《数学》复习人教A（新高考）-第2节　充分条件与必要条件-教师复习验收卷

《数学》复习人教A（新高考）-第2节充分条件与必要条件-教师复习验收卷《数学》复习人教A（新高考）-第2节充分条件与必要条件-教师复习验收卷/《数学》复习人教A（新高考）-第2节充分条件与必要条件-教师复习验收卷第2节充分条件与必要条件知识梳理充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系,设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B,则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件,等价于綈q是綈p的充分不必要条件.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打"√”或"×”)(1)若已知p：x>1和q：x≥1,则p是q的充分不必要条件.()(2)已知集合A,B,则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)若a,b∈R,则"a2＋b2≠0”是"a,b不全为0”的充要条件.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.设a,b∈R且ab≠0,则ab>1是a>eq\f(1,b)的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案D解析若"ab>1”,当a＝－2,b＝－1时,不能得到"a>eq\f(1,b)”,若"a>eq\f(1,b)”,例如当a＝1,b＝－1时,不能得到"ab>1”,故"ab>1”是"a>eq\f(1,b)”的既不充分也不必要条件.3.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.答案m＝－24.(多选题)(2020·临沂质检)设x∈R,则x＞2的一个必要不充分条件是()A.x＜1 B.x＞1 C.x＞－1 D.x＞3答案BC5.(2020·天津卷)设a∈R,则"a＞1”是"a2＞a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由a2＞a,得a2－a＞0,解得a＞1或a＜0,∴"a＞1”是"a2＞a”的充分不必要条件.6.(2021·合肥七校联考)已知集合A＝{x|eq\f(1,3)<3x<27,x∈R},B＝{x|－1<x<m＋1,m∈R},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是________.答案(2,＋∞)解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)<3x<27,x∈R))＝{x|－1<x<3}.∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以AB,所以m＋1>3,即m>2.考点一充分条件与必要条件的判定【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n."l,m,n共面”是"l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2,条件q：x,y不都是－1,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)由m,n,l在同一平面内,可能有m,n,l两两平行,所以m,n,l可能没有公共点,所以不能推出m,n,l两两相交.由m,n,l两两相交且m,n,l不经过同一点,可设l∩m＝A,l∩n＝B,m∩n＝C,且A∉n,所以点A和直线n确定平面α,而B,C∈n,所以B,C∈α,所以l,m⊂α,所以m,n,l在同一平面内.故选B.(2)因为p：x＋y≠－2,q：x≠－1或y≠－1,所以綈p：x＋y＝－2,綈q：x＝－1且y＝－1,因为綈q⇒綈p,但綈p⇒綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.感悟升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练1】(1)(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l,m及三个平面α,β,γ,则α⊥β的充分条件是()A.l⊂α,l⊥β B.l⊥α,m⊥β,l⊥mC.α⊥γ,β∥γ D.l⊂α,m⊂β,l⊥m(2)(2020·北京卷)已知α,β∈R,则"存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是"sinα＝sinβ”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案(1)ABC(2)C解析(1)由面面垂直的判定可以判断A,B,C符合题意,对于选项D,l⊂α,m⊂β,l⊥m,也可以得到α∥β,D不符合题意.故选ABC.(2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ,则当k＝2n(n∈Z),α＝2nπ＋β,有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ;当k＝2n＋1(n∈Z),α＝(2n＋1)π－β,有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ.若sinα＝sinβ,则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z),即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C.考点二充分、必要条件的应用【例2】(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0},非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围.解由x2－8x－20≤0,得－2≤x≤10,∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,,1＋m≤10,))解得m≤3.又∵S为非空集合,∴1－m≤1＋m,解得m≥0.综上,m的取值范围是[0,3].【迁移1】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.解由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件,则P＝S,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2,,1＋m＝10,))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3,,m＝9,))这样的m不存在.【迁移2】设p：P＝{x|x2－8x－20≤0},q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m},且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.∵綈p是綈q的必要不充分条件,p是q的充分不必要条件.∴p⇒q且q⇒p,即PS.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2,,1＋m≥10,))∴m≥9,又因为S为非空集合,所以1－m≤1＋m,解得m≥0,综上,实数m的取值范围是[9,＋∞).感悟升华1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住"两”关键(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练2】设p：ln(2x－1)≤0,q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))解析p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)<x≤1)),q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.由q是p的必要而不充分条件,知AB.所以a≤eq\f(1,2)且a＋1≥1,因此0≤a≤eq\f(1,2).考点三充要条件的探求【例3】已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0,求两方程的根都是整数的充要条件.解因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程,所以m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0,且两方程都要有实根,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16(1－m)≥0,,Δ2＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0,))解得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4),1)).因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)∈Z,,4m∈Z,,4m2－4m－5∈Z.))所以m为4的约数.又因为m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4),1)),所以m＝－1或1.当m＝－1时,第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数;而当m＝1时,两方程的根均为整数,所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.感悟升华探求充要条件的关键在于转化的等价性,解题时要考虑条件包含的各种情况,保证条件的充分性和必要性.【训练3】(1)命题"对任意x∈[1,2),x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A.a≥4 B.a＞4 C.a≥1 D.a＞1(2)(2021·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________.答案(1)B(2)ac＜0解析(1)要使"对任意x∈[1,2),x2－a≤0”为真命题,只需要a≥4,所以a＞4是命题为真的充分不必要条件.(2)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac＞0,,\f(c,a)＜0,))即ac＜0.A级基础巩固一、选择题1.设x∈R,则"0<x<5”是"|x－1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由|x－1|<1可得0<x<2,由"0<x<5”不能推出"0<x<2”,但由"0<x<2”可以推出"0<x<5”.故"0<x<5”是"|x－1|<1”的必要而不充分条件.2.王安石在《游褒禅山记》中写道"世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问"有志”是到达"奇伟、瑰怪,非常之观”的()A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件答案D解析非有志者不能至,是必要条件;但"有志”也不一定"能至”,不是充分条件.3.(多选题)(2021·长沙质检)若x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件,则实数a的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.4答案BCD解析由x2－x－2＜0,解得－1＜x＜2.∵x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件,∴(－1,2)(－2,a),∴a≥2.∴实数a的值可以是2,3,4.4.(2019·北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数),则"b＝0”是"f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析当b＝0时,f(x)＝cosx为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx＝f(x),∴－bsinx＝bsinx对x∈R恒成立,∴b＝0.故"b＝0”是"f(x)为偶函数”的充分必要条件.5."log2(2x－3)＜1”是"4x＞8”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由log2(2x－3)＜1⇔0＜2x－3＜2⇔eq\f(3,2)＜x＜eq\f(5,2),4x＞8⇔2x＞3⇔x＞eq\f(3,2),所以"log2(2x－3)＜1”是"4x＞8”的充分不必要条件,故选A.6.(2021·湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是()A.(－∞,1] B.(－∞,1)C.(3,＋∞) D.[3,＋∞)答案D解析|x－1|<a⇒1－a<x<1＋a,因为不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4,所以(0,4)⊆(1－a,1＋a),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤0,,1＋a≥4,))解得a≥3.7.(2020·东莞模拟)若实数a,b满足a＞0,b＞0,则"a＞b”是"a＋lna＞b＋lnb”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析设f(x)＝x＋lnx,显然f(x)在(0,＋∞)上单调递增,∵a＞b,∴f(a)＞f(b),∴a＋lna＞b＋lnb,充分性成立;∵a＋lna＞b＋lnb,∴f(a)＞f(b),∴a＞b,必要性成立,故"a＞b”是"a＋lna＞b＋lnb”的充要条件,故选C.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0;命题q：x＞a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是()A.[1,＋∞) B.(－∞,1]C.[－1,＋∞) D.(－∞,－3]答案A解析由x2＋2x－3＞0,得x＜－3或x＞1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.二、填空题9."sinα＝sinβ”是"α＝β”的________条件(选填"充分不必要”"必要不充分”"充要”"既不充分也不必要”).答案必要不充分10.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于eq\f(|1－0－k|,\r(2))<eq\r(2),解得－1<k<3.11.(2020·河南名校联考)设命题p：x>4;命题q：x2－5x＋4≥0,那么p是q的________________条件(填"充分不必要”"必要不充分”"充要”"既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4,可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集,∴p是q的充分不必要条件.12.已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0),q：方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆,若p是q的充分条件,则a的取值范围是________________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(3,8)))解析由2－m>m－1>0,得1<m<eq\f(3,2),即q：1<m<eq\f(3,2).因为p是q的充分条件,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥1,,4a≤\f(3,2),))解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,8).B级能力提升13.(多选题)(2021·青岛调研)下列叙述正确的是()A."a＜1”是"方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B.若a,b,c∈R,则"ab2＞cb2”的充要条件是"a＞c”C."a＞1”是"eq\f(1,a)＜1”的充分不必要条件D.若a,b,c∈R,则"ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是"b2－4ac≤0”答案AC解析若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根,则Δ＝1－4a＞0,x1x2＝a＜0,∴a＜0,∴"a＜1”是"方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,故A正确.a＞c且b＝0时,推不出ab2＞cb2,故B不正确.a＞1⇒eq\f(1,a)＜1,eq\f(1,a)＜1⇒/a＞1,∴"a＞1”是"eq\f(1,a)＜1”的充分不必要条件,C正确.当a＝0,b＝0,c＜0时,满足b2－4ac≤0,但此时ax2＋bx＋c≥0不成立,所以D不正确.14.(2020·福州模拟)已知f(x)是R上的奇函数,则"x1＋x2＝0”是"f(x1)＋f(x2)＝0”的________条件(选填"充分不必要”"必要不充分”"充要”"既不充分也不必要”).答案充分不必要解析∵函数f(x)是奇函数,∴若x1＋x2＝0,则x1＝－x2,则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2),即f(x1)＋f(x2)＝0成立,即充分性成立;若f(x)＝0,满足f(x)是奇函数,当x1＝x2＝2时,满足f(x1)＝f(x2)＝0,此时满足f(x1)＋f(x2)＝0,但x1＋x2＝4≠0