广西专版2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语过关检测新人教A版必修第一册

第一章过关检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=()A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}答案A解析(方法一)∵M∪N={1,2,3,4},∴∁U(M∪N)={5}.(方法二)∵∁UM={3,4,5},∁UN={1,2,5},∴∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={5}.2.集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=-x},则A∩B的子集的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由y即A∩B={(0,0),(-1,1)},有2个元素.所以A∩B的子集有4个.3.命题“∀x>1,x>2”的否定是()A.∃x>1,x<2 B.∃x>1,x≤2C.∃x≤1,x≤2 D.∀x>1,x≤2答案B4.已知全集U=R,则能正确表示集合U,M={-7,0,3},N={x|x2+5x=0}之间关系的Venn图是()答案A解析由已知得N={-5,0},所以M∩N={0}.故选A.5.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的 ()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析当a=3时,A={1,3},满意A⊆B;当A⊆B时,a=2或3,故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件.6.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.5 B.6 C.8 D.9答案A解析当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.依据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.7.已知全集为R,若集合P={x|x<1},Q={x|2≤x≤7},则()A.P⊆Q B.∁RQ⊆P C.∁RP⊆Q D.Q⊆∁RP答案D解析因为P={x|x<1},所以∁RP={x|x≥1}.又Q={x|2≤x≤7},所以∁RQ={x|x<2,或x>7}.结合四个选项,可知只有Q⊆∁RP正确.故选D.8.“集合A={x|x2+6x+m=0,m∈R}为空集”是“∃x>0,x-m=0为真命题”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析因为集合A={x|x2+6x+m=0,m∈R}是空集,所以关于x的方程x2+6x+m=0无实根,所以Δ=36-4m<0,解得m>9.又因为∃x>0,x-m=0为真命题,所以m>0.因为{m|m>9}⫋{m|m>0},所以“m>9”是“m>0”的充分不必要条件.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列命题中是全称量词命题,且是真命题的有()A.∀x∈R,x2+2>0B.∀x∈N,x4≥1C.二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点D.∃a∈N,使得方程ax+1=0无实数根答案AC解析视察选项可知,A,B,C均为全称量词命题,D为存在量词命题,解除D选项.对A,由于∀x∈R,都有x2≥0,因而x2+2>0成立,故为真命题;对B,当x=0时,x4=0,所以x4≥1不成立,故为假命题;对C,因为方程x2-ax-1=0对应的判别式Δ=a2+4>0恒成立,所以二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点,故为真命题.故选AC.10.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},下列集合运算正确的是()A.∁UA={x|x<1,或3<x<4,或x>6}B.∁UB={x|x<2,或x≥5}C.A∩(∁UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6}D.(∁UA)∪B={x|x<1,或2<x<5,或x>6}答案BC解析因为集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},所以∁UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6},故A错误;因为B={x|2≤x<5},所以∁UB={x|x<2,或x≥5},故B正确;由∁UB={x|x<2,或x≥5}可得,A∩(∁UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6},故C正确;由∁UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6}可得,(∁UA)∪B={x|x<1,或2≤x<5,或x≥6},故D错误.11.下列说法正确的是()A.ab=bcB.方程x2+2x+m=0有实根的充要条件是m≤1C.a2+b2=2ab的充要条件是a=bD.a+1a=-2的充要条件是a=-答案BCD解析ab=bc⇒b2=ac,反之,如a=b=0,则b2方程x2+2x+m=0有实根的充要条件是Δ=4-4m≥0,即m≤1,选项B正确;a2+b2=2ab⇔a2+b2-2ab=0⇔(a-b)2=0⇔a=b,选项C正确;a+1a=-2⇔a2+2a+1=0⇔(a+1)2=0⇔a=-1,选项D正确12.下列命题为真命题的是()A.∃a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0B.∀a∈R,∃x∈R,使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D.0<x<1是使x>答案AD解析A中,当a=2,b=-1时,不等式成立,所以A中命题为真命题;B中,当a=0时,0·x=0<2,不等式不成立,所以B中命题为假命题;C中,当a=0,b≠0时,a2+b2≠0成立,此时ab=0,推不出ab≠0,所以C中命题为假命题;D中,0<x<1是使x>0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“梯形是轴对称图形”的否定是.

答案存在一个梯形,它不是轴对称图形14.已知全集U=R,集合A={x||x|<1},B=xx>-12,则A∪B=,A∩答案{x|x>-1}x15.已知集合A={2+a2,a},B={0,1,3},且A∩B=A,则实数a=.

答案1解析因为A∩B=A,所以A⊆B.因为a2+2≥2,所以a2+2=3,得a=-1或a=1.当a=-1时,A={-1,3},不满意A⊆B;当a=1时,A={1,3},满意A⊆B.所以所求a的值为1.16.若“函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交”是“a>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.

答案m>3解析因为函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交,所以a-3>0,即a>3.由已知得{a|a>m,m∈R}⫋{a|a>3},所以m的取值范围是m>3.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)写出下列命题的否定,并推断其真假:(1)存在实数a,使二次函数y=2x2+a的图象关于y轴对称;(2)任何一个四边形的对边都平行.解(1)该命题的否定是:对随意实数a,二次函数y=2x2+a的图象都不关于y轴对称.假命题.(2)该命题的否定是:存在一个四边形,它的对边不都平行.真命题.18.(12分)已知命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.(1)求实数a的取值集合A;(2)设集合B={x|6m-4<2x-4<2m},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数m的取值集合.解(1)命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题,即方程ax2+2x-1=0无实根.若a=0,则x=12若a≠0,则Δ=4+4a<0,解得a<-1.故实数a的取值集合A={a|a<-1}.(2)集合B={x|3m<x<m+2}.“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,等价于集合B是集合A的真子集.若B=⌀,则3m≥m+2,即m≥1,此时集合B是集合A的真子集;若B≠⌀,则m+2>3m,解得m<1,集合B是集合A的真子集,只要m+2≤-1,即m≤-3.综上可知,实数m的取值集合是{m|m≤-3或m≥1}.19.(12分)请在“①充分不必要,②必要不充分,③充要”这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+m,m>0},若“x∈A”是“x∈B”成立的条件,推断实数m是否存在(注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分).

解若选择条件①,即“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,于是有1-m≤又m>0,所以实数m的取值范围是{m|m≥5}.若选择条件②,即“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,于是有1-m≥-2所以实数m的取值范围是{m|0<m≤3}.若选择条件③,即“x∈A”是“x∈B”成立的充要条件,则集合A等于集合B,于是有1-m=20.(12分)设集合A={x|-1<x<4},B={x|-5<x<32},C={x|1-2a<x<2a,a∈R}(1)若C=⌀,求实数a的取值范围;(2)若C≠⌀,且C⊆(A∩B),求实数a的取值范围.解(1)因为C={x|1-2a<x<2a,a∈R}=⌀,所以1-2a≥2a,解得a≤14即实数a的取值范围是{aa≤1(2)因为C={x|1-2a<x<2a,a∈R}≠⌀,所以1-2a<2a,即a>14因为A={x|-1<x<4},B={x-5所以A∩B={x-1<因为C⊆(A∩B),且C≠⌀,所以1-2a≥-1,2a≤3221.(12分)求证:“方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根”的充要条件是“-13<m<0”证明(1)充分性:∵-13<m<∴方程x2-2x-3m=0的判别式Δ=4+12m>0,且-3m>0,∴方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性:若方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根x1,x2,则有Δ=4+12m>0,x1x2=-3m>0,解得-1322.(12分)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作A×B.例如,A={1,2},B={3,4},则有:A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.据此,试回答下列问题:(1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D;(2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B;(3)若集合A中有