()A.30°，60°B.45°，45°C.45°，90°D.20°，70°2.(2016枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A.15°B.17.5°C.20°D.22.5第2题图第3题图3.(2015陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A.2个B.3个C.4个D.5个4.(2016杭州)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则()A.m2＋2mn＋n2＝0B.m2－2mn＋n2＝0C.m2＋2mn－n2＝0D.m2－2mn－n2＝05.(2016安顺)已知实数x、y满足|x－4|＋eq\r(y－8)＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对6.(2016邵阳)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是()A.AC＞BCB.AC＝BCC.∠A＞∠ABCD.∠A＝∠ABC第6题图7.(2017原创)如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝()A.30°B.20°C.25°D.15°第7题图第8题图8.(2016漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有()A.5个B.4个C.3个D.2个9.(2016武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()A.5B.6C.7D.810.(2016河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上第10题图第12题图11.(2016内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2)D.不能确定12.(2016遵义)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝________度．13.(2016福州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．第13题图

答案1.B【解析】∵三角形的内角和为180°，∴90°的角为等腰三角形的顶角，∴两底角的和为180°－90°＝90°，∴两个底角分别为45°，45°.2.A【解析】∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)×(180°－30°)＝75°，∴∠ACE＝180°－75°＝105°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC＝eq\f(1,2)×75°＝37.5°，∠DCE＝eq\f(1,2)×105°＝52.5°，∴∠D＝∠DCE－∠DBC＝52.5°－37.5°＝15°.3.D【解析】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形．在△BCD中，∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形．∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形，∴∠BED＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形，∴图中的等腰三角形有5个．4.C【解析】根据题意，画图如解图：则AC＝m，BC＝n，AC＝CD＝m，AD＝BD＝n－m，根据勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即m2＋m2＝(n－m)2，2m2＝n2＋m2－2mn，整理得：m2＋2mn－n2＝0.第4题解图5.B【解析】∵|x－4|＋eq\r(y－8)＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.又∵以4，8为等腰三角形的边长，∴分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.6.A【解析】在△DBC中，BD＋DC＞BC，∵AD＝BD，∴AD＋DC＞BC，即AC＞BC，故A正确，B错误；∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵∠ABC＞∠ABD，∴∠ABC＞∠A，故C，D错误．7.D【解析】∵AD是等边三角形ABC的中线，∴∠CAD＝30°，AD⊥BC，∵AE＝AD，∴△ADE是等腰三角形，∴∠ADE＝∠AED＝eq\f(1,2)(180°－∠EAD)＝75°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.8.C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝4，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．第8题解图9.A【解析】分三种情况讨论，①当AC＝AB时，满足条件的C点只有(0，0)点一个；②当BC＝BA时，满足条件的C点有两个，分别为：(4＋2eq\r(2)，0)和(4－2eq\r(2)，0)；③当CA＝CB时，满足条件的C点有两个，分别为：(2，0)和(0，－2)．综上，满足条件的C点共有5个，故选A.10.D【解析】如解图，当OM1＝2，点N1与点O重合时，△PM1N1是等边三角形；当ON2＝2，点M2与点O重合时，△PM2N2是等边三角形；当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PM3N3是等边三角形；当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等边三角形，∴此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.第10题解图11.B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H.则BH＝eq\f(3,2)，AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\f(3\r(3),2).连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC.∴eq\f(1,2)AB·PD＋eq\f(1,2)BC·PE＋eq\f(1,2)CA·PF＝eq\f(1,2)BC·AH.∴PD＋PE＋PF＝AH＝eq\f(3\r(3),2).第11题解图12.35【解析】∵AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠A＝∠C＝35°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝35°.13.解：(1)AD2＝AC·CD.∵AD＝BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴AD2＝(eq\f(\r(5)－1,2))2＝eq\f(3－\r(5),2).∵AC＝1，∴CD＝AC－AD＝1－eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(3－\r(5),2)，∴AD2＝AC·CD.(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,BC)，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AC,BC)，又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.沁园春·雪<毛泽东>北国