2025届高考物理二轮专题复习与测试第一部分专题一力与运动第4讲万有引力与航天命题点二研究天体运动的两个基本关系式

命题点二探讨天体运动的两个基本关系式1．核心关系式．万有引力供应向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r.留意：M是中心天体质量，m是绕行天体质量，r是两球心间的距离．2．替换关系式．万有引力与重力的关系mg＝Geq\f(Mm,R2).即GM＝gR2.留意：当GM未知时，常用gR2替换．3．利用天体表面的重力加速度计算天体质量．已知天体表面的重力加速度g和天体半径R(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq\f(gR2,G).(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).4．利用卫星绕天体做匀速圆周运动计算天体质量．已知卫星运动周期T和轨道半径r(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，得中心天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)若已知中心天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).(3)当卫星绕天体表面运行时，轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．(2024·广东卷)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动．由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性改变，该周期与P的公转周期相同．已知Q的质量为M，引力常量为G.关于P的公转，下列说法正确的是()A．周期为2t1－t0B．半径为eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))C．角速度的大小为eq\f(π,t1－t0)D．加速度的大小为eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))解析：依据图(b)可知，Q的亮度改变的周期为：T＝t1－t0，则角速度的大小为：ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t1－t0).故A、C项错误；行星P受到的万有引力供应向心力，依据牛顿其次定律可得：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得：r＝eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))，故B项正确；行星P受到的万有引力供应向心力，依据牛顿其次定律可得：eq\f(GMm,r2)＝ma解得a＝eq\f(2π,t1－t0)eq\r(3,\f(2π,GM（t1－t0）))，故D项错误；故选B.答案：B牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满意F∝eq\f(Mm,r2).已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，依据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为()A．30πeq\r(\f(r,g))B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g))D．120πeq\r(\f(g,r))解析：设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球绕地球公转有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，联立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故选C.答案：C1.2024年5月15日7时18分，我国放射的“祝融号”火星车从火星上发回遥测信号确认，“天问一号”着陆巡察器胜利着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．火星探测器“天问一号”着陆前通过测试得到，围绕火星做匀速圆周运动的小天体的速度的平方v2与小天体到火星表面的距离x的关系如图所示，图线纵坐标截距为a.若将火星看作质量分布匀称、半径为R的球体，不考虑火星自转，则到火星表面距离为R、做匀速圆周运动的卫星的速度大小为()A.eq\f(\r(2a),2)B.eq\r(a)C.eq\r(2a)D.eq\f(\r(2a),4)解析：依据Geq\f(Mm,（R＋x）2)＝meq\f(v2,R＋x)，可得当x＝0时则v2＝a，即eq\f(GM,R)＝a，到火星表面距离为R、做匀速圆周运动的卫星eq\f(GMm,（2R）2)＝meq\f(v2,2R)，解得v＝eq\f(\r(2a),2).故选A.答案：A2．(2024·北京朝阳一模)科幻电影曾出现太空梯的场景．如图甲所示，设想在赤道上建立一个始终与地表垂直的太空梯，航天员可通过梯仓P缓慢地到达太空中某一位置，设该位置距地心的距离为r，地球半径为R0.图乙中曲线A为地球引力对航天员产生的加速度大小随r改变的图线；直线B为航天员的向心加速度大小随r改变的图线．下列说法正确的是()A．航天员在R处的速度等于地球的第一宇宙速度B．乙图中的r0小于地球同步卫星的轨道半径C．航天员在r0位置时处于完全失重状态D．在小于r0的范围内，航天员越接近r0的位置对梯仓的压力越大解析：地球的第一宇宙速度等于卫星在地球表面轨道绕地球做匀速圆周运动的线速度，则有eq\f(GMm,R2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),R).设航天员在R处的速度为v′1，在R处曲线A对应的加速度为a1A，直线B对应的向心加速度为a1B，则有a1A＝eq\f(veq\o\al(2,1),R)>a1B＝eq\f(v′eq\o\al(2,1),R).可知航天员在R处的速度小于地球的第一宇宙速度，故A项错误；设地球自转的周期为T0，同步卫星的轨道半径为r同，依据万有引力供应向心力可得eq\f(GMm′,req\o\al(2,同))＝m′eq\f(4π2,Teq\o\al(2,0))r同，由图可知r0位置直线B对应的向心加速度为aB＝eq\f(4π2,Teq\o\al(2,0))r0，对于曲线A，有eq\f(GMm,req\o\al(2,0))＝maA，又aA＝aB，可得eq\f(GMm,req\o\al(2,0))＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,0))r0，联立可得r同＝r0，可知航天员在r0位置时，只受地球万有引力作用，处于完全失重状态，故B项错误，C项正确；在小于