北师版八上数学第一章 勾股定理 回顾与思考（课件）

第一章勾股定理回顾与思考数学八年级上册BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS

1.

勾股定理.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用

a

，

b

和

c

分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么

⁠.2.

勾股定理中的面积关系.若将以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积分别记

为

Sa

，

Sb

，以斜边为边长的正方形的面积记为

Sc

，则

Sa

，

Sb

，

Sc

三者之间的关系是

⁠.a2＋

b2＝

c2

Sa

＋

Sb

＝

Sc

3.

勾股定理的逆定理.如果三角形的三边长

a

，

b

，

c

满足

a2＋

b2＝

c2，那么这个三角

形是

三角形，其中

c

为斜边长.注意：若

c

最长，则：当

a2＋

b2＝

c2时，以

a

，

b

，

c

为三边长的三角形是直角三角形；当

a2＋

b2＜

c2时，以

a

，

b

，

c

为三边长的三角形是钝角三角形；当

a2＋

b2＞

c2时，以

a

，

b

，

c

为三边长的三角形是锐角三角形.直角

4.

勾股数.满足

a2＋

b2＝

c2的三个

，称为勾股数.注意：（1）勾股数应同时满足的三个条件：①都是正数；②都

是整数；③

a2＋

b2＝

c2.（2）常见的几组勾股数有：3，4，5；5，12，13；

7，

24，25；

8，15，17.勾股数同时扩大若干整数倍后还是勾

股数；勾股数同时缩小到原来的若干正整数分之一后不一定

是勾股数，但仍满足

a2＋

b2＝

c2，以它们作为边长的三角形

仍是直角三角形.正整数

5.

勾股定理的应用.（1）在运用勾股定理解决实际问题时，要注意仔细审题，找出

直角三角形，若没有直角三角形，则要通过作辅助线来构造出

直角三角形；（2）求立体图形（主要是圆柱和长方体）表面两点之间的最短

路线问题，需要将立体图形上的路线问题转化为平面图形上的

路线问题.数学八年级上册BS版02典例讲练

要点一

勾股定理的基本计算

（1）在Rt△

ABC

中，已知∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

的对边分别是

a

，

b

，

c

.①若

a

＝40，

c

＝41，求

b

；②若

a

∶

b

＝3∶4，

c

＝15，求

b

；③若

c

＝50，

a

＝30，

CD

⊥

AB

于点

D

，求线段

CD

的长.【思路导航】①直接运用勾股定理解答即可；②把

a

用

b

表示，

再利用勾股定理解答即可；③先利用勾股定理求得

b

，再利用

三角形的面积解答即可.解：①由勾股定理，得

b2＝

c2－

a2＝412－402＝81，所以

b

＝9（负值舍去）.

解得

b

＝12（负值舍去）.

解得

CD

＝24.【点拨】利用勾股定理求直角三角形的边长，一般都要经过

“一分，二代，三化简”这三步，即一分：分清哪条边是斜

边，哪些边是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式

代入

a2＋

b2＝

c2

（假设

c

是斜边长，

a

，

b

是两直角边长）；三

化简.（2）在△

ABC

中，已知

AB

＝41，

AC

＝15，高

AH

＝9，则△

ABC

的面积为

⁠.【思路导航】分点

H

在线段

BC

上和在线段

BC

的延长线上两种

情况，根据

AH

⊥

BC

，得到△

ABH

与△

AHC

为直角三角形，再

分别利用勾股定理求出

BH

与

HC

，从而求出

BC

，利用三角形

的面积公式即可求出△

ABC

的面积.234或126

图1

图2【点拨】涉及到三角形及其高时，一定要分清高所在的位置，

再放到对应的直角三角形中计算.若三角形的形状及高不确定，

则需要分类讨论.

1.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，分别以边

AB

，

CA

，

BC

为边长向外作正方形，若正方形

ABIH

的面积为25，正方形

BDEC

的面积为169，则正方形

ACFG

的面积为

⁠.144

（第1题图）2.

如图，已知四边形

ABCD

是长方形纸片，翻折∠

B

，∠

D

使

BC

，

AD

恰好落在

AC

上，且点

F

，

H

分别是点

B

，

D

在

AC

上的对应点，

CE

，

AG

是折痕.若

AB

＝4

cm，

BC

＝3

cm，则线段

EF

的长为

cm.（第2题图）1.5

要点二

勾股定理的逆定理的应用

如图，在△

ABC

中，已知点

D

是边

BC

的中点，

DE

⊥

BC

交

AB

于点

E

，且

BE2－

EA2＝

AC2.（1）试说明：∠

A

＝90°；（2）若

AC

＝6，

BD

＝5，求

AE

的长.【思路导航】（1）连接

CE

，由线段垂直平分线的性质，结合

BE2－

EA2＝

AC2可求得△

ACE

的三边关系，即可证得结论；

（2）先求得

BC

，

AB

的长，在Rt△

AEC

中，利用勾股定理结合

已知条件可得到关于

AE

的方程，再解方程即可.解：（1）如图，连接

CE

.

因为点

D

是

BC

的中点，

DE

⊥

BC

，所以

CE

＝

BE

.

因为

BE2－

EA2＝

AC2，所以

CE2－

EA2＝

AC2.所以

EA2＋

AC2＝

CE2.所以△

ACE

是直角三角形，且∠

A

＝90°.

【点拨】勾股定理的逆定理可用来判定直角三角形，即若△

ABC

的三边长

a

，

b

，

c

满足

a2＋

b2＝

c2，则△

ABC

是直角三角形.而勾股定理常用来求线段长.

已知

a

，

b

，

c

是△

ABC

的三边长，且满足：｜

c2－

a2－

b2｜＋

（

a

－

b

）

2＝0.请判断△

ABC

的形状.解：因为｜

c2－

a2－

b2｜＋（

a

－

b

）

2＝0，所以

c2－

a2－

b2＝0，且

a

－

b

＝0，即

a2＋

b2＝

c2，且

a

＝

b

.所以△

ABC

是等腰直角三角形.要点三

勾股定理的实际应用

（1）为了加快社会经济发展，某市准备在铁路

AB

沿线修

建一个火车站

E

，以方便铁路

AB

两旁的

C

，

D

两城的居民出行.

如图，

C

城到铁路

AB

的距离

AC

＝20

km，

D

城到铁路

AB

的距

离

DB

＝60

km，

AB

＝100

km.经市政府与铁路部门协商，最后

确定在与

C

，

D

两城距离相等的点

E

处修建火车站.求

AE

，

BE

的长.【思路导航】设

AE

＝

x

km，则可用含

x

的代数式表示

BE

，根据

CE

＝

DE

，由勾股定理即可列出方程，解决问题.解：设

AE

＝

x

km，则

BE

＝（100－

x

）km.在Rt△

ACE

中，∠

CAE

＝90°，由勾股定理，得

CE2＝

AC2＋

AE2＝202＋

x2.在Rt△

BDE

中，∠

DBE

＝90°，由勾股定理，得

DE2＝

BE2＋

BD2＝（100－

x

）2＋602.因为

CE

＝

DE

，所以

CE2＝

DE2.所以202＋

x2＝（100－

x

）2＋602，解得

x

＝66.所以

AE

＝66

km，

BE

＝100－66＝34（km）.（2）如图，一架长12.5

m的梯子

AB

斜靠在一竖直的墙

AC

上，

这时梯子底部

B

到墙底端

C

的距离为3.5

m.①这架梯子的顶端

A

距离地面有多高？②若梯子的顶端沿墙垂直下滑2

m到点

E

处，则梯子的底部在水

平方向也滑动了2

m吗？【思路导航】根据题意建立数学模型，再利用勾股定理计算出

相关线段的长度，从而使问题得到解决.解：①根据题意，得

AB

＝12.5

m，

BC

＝3.5

m.在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，由勾股定理，得

AC2＝

AB2－

BC2＝12.52－3.52＝144，所以

AC

＝12

m（负值舍去）.所以这架梯子的顶端

A

距离地面有12

m高.②因为

AE

＝2

m，所以

CE

＝

AC

－

AE

＝12－2＝10（m）.由题意可知，

ED

＝

AB

＝12.5

m.在Rt△

CDE

中，∠

C

＝90°，由勾股定理，得

CD2＝

ED2－

CE2＝12.52－102＝56.25，所以

CD

＝7.5

m（负值舍去）.所以

BD

＝

CD

－

BC

＝7.5－3.5＝4（m）.所以梯子的底部在水平方向滑动了4

m，而不是2

m.【点拨】本例是利用勾股定理解决实际问题的典型题目，基本

解题思路是，首先根据题意和生活常识建立数学模型（由于墙

与地面垂直，必然存在直角三角形），然后利用勾股定理和一

些生活常识（如梯子的长度不变）解决问题.

1.

如图1，小莉正在荡秋千，其部分过程的示意图如图2所示.

已知当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度

DE

＝0.5

m，将它

往前推送1.5

m（水平距离

BC

＝1.5

m）时，踏板离地面的垂直

高度

BF

＝1

m，秋千的绳索始终拉直，则绳索

AD

的长

是

m.2.5

图1

图22.

如图，某时刻海上点

P

处有一艘游艇，测得灯塔

A

位于

P

的

北偏东30°方向，且相距40

n

mile.游艇以每小时60

n

mile的速

度沿北偏西60°方向航行0.5

h到达点

B

处，求点

B

与灯塔

A

的

距离.解：因为灯塔

A

位于游艇

P

的北偏东30°方向，且相距40

n

mile，所以

AP

＝40

n

mile.因为游艇以每小时60

n

mile的速度沿北偏西60°方向航行0.5

h到达点

B

处，所以∠

APB

＝90°，

BP

＝60×0.5＝30（n

mile）.所以

AB2＝

AP2＋

BP2＝402＋302＝2500.所以

AB

＝50

n

mile（负值舍去）.所以点

B

与灯塔

A

的距离为50

n

mile.要点四

勾股定理中的最值问题

（1）葛藤为获得更多的雨露和阳光，常绕着附近的树干沿

最短路线盘旋而上.现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4

m.若

把树干看成圆柱，其底面周长是0.5

m，葛藤盘旋1圈的示意图

如图所示，则这段葛藤的长是

m.

2.6

【思路导航】先把圆柱从侧面展开，再利用勾股定理求葛藤绕

树干盘旋1圈的长度.【解析】因为葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4

m，所以葛藤绕树干盘旋1圈升1.2

m.如图，

AC2＝

AB2＋

BC2＝0.52＋1.22＝1.69，所以

AC

＝1.3

m（负值舍去）.所以这段葛藤的长为2×1.3＝2.6（m）.故答案为2.6.【点拨】对于圆柱表面的最短路线问题，常将其侧面展开为长

方形，根据“两点之间，线段最短”，结合勾股定理求解.（2）一个放置雕塑的长方体底座如图所示，

AB

＝12

m，

BC

＝

2

m，BB'＝3

m.一只蚂蚁从点

A

出发，以2

cm/s的速度沿长方体

表面爬到点C'处至少需要多少分钟？【思路导航】长方体相邻两面展开是长方形，观察长方体，

蚂蚁爬行的路线的长度有三种可能，根据两点之间线段最

短，确定路线最短的一种情况，再根据“时间＝路程÷速

度”即可解答.（1）将正面与右面展开，如图1所示（单位：m）.在Rt△ACC'中，由勾股定理，得路线一：AC'2＝

AC2＋CC'2＝142＋32＝205；图1解：2

cm/s＝0.02

m/s.图2（2）将左面与上面展开，如图2所示（单位：m）.在Rt△ADC'中，由勾股定理，得路线二：AC'2＝

AD2＋C'D2＝22＋152＝229；（3）将正面与上面展开，如图3所示（单位：m）.在Rt△ABC'中，由勾股定理，得

图3【点拨】对于长方体表面的最短路线问题，基本方法是把表面

展开，将立体图形路线问题转化为平面图形路线问题.需要注意

的是