正余弦定理求角、边及三角形几解2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题03正余弦定理求角、边及三角形几解

目录

【题型一】基础：降募，二倍角、和与差等恒等变形..................................................1

【题型二】基础：辅助角..........................................................................3

【题型三】正弦定理求角：基础型..................................................................4

【题型四】正弦定理求角：分式型..................................................................5

【题型五】正弦定理求角：切化弦型................................................................7

【题型六】余弦定理求角..........................................................................8

【题型七】面积求角.............................................................................9

【题型八】求非特殊角的三角函数值...............................................................11

【题型九】求边长...............................................................................12

【题型十】三角形几解型.........................................................................13

【题型十一】正余弦定理与外接圆.................................................................15

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................17

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................20

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................24

热点题型归纳

【题型一】基础：降幕，二倍角、和与差等恒等变形

【典例分析】

已知函数f(x)=COS(2x-y)+2cos2X

(1)求函数/(x)的最小正周期和对称轴方程；

7T7t

(2)求函数/(X)在区间一§,§上的值域.

1［至I

【答案】(1)最小正周期T="，对称轴方程x=g+^(ZeZ)；(2)ig-,V3+l

【详解】(1)f(x)=cos2xcos—+sin2xsiny+1+cos2x

=sin2x+—cos2x+1=V3(sin2xcos—+cos2xsin+1=\/3sin[2x+—+1.

所以/(光)的最小正周期为丁=夸=».

由2XH—=kjrH—得x=--1(kwZ),即/(x)的对称轴方程为x=---1(kwZ).

32212212

(2)由(1)得f(x)=Gsin(2x+工]+1.所以一二工，一如旦，一工42x+工工开

I3)333333

所以Wsin(2x+工]<1,一犬+f]+l〈省+1,

2I3)2I3；

7・金］

所以/(X)在区间y上的值域为■/,百+1

【提分秘籍】

基本规律

(1)两角和的正弦公式：sin(a+/)=_sinacos/+cosasin/?；

(2)两角差的正弦公式：sin(a-/?)=sincrcos/?-cosasin/3_•

(3)两角和的余弦公式：cos(a+4)=_cosacos/?-sinasin〃；

(4)两角差的余弦公式:cos(a-/?)=cosacos+sinasin/?；

(5)二倍角的正弦公式：sin2a=_2sinacosa_

(6)二倍角的余弦公式：cos2a=_cos2a-sin2a_

(7)二倍角的正切公式：tan2a2tan;

l-tan-a

【变式训练】

已知函数/(%)=sin(%-q)cosx+手，xGR

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)在ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,/(g)=2^,b=3,C

2,求a的值

冗3万__

【答案】(1)k兀一五，k兀十五(ZeZ)；(2)a=

【分析】

(I)化简/(x)解析式，利用整体代入法求得/(x)的单调递增区间.

(2)利用日)的值求得A，利用余弦定理求得人

【详解】

.7T.71、△sinxcosx-旦—+且

⑴/(%)=sinxcos---cosxsin—cosx+

33)T224

1.cV31+cos2x也1(•.n.)1.U万1

一sin2,x----x----------1=一sin2尤coscos2xsin—=—sin2x

4,2242133j2I3)

由2A7---42x----«2Z乃H—,解得An----<x<kit-\---->

2321212

jrSjr

所以〃X)的单调递增区间为版■一立，版■+五(ZwZ).

⑵由⑴得/(x)=gsin(2x—。),所以/仁=gsin(A—()=乎,sin(A-([=*,

由于-7茨所以44后=4=菖

由余弦定理得a=yjh2+c1-2bccosA=19+4—2x3x2xV19.

【题型二】基础：辅助角

【典例分析】

已知a、P€(0,开)，且a<尸,sina+cos/?=2,则cos(a-。)=

cosa+sin尸

答案：4/5

sina+cosb=2cosa+2sin/?=>sina-2cosa=2sin/7-cosa

1sina2cosa2sin/?1cosfl^1cos(y，2=sin0

V5V5V5A/5V5

解析：=>sin((7-69)=-COS(Z?+69)COS(Z?+69)=cosa~co+—

冗jr

nb+G=a—G+—或/?+co+a-@+—=0(舍去)

22

)24

nb-a=-2ct)=>cos(b-a)=sin2d>=2sin69cosco=!—=•-==—

2石石5

【提分秘籍】

基本规律

辅助角公式:

asina+/?cosa=sina+

(1)正弦形式J〃2+b2sin(a+/?)：sincr«cos/?±coscr-sin0=sin(a±Q),

其中

余弦形式夕)：土.尸),

(2)Ja'+z72cos(a-cosa.cos4sina・sin〃=cos(a

其中：sin/?=-74,cos(3--)-.

\Ja2+b2yja2+b2

【变式训练】

函数y=3sinx-4cosx在x处取得最大值，则sin8=

3

【答案】-

解：j=3sinx-4cosx=5—sinx——cosx=5sin(x-^),其中cos*==，sin—

依题意可得5sin(。一°)=5,即sin(8-e)=l,二。一e=]+2br,ZeZ

3

所以sin6=sin[Q+]+2k兀1=cos(p故答案为:

5

【题型三】正弦定理求角：基础型

【典例分析】

在NABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=GbcosC—csinB.求8；

27r

【答案】（1）y;

【分析】

利用正弦定理及A+B+C=i可得GcosBsinC=-sinCsin8>从而得到tanB=一百：

【详解】

由正弦定理及已知得GsinA=GsinBcosC—sinCsin8，

结合sinA=sin（3+C）,V3cosfisinC=-sinCsinB>因为sinCx。，所以tanB=->/5,

2兀

由小（。㈤,得於行

【提分秘籍】

基本规律

⑴正弦定理：烧丁磊=舟=2凡其中R为外接圆半径；

注意：正弦定理变式与性质：

①边化正弦：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

②正弦化边：sinA=/，sinB=4,sinC=去；

@a•b:c=sinA:sin3:sinC；

、〃+/?+c_______

®sinA+sinB+sinC~一"-；

【变式训练】

1..AABC的内角A,B.C的对边分别为已知2cOSA（）COSC+CCOS8）=GQ.

求角A；

jr

【答案】A=?

6

【分析】

利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得cosA,结合Aw(O,7)可得结果；【详解】

由正弦定理可得：2cosA(sin3cosC+sinCcos3)=石sinA

即：2cosAsin(3+C)=2cosAsinA=V3sinA

sinA。0cosA=白，由Aw(O,乃)得:4=看

2.在A6c中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c,且bcosA+^a=c,。是BC边上的点.求角8

2

TC

【答案】B=-

4

【分析】

利用正弦定理边角关系化简bcosA+也a=c，并得到也sinA=sinAcosB，结合已知即可求角8；

22

【详解】

(/)由。cosA+^^a=c，得sinBcosA+^^sinA=sinC,

22

.72x/2

♦•sinBcosA+——sinA=sin(A+B)>sinBcosA+——sinA=sinAcosB+cosAsinB•

22

55兀

——sinA=sinAcosB，而sinAwO,/.cosB=——，即5=：.

224

3..在二A5C中，角A,B,C的对边分别为且满足a+Lb=c-cosB.求角C；

2

27r

【答案】C=y;

【分析】

利用正弦定理边化角公式可得sinA+-sinB=sinCeosB，再将sinA=sin(C+8)

12兀

整理可得cosC=——，C=——

23

解：由正弦定理知sinA+—sin5=sinCcosB

2

有sinBcosC+cosBsinC+—sinB=sinCcosB,R.sinB0,CG(0,冗)

2

]2»

所以cosC=--，C=—

23

【题型四】正弦定理求角：分式型

【典例分析】

已知AABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,满足当+地《=当且b=3.求角8；

cosBsinBb

【答案】8=60°

【分析】

用正弦定理将已知等式化为正弦，余弦角的关系，化简整理可得角B.【详解】

A”，，、cosAsinA2c,cosAsinB+cosBsinA2sinC

解：(1)--+,由正弦定理得--------------------------=--------,

cos8sin8bcosBsinBsin3

即+=2sme,又sin(A+8)=sinCwO,所以cosB=！,又8w(0,»)，得8=60°

cosBsinBsinB2

【提分秘籍】

基本规律

余弦定理:

①[2=从+。2-2卜CCOSA;

@b2=廿+宗一2cacosB；

③/二标+从一2abcosC

从+，一

注意：变式：①cosA=—苏一

/+〃—庐

②cosB=2ac-

层+〃一/

③=

cosC2ah

【变式训练】

L在A3。中，角A,B,C的对边分别为a*,c,且2/，7^C：=&£,求角A的值;

J3acosA

TT

【答案】A=-；

6

【分析】

利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得

【详解】

小rr+,,,E-r，曰2sinB—6sinCcosC

由正弦定理可得------产----------=------,

A/3sinAcosA

整理得到2sinBcosA=石(sinAcosC+cosAsinC)=s/3sinB,

因为Be(O,〃)，故sin8〉0,故cosA=*

因为Aw(O,万)，故4=工.

6

2..,ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且满足：2bcos'=您£+您名求§；

acca

【答案】y:

【分析】

首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；

【详解】

2力cos3cosCcosA—.

(1)----------=-------+-------=>2PcosB-6?cosC+ccosA,

acca

得2sinBcos3=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin5,

1jr

sinB0/.cosB=—B：,B=—.

2v73

「cosA

3..已知a,4c分别是AABC三个角AB,C所对的边，且满足acosB+力cosA=------.求证：A=C；

cosC

【答案】见解析

【分析】

利用正弦定理将已知的边角混合式化为(sinAcos8+sin5cosA)cosC=sinCcosA,再逆用两角和的正

弦公式并化简，可得cosC=cosA,进而可得4=。；

从而求出cos8,再利用同角三角函数关系求出sin8.

【详解】

由正弦定理一^—=—-—=―-—=2R,得。=27?sinA,h=27?sinB,c=27?sinC,

sinAsinBsinC

ccosA

代入。cosB+bcosA=------,得(sinAcosB+sinBcosA)cosC=sinCcosA,

cosC

即sin(A+B)cosC=sinCcosA,因为A+3=%-C,所以sin(A+5)=sinC,

所以sinCeosC=sinCeosA,又C是AABC的内角，所以sinCwO,

所以cosC=cosA,又AC为三角形的内角，

所以A=C.

【题型五】正弦定理求角：切化弦型

【典例分析】

tanA2(、

在一.ABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且1+——.求角A；

tan8b

【答案】)p.

【分析】

利用切化弦、正弦定理边化角、三角恒等变换可得cosA=L,即可得答案；

2

【详解】

.tanA2c〔sinAcosB2sinCsinBeosA+sinAcosB2sinC

1+----=—,/.1+-------------=---------即un-----------------------=-------

tan3hsinBcosAsin3sinBcosAsinB

sin(A+3)2sinC_

---;------=-------,整理得cosA=—0<A<7T,:.A=—.

sinBcosAsin323

【变式训练】

4

1.在非直角.ABC中，tanA+tanB+tanC=-tanB-tanC,〃=5.求sinA；

4

【答案】sinA=-；(2)12.

【分析】

先根据内角和为万得到tanA+tanB+tanC=tanAtanB-tanC,从而可求tanA的值，利用同角的三.角

函数的基本关系式可求sinA.

【详解】

因为130/1=1血（万一8—0）=—1@11（8+（7）,

故tanA=--，an'+tanC整理得至i]tanA+tan5+tanC=tanAtan3・tanC,

1-tan5tanC

4

所以tanAtanB-tanC=—tanBtanC.

3

4

因为反C为三角形内角，故tanBtanCwO，故tanA=—,

3

.AtanA4

因为A为三角形内角，故Ae0,g,故sinA=-y）=工.

V1+tan-A5

2.在AABC中，a,b9。分别是角A,B9。所对的边，且满足tanA=!tan〃='tanC.求角A的大小;

23

【答案】A=：；.

4

【分析】根据题意可得至han3=2tanA,tanC=3tanA,利用三角恒等变换，可知求解tanA=l,即

可求解角A的大小.

tanB_tanC

【详解】由题可知：tanA=,则tan3=2tanA,tanC=3tanA.

23

tanB+tanC

在/ABC111,tanA=-tan（B+C）

1-tanfitanC

2tanA+3tanA

则tanA=—，解得tan2A=1，JtanA=-l或tanA=l,

1-6tan2A

当tanA=-l时，tanB=-2»则4，3均为钝角，与A+8+C=7i矛盾，故舍去,

7T

故tanA=1,则A=—.

4

【题型六】余弦定理求角

【典例分析】

bsinC

在..ABC中，内角A、B、。对边分别是。、b、c已知——+------------=1.求A;

〃+csinA+sinB

【答案】A=—；.

【分析】由正弦定理化角为边后，应用余弦定理可得A；

n

［详解］—-——I-----"C-----=1=--——।——--=1=尸+/—Q2=bc=cosA=­

a+csinA4-sinB〃+ca+h2f

又A£（0,〃），4=工

3

【变式训练】

1.在AABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos?A=sin?B+cos2C+sinAsin从求角C的大

小；

【答案】y:

【分析】由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出

【详解】由题意知1l-sin?Ausir^B+l—sir^c+sinAsinB，

即sin2A+sin2^-sin2C=-sinAsinB，

22

由正弦定理得储+b-c=-ab

由余弦定理得cosC=H+"—c'-=0=一JL,乂.0<C<^,.-.C=—.

2ablab23

2.在ABC中，已知sin2A—>/2sinA*sinC=sin2(4+C)—sin2c•求cos(8+?)的值；

【答案】3—二;.

4

【分析】利用正弦定理的边角互化以及余弦定理求出8=色，再利用两角和的余弦公式即可求解.

4

【详解】因为4+B+C=;r,siMA-啦sinAsinC=sin2(A+0—sir^C,

所以由正弦定理可知BC2-V2BCAB^AC^-AB2,

BC1-\-AB2-AC1=72BCAB,

222

DBC+AB-ACV2

2BCAB2

因为在4ABe中，BG(0,兀)，所以8=巴.

4

71

fiF-N乃、Dn--V215/25/3V2-V6

所以cos(BH—)=cos8cos-----sinBsm—=x-----------x=-------------.

33322224

3.已知在AABC中，角AB,C的对边分别为。力,。，且您0+史叱=亚包工.求h的值；

bc3sinC

【答案】。=火

2

试题分析：本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求。的值，所以可以考虑到根据余弦定理将

sinAa

cosB,cosC分别用边表示，再根据正弦定理可以将——转化为一，于是可以求出匕的值；

sinCc

试题解析：由££型+竺9回竺.，应用余弦定理，可得矿+C2-匕-+少+6一厂=汉电

bc3sinC2abc2abc3c

化简得2》=否则〃=正

2

【题型七】面积求角

【典例分析】

在ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,ABC的面积为S,且5=^-(a2+b2-c2).

求角C；.

TT

【答案】c=-.

3

【详解】因为5=手(。2+〃—c2)=gabsinC，所以

2

sinC-&("2+"—c)_y/3x2ahcosC_^cos(j

lablab

解得tanC=豆，又Cw((),%),故C=(.

【提分秘籍】

基本规律

三角形面积：

CZ)Szi48c=5Q〃sinC=//?csinA=]〃csin3=4A

②S/\48C=/a+b+c>r(r是切圆的半径)

【变式训练】

1.在ABC中，角A,3，。所对的边分别为4,b,C,sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC,ABC的面积

S=abc.求角C

【答案】C=T

解：由S=abc=!a/?sinC可知2c=sinC,sinZA+sinZB+sinAsimBusin?。.由正弦定理得

2

2»22i^)—

a2+b2+ab=c2.由余弦定理得cosC=巴士-----=——，C=一.

2ab23

An2

2.已知在MBC中，。。分别为角A,B,C的对应边，点。为边3C的中点，AA5C的面积为‘匕.

2sinB

sinZBAD-sinZBDA的值；

【答案】工

2

An2AH2

【详解】由AABC的面积为*—且。为8C的中点可知：A45D的面积为*—,

2sinB4sinB

14/)2

由三.角形的面积公式可知—ABBDsinB=------

24sinB

由正弦定理可得2sinN84£hsinNBD4=l,所以sinN84O-sin/BDA=L.

2

3.在AABC中，。，b,c分别为角A,B,C所对的边，S为AA5C的面积，且

S=¥（〃—〃一。2）.求角A的大小；

【答案】A=生.

3

试题解析：由已知得工历sinAnY^aZ—^—cZ）,1分二sinA=一百生土土二土…2分

24'，2bc

即sinA=-J^cosA...3分I.tanA=-月....4分又：Aw（0,;r）,A=$,...6分

【题型八】求非特殊角的三角函数值

【典例分析】

在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a也c.已知（3〃一0）伊+/-/）=2血cos。.则tanA=（）

A.V2B.2V2C.73D.26

［答案］B

【与析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化简即可.

【详解】，因为cosA="*，—,得〃=2Z?ccosA

2bc

2

乂因为（3b-c）W+c一叫=2abccosC

得（3〃一c）2Z?ccosA=2abccosC

整理得（3匕一c）cosA=acosC

由正弦定理可得3sinBcosA-sinCeosA=sinAcosC

得3sin8cosA=sinCeosA+sinAcosC

得3sinBcosA=sin（A+C）=sinB,因为sin3Ho

所以cosA=g

所以tanA=电上=叵三=2四

cosAcosA

故选:B

【变式训练】

1.在..4?C中，内角A,B,C所对的边分别是mb,c.若a=2b,则2sin"：sin2A的值为（）

sin2A

A.—B.-C.1D.!

242

［答案］A

【%析】根据正弦定理求得正确答案.

【详解】依题意2=:，

a2

.2sin2^-sin2Alb'-a2~（b\,f1Y.1

由正弦定理得------；---------=——；—=2--l=2nx--1=__.

sin2Aa2⑺⑴2

故选：A

三个内角的对边分别为面积为若则的值为（

2.A,B,Ca,b,c,S,2S=gaccosB,cosB）

,V10R1「3Mn6

102102

【答案】C

【分析】根据面枳公式得到tanB=g,根据角度范围得到答案.

【详解】2S='accosB=acsinB,故tan8=1,B0,—^,cosB=——=

33I疗7T10

故选：C

96/rrsin（8-A）

acosBD=—j=,0cosA=—=,c=5——i--------L

3.在-钻。中V15VI5,则sinC的值为（）

A.1「715

B.--D.--

551515

【答案】B

【详解】先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角为边，代入后即可得答案.

96

【解答】解：因为acosB=—i=,bcosA=—T=,e=V15,

\/15-yl5

则sin（B-A）_sinBcosA-cosBsinA_bcosA-acosB

sinCsinC

6^_幺

715-Til__LlxJL」故选：B.

岳一〔一忘7m

【题型九】求边长

【典例分析】

在，ABC中，角A,8,C的对边分别为a,Z?,c,且/=从-3°,sin（3-A）=2sinAcosB,则边c=（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【分析】利用两角和差正弦公式化简已知等式可得4sinA8sB=sinC,利用正余弦定理角化边，结合已知

等式可构造方程求得c.

【详解】sin（B-A）=sinBcosA-cosBsinA=2sinAcosB,/.3sinAcosB=sinBcosA,

/.4sinAcosB=sinBcosA+cosBsinA=sin（A+8）=sin（4一C）=sinC,

由正、余弦定理得：4夕“匕了=c,U.\l2（a2-b2+c2）=c2,

又a2=^-3c,..•2卜2-3。）=。2,即C2-6C=0,解得：c=0（舍）或c=6.

故选：B.

【变式训练】

1.在钝角上A8C中，sinA=£@,AC=6,BC=5,则AB=（）

9

【答案】C

【分析】先由cosA解出A3的值，再判断出B为钝角，由cosB<0即可求解.

【详解】由AC>BC知A为锐角，故cosA=「型=』,又cosA=痴+北一出,即2=四土史二交

V8192ABAC912AB

解得AB=，或3,又AC=6为最大边，故B为钝角.

『5-36

当=U■时,AB2+BC2-AC2

cos8=>0,舍去;当4J=3时,

32ABBC2x"x5

3

AB2+BC2-AC29+25-36八

cos5=-------------<0,满足B为钝角;故AB=3.

2ABBC2x3x5

故选：C.

.在中，内角、B、的对边长分别为。、b、c,已知空白

2ACg,且则匕=()

cosCc

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据正弦定理及余弦定理可求解.

【详解】38sA=@,即为3ccos4=〃cosC,即有3c———=a♦a————,即有/一/二(〃，

cosCc2bc2ab2

又〃2-〃=24则2。=3乂，解得人=4.故选：A.

3.ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知csinA=GacosC,c=25/3,ab=8,则a+6的值

是()

A.6B.8C.4D.2

【答案】A

【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到tanC=石，再由余弦定理得cosC=®火卫二《=1，代

2ab2

入已知条件可得到最终结果.

【详解】因为csinA=GacosC,

根据正弦定理得到：sinCsinA=\/3sinAcosC

sinAH0故得到tanC=^

Ce(O,^).'.C=y

再由余弦定理得到：cosCj'/Y=("4-2"一」」

2ahlab2

代入c=20，ab=8,得至1］。+8=6.故选：A.

【题型十】三角形几解型

【典例分析】

在中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,不解三角形，确定下列判断正确的是()

A.8=60。，c=4,b—5,有两解B.8=60。，c=4,6=3.9,有一解

C.B=60。，c=4,b=3,有一解D.B=60。，c=4,b=2,无解

［答案］D

【4析】已知8=60。，c=4的前提下，利用直角二4)5构造出关于b的不等式，即可得出三角形的个数解.

【详解】因为8=60。，c=4,如图4?18£＞于。，

由直角&ADB可得AO=exsin60°=2^3.

当6=2/或624时，有一解；

当b＜26时，无解；

当2行。＜4时，有两解.

A

c=4

60°

BDC

结合四个选项，可知，选项A,B,C三项错误.

故选：D

【变式训练】

1.在中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,其中有两解的是（）

A.6=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°

C.«=14,b=16,A=45°D.a=12,c=15,A=120°

【答案】C

【分析】方法1：A、B、C项通过解三角形来判断其解的个数，D项通过大边对大角与三角形的内角和为180

可判断其解的个数.

方法2：画图看三角形解的个数.

20

【详解】对于A项，方法1：；A=45°,C=80°,；♦8=55,.,•由正弦定理得:

sin45sin55sin80

a、c值唯一确定，，只有一解.

,只有一解.

60°

方法2：如图所示,Ba=30C...只有一解.故选项B错误;

1416

对于C项，方法1：由正弦定理得:,解得：sinB=

sin45sinB7

乂•.•旦逑<1

二角8有两个解.

27

方法2：•'ftsinA=16xsin45=8A/2>80<14<16，

...角8有两个解.故选项C正确；

对于D项,方法1：；c>a,，C>4,又；A=120"，工4+C>180,

.•.不存在这样的三角形.

法

方

：a=12,.•.8C<E4.•.此时A、8、C三点不能构成三角形.故

项

选

故

选

：C.

2.在中，已知〃=3,A=],b=x,满足此条件的三角形只有一个，则%满足（）

A.x=2y/iB.xe(o,3)

C.xe{2^}u(O,3)D.xe{2^}o(0,3]

【答案】D

【分析】结合正弦定理得x=2后sinB,满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，即可确定

8的范围，求得结果.

3_x_3sinBcA。.p।星o

【详解】由正弦定理得然=高万，则有m，B?(0,nA)嘴爷.

sin3T秒

•••满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，则Bi擎।靠赤，故

x=2^sinB?(2V3)U(O,3].

故选：D

3.在_45C中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若a=2,b=3,ZA=3O°,则解此三角形的结果有

()

A.无解B.一解C.两解D.一解或两解

[答案]C

【彳析】根据题意作出图形，推得8<8C<AC,从而得到圆C与射线AE有两个交点，进而得到满足题

意的三角形有两个，由此得解.

【详解】依题意，作出NA=3O。，AC=b=3,B落在射线4E上，过C作CDLAE于£>,如图，

CDAC_>4CsinA3xsin3O03

则在Rt^ACD中，由正弦定理,得zrCO==-------------=-

sinAsinZCDA---------------sinNCDAsin900-----2

因为3C=a=2,所以8<3C<AC,

故以C为圆心，半径为2的圆C与射线A£相交，即有两个交点4,反,

显然，这个两交点不层都可以作为点8,与A,C构造且8c=2,

所以满足题意的三角形有两个，即解此三角形的结果有两解.

故选：C.

【题型十一】正余弦定理与外接圆

【典例分析】

iiAC=5/3,BC>