2025版高考数学一轮总复习专题检测5.2平面向量的数量积及其应用

.2平面对量的数量积及其应用一、选择题1.(2024届北京十二中10月月考,2)已知a=(4,2),b=(x,-1),若a∥b,则x=()A.-2B.-12C.12答案A因为a∥b,所以4×(-1)=2x,解得x=-2.故选A.2.(2024届北大附属试验学校期中,2)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),若a∥b,则m的值为()A.4B.1C.-4D.-11答案C因为a∥b,所以m×(-1)=2×2,解得m=-4.故选C.3.(2024届人大附中朝阳学校10月月考,5)已知a=(-3,-1),b=(1,3),那么a,b的夹角θ=()A.30°B.60°C.120°D.150°答案D∵cosθ=a·b|a|·|4.(2024届云南质检(一),3)在Rt△ABC中,AC⊥BC,D点是AB边的中点,BC=8,CA=12,则AB·CD的值为()A.-40B.52C.92D.-18答案A在△ABC中,CD=12(CA+CB),AB=CB-CA,所以AB·CD=12(CB2-CA2)=12×(82-125.(2024届吉林名校10月联考,5)已知3个非零平面对量a,b,c,下列选项中正确的是()A.若λa+μb=0,则λ=μ=0B.若a·b=a·c,则b=cC.若(a·b)c=(a·c)b,则b=cD.a,b,c两两之间的夹角可以都是钝角答案D对于选项A,当a与b共线时,也可以满意已知条件,所以A错;对于选项B,a可能为0,所以B错;对于选项C,向量数量积运算不满意结合律,所以C错;对于选项D,a,b,c两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120°,所以D正确,故选D.6.(2024届福建南平10月联考,6)已知单位向量e1,e2的夹角为2π3,则|e1-λe2|的最小值为(A.22B.12C.32答案C∵e1·e2=|e1||e2|cos2π3=-12,∴|e1-λe2|2=e12+λ2e22-2λe1·e2=λ2+λ+1=则|e1-λe2|≥32,故|e1-λe2|的最小值为37.(2024届贵阳摸底,6)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,若点D,E分别是斜边BC的三等分点,则AD·AE的值为()A.2B.5C.4D.5答案C∵∠BAC=90°,AB=AC=3,∴以A为坐标原点,AB、AC所在直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(3,0),C(0,3).因为D,E分别是BC的三等分点,所以可取E(2,1),D(1,2),则AD=(1,2),AE=(2,1),所以AD·AE=1×2+2×1=4.故选C.8.(2024届江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知△ABC的外心为O,2AO=AB+AC,|AO|=|AB|=2,则AO·AC的值是()A.3B.32C.23答案D由2AO=AB+AC,得AO-AB=AC-AO,即BO=OC,则O为BC的中点.∵O为△ABC的外心,∴|OA|=|OB|=|OC|,∴△ABC为直角三角形,且AB⊥AC,如图所示.又∵|AO|=|AB|=2=|OB|,∴△OAB为等边三角形,∴∠OAB=60°,∠OAC=30°,∵在Rt△ABC中,|AC|=|BC|2-|AB|2=23,∴AO·AC=|AO|·|AC|·cos∠OAC=2×29.(2024皖北协作体月考,6)在平面直角坐标系中,i,j分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量,平面内三点A,B,C满意AB=4i+3j,AC=ki-12j,当A,B,C三点构成直角三角形时,实数k的可能值的个数为(A.1B.2C.3D.4答案D由题意知i·j=0,|i|=|j|=1,BC=BA+AC=-4i-3j+ki-12j=(k-4)i-72(1)若角A为直角,则AB·AC=(4i+3j)·ki-12j=4k-32(2)若角B为直角,则AB·BC=(4i+3j)·(k-4)i-72j(3)若角C为直角,则AC·BC=ki-12j·(k-4)i-72j综上可知,k的值为38或538或12或72,共4个10.(2024届昆明10月调研,8)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且OA+3OB+2OC=0,则OC·AB的值为(A.1-32B.3-12C.-答案A∵△ABC的外接圆半径为1,∴|OA|=|OB|=|OC|=1.又OA+3OB+2OC=0,∴3OB+2OC=-OA,两边平方得3OB2+4OC2+43OB·OC=OA2,即3+4+43OB·OC=1,∴OB·OC=-32.同理可得OC·OA=-12,所以OC·AB=OC·(OB-OA)=OC·OB-OC·OA=-11.(2024届北京四中期中,8)已知平面对量a,b满意|a-2b|=19,|a|=3,若cos<a,b>=14,则|b|=(A.1B.2C.54D.答案B∵|a-2b|=19,|a|=3,cos<a,b>=14∴|a-2b|=(a-2=|a|2+4|b|2-4|a|·|b|cos<a,b>=19,∴4|b|2-3|b12.(2024届河南三门峡11月模拟,10)已知菱形ABCD的边长为4,点M是线段CD的中点,BN=2NC,则AN·(BM-BN)=()A.-409B.409C.-209答案A由已知得AN=AB+BN=AB+23AD,BM-BN=NM=CM-CN=-12AB+13AD,则AN·(BM-BN)=23AD+AB·13AD-12AB=13×二、填空题13.(2024届江西五校11月联考,13)已知向量a=(1,1),b=(3,-4),则向量a在向量b方向上的投影为.

答案-1解析向量a在b方向上的投影为|a|cos<a,b>=a·b|b|14.(2024届湖北部分重点中学开学联考,14)已知向量a,b满意|a|=2,|b|=2,且(2b-a)⊥a,则cos<a,b>=.

答案2解析由已知得(2b-a)·a=0,即2a·b=a2,即2×2×2cos<a,b>=4,则cos<a,b>=2215.(2024届河北邢台“五岳联盟”10月联考,13)设向量a,b均为单位向量,且a⊥b,则(a+2b)·(3a-5b)=.

答案-7解析∵a⊥b,a,b均为单位向量,∴a·b=0,|a|=|b|=1,∴(a+2b)·(3a-5b)=3a2+a·b-10b2=3-10=-7.16.(2024届湖南三湘名校、五市十校联考,14)已知点P(-2,0),AB是圆x2+y2=1的直径,则PA·PB=.

答案3解析设A(x,y),则B(-x,-y),且x2+y2=1.∵PA=(2+x,y),PB=(2-x,-y),∴PA·PB=(2+x)(2-x)-y2=4-(x2+y2)=3.17.(2024届清华附中10月月考,13)已知平面对量a,b满意a=(1,3),|b|=1,则|a-b|的取值范围是.

答案[10-1,10+1]解析由a=(1,3)得|a|=10,|a-b|2=|a|2-2|a||b|cos<a,b>+|b|2=11-210·cos<a,b>,因为<a,b>∈[0,π],故11-210≤|a-b|≤11+210,即10-1≤|a-b|≤18.(2024海淀二模,14)已知点A(2,0),B(1,2),C(2,2),|AP|=|AB-AC|,O为坐标原点,则|AP|=.OP与OA夹角的取值范围是.

答案1;0,解析由题意得AB-AC=CB=(-1,0),故|AB-AC|=1,又|AP|=|AB-AC|,∴|AP|=1,即P点的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,故可设P(2+cosα,sinα),OP与OA的夹角为θ(0≤α<2π,0≤θ≤π),则OP=(2+cosα,