高考数学二轮复习资料06 平面向量教学案（学生版）

[2013考纲解读】

1.理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及

其意义;理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.

2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐

标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量数量积与向量投影的关系;

掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹

角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【知识网络构建】

慨念

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平

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几何计算【测庇】

应用

【重点知识整合】

1.平面向量的基本概念

2.共线向量定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数人使6=4•a.如果向量a

=（乂，yi）,。=（必，㈤，则a〃8的充要条件是小度=X2巾或者矛1%一矛2"=0,即用坐标表

示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等•当其中一个向量的坐标都不是零

时，这个充要条件也可以写为小=上，即对应坐标的比值相等.

Xiy\

3.平面向量基本定理

对于任意a,若以不共线的向量e“佥作为基底，则存在唯一的一组实数对八，P,使

a—4e>+〃ei.

4.向量的坐标运算

a=（E,yi）,b={x-i,yi）,贝！]a+6=（xi+xz,yi+yz）,a-b=（xi—x2,0一%）,4a

=（久天,

5.数量积

(1)已知a,b的夹角为如,卧=.问0,7C]),则它们的数量积为ae=|4Wc。的,其

中6cos8叫做向量，在a方向上的投影，向量的数壁积满足交换律、数乘结合律和分配律,

但不满足结合律，即a・g,c)=(a0.c；

(2)若a=(xi，yi).2>=伏，㈤,则城=*的+加2；

(3)两非零向量a,b的夹角公式为38=名=产+】产,

ab五奇位谡

(4)a:=a-a

(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.

【高频考点突破】

考点一向量的有关概念和运算

(1)零向量模的大小为0,方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单位向量为篙.

|a|

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).

例1、已知关于”的方程：OA•X+OB•2x+OC=0(xSR),其中点C为直线47上一点，

0是直线外一点，则下列结论正确的是()

A.点C在线段仍上

B.点C在线段的延长线上且点8为线段/C的中点

C.点C在线段46的反向延长线上且点4为线段优的中点

D.以上情况均有可能

【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点

(1)正确理解向量的基本概念；

(2)正确理解平面向量的基本运算律，a+b=b+a,a・b=b.・a,

Aa,b—4(a•6)与a(b•c)W(a,6)c；

(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中

一定要重视，如有遗漏，则会出现错误.

考点二平面向量的数量积

1.两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角

的余弦的乘积，

其符号由夹角的余弦值确定.

a•b

2.求非零向量a,。的夹角一般利用公式cos〈a,b)『先求出夹角的余弦值,

a•b

然后求夹角；向量a在向量6方向上的投影为寸.

1

6=-a

例2、设向量a,6满足「a|=|6|=l,a-

2J

A.mB.小

C.4D.A/7

【方法技巧】

(1)准确利用两向量的夹角公式cos《a,b>=£士及向量模的公式a=、石力.

(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：

①？匕=0,未必有a=0,或d=0；

®a-b<ab；

③a©c)与(a”b)c不一定相等.

考点三平面向量与三角函数的综合应用

通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题,

是高考中经常出现的题型.

例3.已知向量a=(cosa,sina),b=(cosJ3,sin£),c=(—1,0).

(1).求向量6+c的长度的最大值；

(2)设。=1，且a_L(方+c),求cos£的值.

【难点探究】

难点一平面向量的概念及线性运算

例1、(1)a,b是不共线的向量，若46=3a+8,4C=a+42b(小，2&R),则4B,

C三点共线的充要条件为()

A.4]=A2——1B.41=几2=1

九•

C.A2+I=OD.41几2—1=0

⑵设4,4,4,4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若入SR),

=〃必2(〃£R),且:+，=2,则称43,4调和分割4,4,已知点C(c,0),D(d,0)(c,相R)

调和分割点4（0,0）,6（1,0）,则下面说法.正确的是（）

A.C可能是线段47的中点

B.〃可能是线段的中点

C.a。可能同时在线段4?上

D.a〃不可能同时在线段的延长线上

【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定

理.平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这

个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a,b不共线，那么Ma+/.zb=ma+u2b的充要

条件是乙=4且二=/共线向量定理有一个直接的导出结论,即如果用=.*历+〕沅,则/,

B,C三点共线的充要条件是x+j=1.

【变式探究】（1）如图所示，在中，点。是回的中点，过点。的直线分别交直线/反

4c于不同的两点机N,若能=通/，~AC=nAN{m,n>0）,贝A十，的最小1:值为（）

mn

（2）设向量a,6满足|a|=24"=（2,1）,且a与8的方向相反,则a的坐标为—

难点二平面。向量的数量积

例2如图所示，。为如所在平面内一点，向量Ql=a,OB=b,且。在线段的垂

直平分线上，向量昨c.若|a|=3,㈤=2,则c・（a—6）的值为（）

5

A.5B.3C-2D，2

【点评】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里.

要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平

面向量数量积的运算法则，探究解题的思想.

【变式探究】(1)已知a与匕均为单位向量，其夹角为8,有下列四个命题:

Pi：a+b>0,奇匕

Pzz7C；

p\i〃一力>10860,5,,；

paa-b>l^G'pjt.

其中的真命题是()

A.pi，p，B.pi，p3

C.pi，PiD,而，必

(2)在△OWB中，设晶=a,OB=b,则。4边上的高等于.

难点三平面向量的共线与垂直的综合运用

22

例3已知椭圆当+£=1(a>6>0)的左、右焦点分别为K、九左顶点为力，若用川=2,

椭圆的离心率为e=].

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若尸是椭圆上的任意一点，求丽•亏的取值范围；

(3)已知直线J：与椭圆相交于不同的两点机N(均不是长轴的端点)，AH1MN,

垂足为〃且前=拓/•够'，求证：直线/恒过定点.

【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作

用.本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为施•就三0,从而达到使

用韦达定理建立直线中参数在，加的方程，确定4,0的关系，把双参数直线系方程化为单参

数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的.

4

【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为尸金心

右焦点以5,0),双曲线的实轴为44，尸为双曲线上一点(不同于4,A),直线4只A2P分

9

别与直线/：交于KAr两点.

5

(1)求双曲线的方程；

(2)求证：曲•旗为定值.

【历届高考真题】

[2012年高考试题】

1.[2012高考真题重庆理6】设x,y&R,向量。=(x,l)〃=(ly)c=(2-,且

a_Lcibllc,则Q+各

(A)V5(B)M(C)2亚(D)10

2.[2012高考真题浙江理5】设a,b是两个非零向量。

A.若a-b=a-b,则a_Lb

B.若a_Lb,则a-b=a・b

C若a-b=a-b,则存在实数3使得b=Za

D.若存在实数.使得b=Za,则a-b=a-b

3.12012高考真题四川理7】设a、8都是非零向量，下列四个条件中，使上-=上-成

⑷\b\

立的充分条件是()

A、a=-ballbC,a-2bD、a〃力且|a|=|)|

4.12012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a,6满足Ia+引=|a-引，则下面结论

正确的是

(A)a//b(B)aLb

(C)(0,1,3)(D)a+b=a—b

5.12012高考真题江西理7】在直角三角形ABC中，点。是斜边AB的中点，点P为

\PAf+\PBf

线段CO的中点，则J~~一=

|PCf

A.2B.4£.5D.10

6.12012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2,AC=3,万友=1贝lj£C=_.

汶忑B.V?C.20D.在

7.12012高考真题广东理3】若向量第=(2,3).O=(4,7).则比=

A.(-2:-4)B.(3,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

8.［2012高考真题广东理8］对任意两个非零的平面向量a和B,定义

a•B7T-_——

a。B------.若平面向量a,b满足|a|21bl>0,a与b的夹角6e(0,—)，且和。。a

B"4

都在集合g|〃eZ｝中，则。。6=

135

A.—B.1C.-D.一

222

9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，0(0,0),P(6,8),将向量OP按逆

时针旋转」3万•后，得向量OQ,则点。的坐标是()

4

(4)(-7&,-&)(B)(-772,72)

(C)(-476,-2)(D)(-476,2)

10.12012高考真题天津理7］已知A43C为等边三角形，AB=2,设点P,Q满足

AP=AAB,AQ=(1-A)AC,AeR,若丽•而=—之，则；1=

2_

(A)⑻萼

2

i±Vio,、-3+242

(D)--------------

22

IL12012高考真题新课标理13】已知向量涓夹角为45\且p卜“工-耳=据

则忖=

13.12012高考真题上海理12】在平行四边形HBC。中，乙4=一，边.18、的

3

长分别为2、1,若“、N分别是边5C、C。上的点，且满足=U，则而•万

BCCD

的取值范围是.

14.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系x0y中，一单位.圆的圆心的

初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动•当圆滚动到

圆心位于(2,1)时，OP的,坐标为—

15.12012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,

则演•五的值为，而•皮的最大值为。

16.【2012高考真题安徽理14】若平面向量。力满足：［2。一目＜3,则ab的最小值是

17.12012高考江苏9](5分)如图，在矩形ABCD中，AB=0，BC=2,前E为BC

的中点，点F在边。上，若ABAF=42,则AE8尸的值是▲.

【2011年高考试题】

1.(2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF^().

AA

„(A)0(B)BE(C)AD(D)CF

2.(2011年高考全国卷理科12)设向量a&c满足I。|=|b|=1,

<a—c,b—c>=60°,则，的最大值等于

(A)2⑻G,(c)夜(D)l

二、填空题:

1-(2011年高考浙江卷理科14)若平面向量a,4满足卜卜1,

|/?|<1且以向量a,/为邻边的平行四边形的面积为:，则a与夕.的夹角。的取值范

围是

2.（2011年高考安徽卷理科13）已知向量a,6满足（＞28）_•（a~b）=一6,.且卜卜,

忖=2,则a与力的夹角为.

3.（2011年高考重庆卷理科12）已知单位向量弓，5的夹角为60,则|2q—c/=

4.(2011年高考安徽卷江苏10)已知f弓—,内是夹角为2士乃的两个单位向量，

3

a=e]-2e2,h=ke}^e2,若〃•/?=(),则k的值为___

12010年高考试题】