初中数学-找规律

第一讲找规律

【知识梳理】

所谓规律探索题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关

的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想

出一般性的结论。

常见类型有：(1)数字猜想型(2)数式规律型(3)图像变化猜想型(4)数形结合猜

想型(5)坐标变化型

解题策略：综合运用比较、猜想、概括、推理等方法；关键是仔细审题，归纳规律，合

理推测，认真验证，从而得出问题的结论。

知识点1：循环规律：一列数每隔T项就开始循环，或一列图形(符号)每隔T个就开始循

环，T叫做循环周期。如果一列数或图形的循环周期为T,则其第kT+l(k=l,2,3...)项与第1

项相同；则其第kT+2(k=l,2,3...)项与第2项相同；则其第kT+3(k=l,2,3...)项与第3项相同；

以此类推.…・…

正整数的n次幕的循环规律：

对于任意一个正整数a,a"(n=l,2,3...)的个位数字必循环。例如:2n(n=1,2,3...)的个

位数字循环规律为：2,4,8,624,8,6,…，循环周期为4.

知识点2：不循环的规律：

等差数列：对于一列数ai,a2,a3,...,如果始终有后面一项减去前面一项是一个固定常数,

那么这列数就叫等差数列。此时后一项与前一项的差值称为公差，通常记为d。对于等差数

列，其第n项为a产a"(n-l)d,前n项的和为Sn=.特别地，

2

奇数列：1,3,5,7,9,…是等差数列，公差为2,第n项为2n-l,前n项和为南。

偶数列：2,4,6,8,10,...是等差数列,公差为2,第n项为2n,前n项和为川+n。

等比数列：对于一列数ai,a2,a3,...,如果始终有后面一项与前面一项的比值是一个固定

常数，那么这列数就叫等比数列。此时后一项与前一项的比值称为公比，通常记为q。对于

等比数列，其第n项为a产ad」.特别地，

数列-1,1,-1,1,-1,...是等比数列，公比为-1,第n项为(-1)。；

数列1,-1,1,-1,…是等比数列，公比为-1,第n项为(-1)用；

数列1,0,1,0,1,...第n项为一一一；

2

平方数列：1,4,9,16,25,…的第n项为I?。

【例题讲解】

1、(2015朝阳一模)一组按规律排列的式子：-A＞与，一马，竿，…，其中

aaaaa

第7个式子是,第〃个式子是(用含的〃式子表示，〃为正整数).

【巩固】一组按规律排列的式子：1磊需…，其中第n个式子是__________

Z4o1O

2、（2015燕山一模）定义：对于任意一个不为1的有理数。，把」一称为a的差倒数，如

1一。

2的差倒数为」一=一1,一1的差倒数为一?—='.记。=’,的是为的差倒数，小

12

1-21-（-1）22,3

是死的差倒数，包是死的差倒数，…，依此类推，则。2=；。2015=-

3、（2013西城一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（l,0）处.

第一次，它从点4先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点4；

第二次，它从点4先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；

第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3;

第四次，它从点小先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；

依此规律进行，点4的坐标为;若点An的坐标为（2013,2012）,则n=

4、（2010北京）下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A,B,C,D.请你按图中箭头

所指方向（即AfBfC—D—CfBfAfBfCT■…的方式）从A开始数连续

的正整数1,2,3,4,当数到12时，对应的字母是;当字母C第201次

出现时，恰好数到的数是;当字母C第2n+l次出现时（n为正整数），恰好数

到的数是（用含n的代数式表示）。

5、（2012丰台）在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的

正方形的四个顶点上依次跳动.规定：从顶点A出发，每跳动一步的长均为1.第一次

顺时针方向跳1步到达顶点£>,第二次逆时针方向跳2步到达顶点3,第三次顺时针方

向跳3步到达顶点C,第四次逆时针方向跳4步到达顶点C,,以此类推，跳动第

10次到达的顶点是,跳动第2012次到达的顶点是.

6、（12石景山二模）如图所示，圆圈内分别标有1,2,12,这12个数字，电子跳蚤每

跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数

字为〃，则电子跳蚤连续跳（3"-2）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从贰）

标有数字1的圆圈需跳3x1-2=1步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，X

第二次则要连续跳3x2-2=4步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电

子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的.数字为；第2012次电子跳

蚤能跳到的圆圈内所标的数字为.

7、（11北京）在上表中，我们把第i行第j列的数记为%）（其中i,j都是不大于5的正整

数），对于表中的每个数%，，规定如下：当时，％/=1；当时，效例如:

当'=2,/=1时，按此规定，阳=.表中的25个数中，共有

个1；计算41+%2+4.3+%4・4,4+4,5的值为°

a\,2a\,3«I,4a\,5

a2.1a2,2a2,3%,4a2,5

a

«3.!3,2。3,3。3,4“3.5

“4.I%,2a4,3a4,4«4.5

aa

“5.1“5、2。5.35.45.5

8、（2013朝阳一模）在平面直角坐标系中，动点P从原点。出发，每次向上平移1个

单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移.例如第1次平

移后可能到达的点是（0,1）、（2,0）,第2次平移后可能到达的点是（0,2）、（2,1）、（4,

0）,第3次平移后可能到达的点是（0,3）、（2,2）、（4,1）、（6,0）,依此类推....我

们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为八，/尸3；第2次平移后可能到达

的所有点的横、纵坐标之和为£6=9;第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和

为4，3=18；按照这样的规律，;1“=（用含〃的式子表示，"是正整数）.

J

9

8

7

6

5

4

3

2

1

°123456789x

9、（2012石景山一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数

的2倍）：则第4行中的最后一个数是,第〃行中共有个数，第”行的第〃

个数是.

第1行1

第2行35

第3行791113

10、（2013石景山一模）将全体正整数排成一个三角形数阵:

1

23

456

78910

按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为；第〃行（〃之3）从左到右的

第3个数为.（用含"的代数式表示）

11、（2013通州一模）定义一种对正整数"的"F运算"：①当"为奇数时，结果为3〃+1；

②当“为偶数时，结果为:（其中k是使得;为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如,

2k2k

取〃=6,贝生63番一＞10•古＞5....若〃=1,则第2次W运算”的

结果是；若〃=13,则第2013次“F运算”的结果是.

12、（2014年海淀一模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果,

糖果数依次为4,%,记为G（）=（a„,b0,c„）.游戏规则如下：若三个盘子中的

糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若

有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前

的盘子中取糖果），记为一次操作.若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束.”次操作后

的糖果数记为G,=（«„＞bn,cn）.

（1）若G0=（4,7,10）,则第次操作后游戏结束;

（2）小明发现：若G°=（4,8,18）,则游戏永远无法结束，那么6训4=.

13、（2012海淀二模）小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规

定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：

挪动珠子数（颗）23456

所得分数（分）511192941

按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为颗；当挪动〃颗珠子时

（〃为大于1的整数），所得分数为（用含”的代数式表示）

【课堂练习】

1、(2015东城期末)如图，在平面直角坐标系中，将△AB。绕点A顺时针旋转到△A&G

的位置，点B,0分别落在点a,Q处,点Bi在x轴上,再将△ABiQ绕点顺时针旋转到

的位置，点C?在x轴上，将△4%C2绕点C2顺时针旋转到△A2为C2的位置，点4在x轴上,

依次进行下去….若点A(g0),8(0,4),则点B4的坐标为«点82014的坐标为.

3

2、(2015房山期末)抛物线y=--??+1x+)l—、(其中”是正整数)与X轴交于

4、8”两点，若以4%表示这两点间的距离，则；

A4+—；

A4+4坊+4员+・,•+4纥=.(用含〃的代数式表示)

3、(2015丰台期末)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),其中ywO,我们把点

P\-x+\,1--)叫做点P的衍生点.已知点4的衍生点为A,，点A的衍生点为4,

y

点4的衍生点为A4,…，这样依次得到点A,A2(4,…，A“，…，如果点a的坐

标为(2,-1),那么点儿的坐标为；如果点A的坐标为(凡b),且点4015在双

曲线y=,上，那么.

xab

4、(2015海淀期末)对于正整数〃，定义/5)=，其中/(〃)表示〃的首位

/(〃)，〃240

数字、末位数字的平方和.例如：~6)=62=36,F(123)=/(123)=12+32=10.

规定耳(碇F(,6+|(〃)=/(6(〃))(k为正整数).例如：

Fx(123)=F(123)=10,6(123)=尸(耳(123))=F(10)=1.

（1）求：6（4）=，6015（4）=；

（2）若居,“（4）=89,则正整数m的最小值是.

5、（2015怀柔期末）在平面直角坐标系xQy中，正方形ABCD的位置如右图所示，

点A的坐标为（1,0）,点D的坐标为（0,2）,延长CBy

交x轴于点Ai，作正方形AiBiCiC,延长QB1交x轴于“\

点A2,作正方形A2B2c2Ci，…按这样的规律进彳亍下去，\

第1个正方形的面积为_____________:口

第n个正方形的面积为.olYx；V~~AT-

6、（2015门头沟）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（—1,一1）、B

（-3,-1）.我们规定“把正方形A8CD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一

次变换.

（1）如果正方形A8CD经过1次这样的变换得到正方形4&QD1，y

那么81的坐标是.4-

（2）如果正方形A8CD经过2014次这样的变换得到

.、_2-

正方形4201482014。2014。2014，那么82014的坐标是4_

234%

7、（2015密云期末）如图，边长为1的正方形ABC。放置在平面直角坐标系中，顶点A与

坐标原点。重合,点B在x轴上.将正方形ABCD沿x轴正方向作无滑动滚动，当点。

第一次落在无轴上时，。点的坐标是。点经过的路径的总长度是；

当点。第2014次落在x轴上时，。点经过的路径的总长度是.

8、（2015平谷期末）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.设坐标

轴的单位长度为:Lem,整点P从原点。出发，作向上或向右运动，速度为1cm/;.当整点P

从原点出发1秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）;当整点P从原点出发2秒时，可到达整

点（2,0）、（0,2）或；当整点P从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为—

个.当整点P从原点出发〃秒时，可到达整点（x,y）,则x、y和n的关系

为.

9、(2015石景山期末)二次函数卜=右％2的图象如图，点A。位于坐标原点,

点4,A2,4…4在y轴的正半轴上，点以,B2,B3,…，

B.在二次函数位于第一象限的图象上，点G，C2,C3，…,

C.在二次函数位于第二象限的图象上，四边形&&4G，四边形482A2c2，四边形

A2BJA3C3,四边形4118fAi品都是菱形，ZAOB1A1=ZA1B2A2=ZA2B3A3-

=/A"uB/"=120°.则4的坐标为;

菱形An.iBnAnCn的边长为.

10、(2015通州期末)如图：在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(0,1),有一组

抛物线Ln,它们的顶点Cn(Xn,Yn)在直线AB上，并且经过点(Xn+1,0)，当n=l,2,3,

4,5…时，Xn=2,3,5,8,13...,根据上述规律，写出抛物线L1的表达式为,抛物

线L6的顶点坐标为,抛物线L6与X轴的交点坐标为

11、(2015延庆期末)如图，AD是。。的直径.

(1)如图1,垂直于AD的两条弦&G，82c2把圆周4等分，则N&的度数是,ZB2

的度数是—;

(2)如图2,垂直于AD的三条弦8iQ,B2c2,B3c3把圆周6等分，则NB3的度数是;

(3)如图3,垂直于A。的“条弦8iG，82c2，83c.........把圆周2”等分，则NB”的度

数是(用含n的代数式表示N8.的度数).

Q

12、（2015燕山期末）在函数y=—（x>0）的图象上有点P1，P2,P3，…，P"，Pn+1，它们

X

的横坐标依次为1,2,3,…，n,n+1.过点七,P2,P3,Pn,Pn+i分别作x轴、y

轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为

S,,S2,邑，…，S“，则点名的坐标为；S2=；Sn

（用含n的代数式表示）

【课后作业】

1、一组按规律排列的式子：土，-安,空，-哗，…，其中第6个式子

24816

是，第n个式子是（〃为正整数）.

2、（09东城一模）按一定规律排列的一列数依次为：—,—,—,—按

2310152635

此规律排列下去，这列数中的第9个数是.

3、（12西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的

正方形为单位格点正方形.如图，在菱形ABC。中，四个顶点坐标分别是（-8,0）,（0,4）.

（8.0）,（0,-4）,则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是个;若菱形A“B“C"

。”的四个顶点坐标分别为（一2〃,0）,（0,n））（.2n,0）>（0,~n）（n为正整数），则菱形

A“B,C"能覆盖的单位格点正方形的个数为（用含有〃的式子表

示）

4、（2014东城一模）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由

点A（2,0）同时出发，沿矩形BCCE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/

秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相

遇地点坐标是;第2014次相遇地点的坐标是.

5、（2013石景山一模）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系中，棋子从点（0,0）

出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向

上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位……

依此规律走棋.

（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为；

（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为.

6、（2013西城一模）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1,现点A做如下移动：

第1次点A向左移动3个单位长度至点A,第2次从点4向右移动6个单位长度至点&,

第3次从点&向左移动9个单位长度至点A3,…，按照这种移动方式进行下去，点儿表

示的数是如果点4与原点的距离不小于20,那么n的最小值是

从3A[AAj

-6-5-4-3-2-10123456

7、（12延庆一模）将1、小、小、,按右侧方式排列.若规定（m,n）表示第m排从

左向右第n个数，则（7,3）所表示的数是；（5,2）与（20,17）表示的两数之积是.

1第1排

7273第2排

R172第3排

7376172第4排