2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习-第2课时 直线与平面垂直

第2课时直线与平面垂直

基础过关练

题组一直线与平面垂直的判定及性质

1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（）

A.垂直B.平行

C.在平面内D.无法确定

2.（多选）设，力是两条不同的直线，£是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（）

A.若11砾m//a,则a

B.若1//a,ml.%则ILm

C.若7±/z?,ga,则7±a

D.若/_L£，加_L8,mla,则71a

3.如图所示,在三棱锥人/比中，POL平面ABC,BOLAC,6。的延长线交NC于点D,则图中与AC

垂直的直线有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

4.（2020湖南长沙期中）如图所示,在正方形SGGG中，£夕分别是GG、GG的中点,现在沿

SE,SF,"把这个正方形折成一个四面体，使G,G,&三点重合,重合后的点记为G.给出下列关

系：

①S£L平面瓯;;②跖_L平面EFG;

③④牙工平面SEG.

其中关系成立的有（）

A.①②B.①③C.②③D.③④

5.在四棱锥4ABCD中,必，平面ABCD,四边形力腼是矩形,AEJD于点、£"J_平面PCD.求

证：/〃花

p

6.如图,在三棱锥S-ABC^,NAB090°,〃是“'的中点,且SA=SB=SC.

（1）求证:成，平面ABC;

⑵若AB=BC,求证：劭J_平面SAC.

题组二直线与平面所成的角

7.（2022广西学业水平考试）如图,将一张三角形纸片沿着比边上的高4?翻折后竖立在桌面

上,则折痕所在直线与桌面。所成的角等于（）

A

A.150°B.135°C.90°D.60°

8.（2020山东济南外国语学校月考）如图，在直三棱柱ABC-4BC

中，N为作90°,/庐4右2,4尸遍，则44与平面4AG所成的角为（）

A.-吗

6B(6

9.（2022安徽合肥第七中学期中）如图，在长方体ABCD~A、RC◎中,AB=BO2,AAt=l,则BQ与平面

防〃〃所成角的余弦值为（）

B•平

c-vD-T

10.（2020湖南长沙市第一中学期末）在三棱锥A-BCD中，AB=AOAD=2,且AB,AC,49两两垂直,

点E为切的中点，则直线应与平面45所成角的正弦值是.

11.（2022广东广州第六十五中学期中）如图所示,在正方体ABCAABCD、中,求:

（1）4。与4〃所成角的大小;

（2）43与平面4%所成的角.

题组三点到平面的距离

12.(2022天津第七中学期末)已知三棱锥介/87的底面是以为斜边的等腰直角三角

形,SA=SB=SOAB=2,设S,A,B,。四点均在以。为球心的某个球面上,则。到平面/a1的距离为

)

A.—B.—C.—D.—

3234

13.(2020辽宁丹东期末)如图，在三棱锥A46c中"庐除2企,为二小e4,。为"的中点.

(1)证明：/UL平面/8C

(2)若点"在棱BC上,且MO2MB,求点C到平面尸。勿的距离.

R

能力提升练

题组一直线与平面垂直的判定与性质

L（多选）如图1,直线如将矩形纸力腼分为两个直角梯形/照和CDEF,将梯形CDEF沿边EF

翻折,如图2,在翻折的过程中（平面4叱和平面的不重合），下面说法不正确的是（）

图1

占D，

R

图2

A.存在某一位置，使得缪〃平面ABFE

B.存在某一位置，使得〃质L平面力朋？

C.在翻折的过程中,郎1〃平面4庞恒成立

D.在翻折的过程中,皮社.平面CDEF恒豉立

2.（2020重庆第八中学期末）已知点P在正方体4式分〃的侧面C如K及边界上运动，并保

持BPLAC若正方体的棱长为1,则用的取值范围是（）

A.[^,1]B.[1,V2]

c•俘，1）邛当

3.（2022上海浦西期中）如图1,C,。是以为直径的圆上两点，且AB=2AD,AOBC,将△/比'所

在的半圆沿直径折起,使得点C在平面/班上的投影6在BD上,如图2.

⑴求证：式工平面力修；

⑵在线段四上是否存在点F,使得助〃平面谢若存在,求出崂的值;若不存在,请说明理由.

FB

C

IJ

图1

c

图2

题组二直线与平面所成的角

4.（2020四川乐山期末）在△/仇7中，/月”=90°是8。的中点,必，平面/园如果如，尸。与

平面力肥所成的角分别为30°和60°,那么依与平面力比'所成的角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.75°

5.（多选）（2022山东期末联考）如图,在四棱锥FABCD中,底面/腼为直角梯

形，/ABO/BA吟,仍仍28俏2仍为，底面ABCD,M为PA的中点，则下列叙述中正确的是

()

A.PC〃平面MBD

B.应LL平面PAC

c.异面直线勿与如所成的角是:

D.直线房与底面4版所成角的正切值是企

6.(2020北京延庆期末)从①①，式;②切〃平面为8这两个条件中选一个,补充在下面问题中,

并完成解答.

如图，在四棱锥P-ABCD中，R1J_平面ABCD,PA=AB=2,BOCD=\,陷3,.

(1)求证：四边形48口是直角梯形；

(2)求直线处与平面尸切所成角的正弦值.

7.如图，四边形ABCD为梯形,AB//CD,/小60°,AB=2,BO3,勿=6,点."在CD上、且C吟CD,连

接AM,BD,且4V与初交于点0.现沿4"将折起至△第勿的位置，使在3.

(1)求证：〃_L平面ABCM-,

(2)求直线囱，与平面4QV所成角的正弦值.

题组三空间距离

8.(2020黑龙江哈尔滨第六中学期末)如图，在三棱柱ABC-4BC中，侧面防”为菱形,6c的

中点为0,且4。，平面BBCC.

⑴证明

⑵若ACLAB,,/CBB、=60°,BOX,求点A到平面4a1的距离.

A

答案全解全析

基础过关练

1.A因为梯形的两腰所在直线必相交，所以由线面垂直的判定定理可得垂直于梯形两腰的直

线与梯形所在的平面必垂直.故选A.

2.BD对于A,若小码加〃a,则Jua或/〃a或/与。相交，故A错误；

对于B,若/〃a,则AL加，故B正确；

对于C,若/_L勿,ga,则Jua或/〃a或/与a相交,故C错误；

对于D,若71£,k£,则l//m,又加_La,则/J,a,故D正确.故选BD.

3.D,?POL平面ABC,/Ct平面ABC,

C.POLAC,又•：AC]BO,且BO^PO=O,

."CJ_平面侬ACLPB,ACLPD.

故与47垂直的直线有4条.

4.B'：SGLGE,SGLGF,曲n小G二5£1平面所6同理可得硝_平面SEG,：.GF\.SE,故①③

成立.

若皿平面EFG,则SG//SE,这与SGC/S矛盾，故②不成立.

若"平面SEG,则EF//GF,这与EFC网尸矛盾，故④不成立.故选B.

5.证明因为必，平面ABCD,以七平面ABCD,

所以PALCD,

又四边形43co是矩形,所以CDLAD.

因为PA^AD=A,/u平面PAD,平面PAD,

所以⑦，平面PAD,

又/比平面PAD,所以AEA.DC.

因为AELPD,PDCCD-D,PD,CZ七平面PCD,

所以/EL平面PCD.

因为AL平面PCD,所以1//AE.

6.证明（1）因为SI=SC〃是/C的中点，

所以SDLAC.在中，AD-BD,

又SA=SB,所以易证△/〃陵△故S

所以/加=N5Z户90°,所以SDA.BD.

又ACHBD=D,所以574平面ABC.

⑵因为AB=BC,〃为4。的中点，

所以BDLAC.由⑴知SDA.BD.

又SDCACD,所以应LL平面SAC.

7.C依题意可知力〃，能◎劭〃所以心小平面。，所以折痕4〃所在直线与桌面

a所成的角等于90°.故选C.

8.A过4作40,平面力与G,垂足为，

'：AB=AC,.•.4A=4G,阳=阳.

取3G的中点D,连接AD,A}D,则点。在助上，

二N449是直线44与平面曲G所成的角.

•••三棱柱/心484是直三棱柱，

二4八4〃

在Rt△阳J中，tanZAtAD=^-=^=—,

AAry/63

...N449=3."4与平面49K所成的角为三

故选A.

9.C如图，连接4c，交区〃于点。，连接加，

由AB=B（=2,可得四边形45G〃为正方形,所以OC、工B、D\,

由长方体的性质可知期J_平面ABCR,阳u平面ABC瓜所以阳1.防,

又防nBD=B\,所以如，平面BBM

则NG6O为6G与平面做〃〃所成的角.

在RtZWG中，OQ=y[2,BC、=m,OB=V3,

所以cosN帆=丝辛叵，

BC±V55

故园与平面防〃〃所成角的余弦值为等.

故选C.

10.答案y

解析连接AE.'：AB,AC,49两两垂直，

."8,平面ACD,

，N1龙是直线应1与平面4切所成的角，

易得止遍，

.•.在Rt^/1庞'中，sinZ/l£S=—BE=—3,

...直线庞与平面/5所成角的正弦值为4.

11.解析⑴连接4G,国,则4G〃犯

所以〃1与4。所成的角即为4G与4〃所成的角，即为NZHG(或其补角),

设正方体的棱长为1,

在△ZHG中,4G=4场〃G=企，

故为等边三角形，

所以/加。百所以然与4〃所成的角为全

(2)连接BQ,BC设BC“4。交于点E,连接

易知A\D〃BC所以平面4%即为平面A、DCB\.

因为几何体ABCAABCD为正方体，

所以〃吐平面BCCB,所以DCLBQ,

又B\CIBC“DCCB\OC,

所以3Gl.平面A\DCB”

所以N为力即为48与平面所成的角.

设正方体的棱长为1,

在RtAm中,4斤鱼,B吟,

所以sinN刚后■巴士所以/胡斤2

A1B26

所以48与平面4%所成的角为3

12.A取46的中点〃连接勿必如图,

因为”是等腰直角△/a'的斜边,所以〃是△/比'的外接圆圆心，因为SA=SB=SOAB=2,所以

CD=1,SDVAB,SA®而勿+）=4=St,所以N勿信90°,所以SDLCD,又CDC止D,CD,16u平

面4园所以5Z4平面ABC.

由球的截面圆的性质知,球心。在直线S。上,球的半径庐国-勿或庐百+如,由代切+F,得

（百-物2=切+/或（6+物2=切+1；

解得勿呼或如=咚（舍去）.

33

所以。到平面/回的距离为手.故选A.

13.解析（1）证明：•.•以=尸信力小4,。为/C的中点，.•.祝L阳且唱2dl

连接防,如图，

P

'：AB=B(=^-AC,.•.△46。为等腰直角三角形,且OBLAC,：.OB=^A(=2,

：.0^+0&=Pff,C.OPLOB.

又OBCAOO,OB,/£=平面ABC,

二尸。，平面ABC.

(2)作CHLOM,垂足为H,由(1)可得OPVCH,

又Q〃nOkO,OM,0七平面POM,

平面POM,

的长即为点C到平面尸如的距离.

由题设可知，0C=^AC=2,C^BC^Y，Z/6^45°,Z.0^~,

.・.C^r4rO-C-'-C-M-s-in-z-.A-C-B=——4y[5,

OM5

.•.点。到平面心"的距离为¥.

能力提升练

1.ABD对于A,因为四边形㈤守是梯形，龙〃夕所以切与）相交，所以切与平面4叱相

交，故A中说法错误；

对于B,因为四边形小T是梯形，龙J_@所以应与跖不垂直,所以不存在某一位置，使得

〃反L平面ABFE,故B中说法错误；

对于C,因为四边形48在■是梯形,AE//BF,8&平面/瓦;平面ADE,所以在翻折的过程

中，哥〃平面力施恒成立,故C中说法正确；

对于D,因为四边形ABFE是梯形"B工BF,所以BF与所不垂直,所以在翻折的过程中，既L平

面CDEF不成立,故D中说法错误.故选ABD.

2.A如图，连接犯G〃密，傲

由正方体的性质知,ACLBD,BDLAAt,因为ni俏4所以次小平面AtAC,所以以〃4C,同理

G以4c

因为GDCBD=D,所以4G_平面BDQ,若BP1.A}C,则动点尸的轨迹为线段C、D.

由正方体的棱长为1,可得点C到线段G〃的距离考,则，兵偿，斗故选A.

3.解析⑴证明：由题意知4CL%,ADVDB.

因为点。在平面4加上的投影£在BD上,

所以必比平面ABD,

因为4t平面/"所以CELAD,

又因为您施u平面BCD,CFADB=E,

所以平面BCD.

因为80=平面BCD,所以ADVBC,

又因为49,月夕=平面力修,助AAOA,

所以况工平面ACD.

⑵存在.

由⑴知比工平面ACD,也平面ACD,所以BCLCD,不妨设AC=2,则B(=2,AB=yj22+22=242,

则AD=V2,^=V8^2=V6,

贝CD=y[6^4=V2,

所以CE-CDCBj2x22sl3

BDV63

所以DE=yJCD2—CE2=12—-=^,

\33

所以B界BD~D胫牛,所以Bg2DE.

在上取点/使B0AF,连接EF,如图，

易知AD//EF,又Q七平面CEF,4H平面CEF,

所以4〃〃平面CEF,此时瞥之

FB2

4.B连接AD,设为=1,•.•必，平面ABC,阳,外与平面48。所成的角分别是30°和60°,

二NAB片30°,//上60°,4ADP是如与平面力8。所成的角，

：.PB=2,AB=V3,AO—,

：.CD=-BG=-X13-^=—,

22733

:.AXAC2+CD2=+|=1,

DA

AtanZ/1^—=1,：.ZAD/^45°,

AD''

.•.勿与平面46。所成的角为45°.故选B.

5.CD设ACHBD=E,连接ME,则少不是熊的中点.假设用〃平面MBD,

p

因为此上平面PAC,平面PACH平面MBD=M£

所以PC//ME,

因为〃为力尸的中点,所以少是/C的中点,这与“不是4C的中点矛盾,所以假设不成立,故A错

误；

假设成让平面PAC,则BDLAC,

因为直角梯形ABCD^,AB=BC,£不是痛的中点，

所以BD与〃1不垂直，因此假设不成立,故B错误；

因为BC//AD,所以异面直线BC与外所成的角就是直线与外所成的角，为/加(或其补

角)，

因为△必〃是等腰直角三角形,所以/物三，

4

故异面直线BC与切所成的角是F，故C正确；

4

因为处，底面ABCD,

所以直线和与底面力8徵所成的角为/心，

又因为A(>y/2AB,PA=2AB,

所以tanN尸口啜鱼,所以D正确.故选CD.

6.解析选择①.⑴证明：连接〃;因为为，平面四"，所以处，〃：

因为PA=2,PC=3,所以用

因为AB=2,除1,所以A#+BU=AG,

所以ABLBC.

因为CD1BC,所以AB〃CD,

又AB^CD,所以四边形四切是直角梯形.

(2)如图,将四棱锥-46(力补成一个长方体ABCE-PFGH,连接为小则用与平面尸切所成的角

即如与平面/W所成的角.

过6作B01CF于0,连接0P,由长方体的性质知,£CJ_平面比'防所以ECLOB,又CFOEOC,

所以仍，平面PFCE,则N5即即为直线外与平面A力所成的角.

在Rt△物1中,可求得吩平，

在Rt△用8中，可求得PB=2y[2,

所以sinZBPO=—=^=—.

PB2V210

选择②.（1）证明：连接AC,

因为必，平面ABCD,所以PALAC.

因为PA=2,PO3,所以AC=PG-Ph5,

因为AB=2,除1,所以AE+Bg=AG,

所以ABLBC.

因为⑺〃平面PAB,CZt平面ABCD,平面为8n平面ABCD=AB,所以AB//CD,又