专题09 一次函数实际应用的三种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题09一次函数实际应用的三种考法类型一、方案问题问题例．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨．(1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费．(2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？【答案】(1)，最少总运费为10040元；(2)城运往乡200吨，总运费最少．【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值；（2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值．【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡，从城运往乡肥料吨，则运往乡吨，设总运费为元，根据题意，则：．，随的增大而增大，当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．答：与的函数关系式为，最少总运费为10040元；（2）设减少运费后，总运费为元，则：，分以下三种情况进行讨论：①当时，，此时随的增大而增大，当时，；．②当时，，不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；③当时，，此时随的增大而减小，当时，；综上可得：当时，城运往乡0吨，总运费最少；当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；当时，城运往乡200吨，总运费最少．【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键．【变式训练1】哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：车型绥化（元/辆）鹤岗（元/辆）大货车620700小货车400550(1)两种货车各有多少辆？(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．(2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地．【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方程组即可求解；（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案．【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得16x+10（20-x）=248，解得x=8，20-x=20-8=12．答：大货车用8辆，小货车用12辆．（2）设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-a），运往鹤岗地的小货车是（3+a），w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]=70a+10850，则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）；根据题意得：16a+10（9-a）≥120，解得a≥5，又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8

且为整数．∴a=5，6，7，8，共有4种方案，∵w=70a+10850，k=70＞0，w随a的增大而增大，∴当a=5时，W最小．答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地．【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．【变式训练2】某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表．印数a（千册）彩色（元/张）2.12黑白（元/张）0.80.5（1）若印制2千册，则共需多少元？（2）该校先印制了x千册纪念册，后发现统计失误，补印了y（）千册纪念册，且补印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同．①用含x的代数式表示y．②若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？【答案】（1）28600元；（2）①；②101200元．【分析】（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案．（2）①分和两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得到答案；②先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即可．【详解】解：（1）∵印制的册数为2千册，∴彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每张，黑白页的页数=2000×6=12000页，∴需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），故一共需要28600元；（2）①第一种情况当时，，，即，∵，∴即；第二种情况当时，，即，∴，②设两次一共需要印刷的册数为m，需要的钱数为W，则，，∴，∴，∴，∴，故，故当，时所需要的的钱数最少为101200元．【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况进行分析求解．【变式训练3】某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车6300轿

车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？【答案】（1）租用一辆轿车的租金为元．（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．【分析】（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题．【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．由题意得：．解得

，答：租用一辆轿车的租金为元．（2）方法1：①若只租用商务车，∵，∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；②若只租用轿车，∵，∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．由题意，得

由，得，∴，∵，∴，∴，且为整数，∵随的增大而减小，∴当时，有最小值，此时，综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．由题意，得

由，得，∴，∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为（元）；租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，此时所付租金最少，为元．【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题．类型二、利润问题例．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：商品进价售价丘乓球拍（元/套）45羽毛球拍（元/套）52已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？【答案】(1)a的值为35，b的值为40(2)①y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②当时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当时，无论购多少套，只要满足，利润都是．【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可；（2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；②根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【详解】（1）根据题意：，解得，答：a的值为35，b的值为40；（2）①由题意得：，∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，∴，∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，∴，解得：，则x的取值范围为：，∴y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②由题意得：，∵，∴当即时，y随x的增大而减小，∴当时，y有最大值，∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当时，即时，y随x的增大而增大，∴当时，y有最大值，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当时，无论购多少套，只要满足，利润都是．【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．【变式训练1】为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．【答案】(1)．(2)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．(3)的最大值为．【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；（3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围．【详解】（1）当时，设，根据题意可得，，解得，；当时，设，根据题意可得，，解得，．．（2）根据题意可知，购进甲种产品千克，，当时，，，当时，的最大值为；当时，，，当时，的最大值为（元，综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．（3）根据题意可知，降价后，，当时，取得最大值，，解得．的最大值为．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．【变式训练2】某电脑经销商，今年二，三月份型和型电脑的销售情况，如下表所示：型（台）型（台）利润（元）二月份15204500三月份20103500（1）直接写出每台型电脑和型电脑的销售利润分别为____________；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．①求与的关系式；②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？（3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）100元，150元；（2）①y=-50x+15000；②购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；（3）①当0＜m＜50时，购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；②m=50时，购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜80时，购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，（2）①据题意得，y=-50x+15000，②利用不等式求出x的范围，又因为y=-50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=15000，③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得,解得故答案是：100元，150元．（2）①据题意得，y=100x+150（100-x），即与的关系式为y=-50x+15000，②据题意得，100-x≤2x，解得x≥，∵y=-50x+15000，-50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-50）x+15000，≤x≤60，且x为整数，分三种情况讨论：①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②m=50时，m-50=0，y=15000，∵≤x≤60，且x为整数，∴34≤x≤60，且x为整数，即商店购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数的增减性质进行判断．【变式训练3】今年两会，李克强总理点赞“地摊经济”称，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，鼓励通过线上线下一体销售．据统计，武汉王家湾夜市和虎泉夜市等多家夜市自五一假期以来，人流量、经济流通收入同比增长，服装行业的增长最为迅速．记者了解到，两家夜市主要服装进货来源是佛山和广州两家服装批发厂，其中某种服装的进货价格如下：佛山服装批发厂广州服装批发厂虎泉夜市15元/件24元/件王家湾夜市18元/件30元/件虎泉夜市现需服装件，王家湾夜市需件，最多可从佛山服装批发厂调进件，剩余的则从广州服装批发厂进货，若虎泉夜市从佛山进货件，两家夜市的进货总费用为元．（1）(括号内写出的取值范围)；（2）请你设计一种进货方案使两家夜市的进货总费用最少，并计算此时的最少费用；（3）六月份开始，广州服装厂与两家夜市签订长期协议，对虎泉夜市进货单价统一降低元，对王家湾夜市进货单价统一降低元，其中，试求此时两家夜市最少进货总费用关于的函数关系式．【答案】（1）3x+240000（2000≤x≤5000，x为自然数）；（2）虎泉夜市在佛山服装厂进货2000件，在广州服装厂进货3000件，王家湾夜市在佛山服装厂进货8000件，最少费用为246000元；（3）．【分析】（1）分别用x表示出两家夜市从两地进货的数量，再将利润相加即可；（2）根据一次函数的性质得到当x=2000时进货总费用最少；（3）分当0＜a＜3时，当a=3时，当0＜a＜3时三种情况，根据一次函数的增减性得出表达式即可．【详解】解：（1）由题可知，虎泉夜市从佛山进货x件，则在广州服装批发厂进货（5000-x）件，王家湾夜市在佛山服装批发厂进货（10000-x）件，从广州服装批发厂进货[8000-（10000-x）]件，∵王家湾夜市最多向佛山服装批发厂进货8000件，而佛山服装批发厂可供货10000件，∴虎泉夜市最少要向佛山服装批发厂进货10000-8000=2000件，最多可向佛山服装批发厂进货5000件，且为使题目有意义，x需为自然数，∴W=15x+24×（5000-x）+18×（10000-x）+30×[8000-（10000-x）]=3x+24000（2000≤x≤5000，x为自然数），故答案为：3x+240000；（2）由（1）可知，进货总费用W随x增大而增大，∴当x=2000时总费用最少，最小费用为W=246000，即虎泉夜市在佛山服装厂进货2000件，在广州服装厂进货3000件，王家湾夜市在佛山服装厂进货8000件，此时总费用最少为246000元；（3）由题意可得，最少进货总费用y=15x+（24-a）×（5000-x）+18×（10000-x）+（30-2a）×[8000-（10000-x）]=（3-a）x-1000a+240000当0＜a＜3时，3-a＞0，y随x的增大而增大，∴当x=2000时，进货总费用最少，且为-3000a+246000，当a=3时，y=237000，当3＜a≤10时，3-a＜0，y随x的增大而减小，∴当x=5000时，进货总费用最少，且为-6000a+255000，综上所述，最少进货费用y与a的函数关系式为：．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题时要理解题意，列出相应的函数表达式，有一定难度，属于中考常考题．类型三、行程问题例．数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中为折线段．请结合图像回答下列问题：

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m的值为___________．②请求出在时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的关系式求解即可；②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为分界点．【详解】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，∴乙机器人行走的速度为(米/分)；故答案为：50．（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，依题意得：，解得，甲机器人行走的总路程为：(米)，甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程：(米)，时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：(米)，∴，故答案为：．②∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，当时，甲乙两机器人的距离为：（米），当甲到达终点C时，（分），乙到达终点C时，（分）当时，当时，当时，，解得解得甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式训练1】有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：

(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前2分钟的速度是______米/分钟；(2)已知线段轴，前3分钟甲机器人的速度不变．①求甲机器人在3～4分钟的这段时间的速度是多少米/分？②请直接写出在整个运动过程中，两机器人相距28m时x的值______．【答案】(1)，(2)①米/分

②两机器人出发分钟，分钟，分钟时相距米【分析】（1）结合图象可得A、B两点的距离，甲机器人前2分钟的速度；（2）①根据，乙机器人始终以米/分钟的速度行走，即可得；②分情况讨论，当时，，当时，，当时，设甲、乙两机器人之间的距离y米与他们的行走时间x分钟之间函数解析式为，将点和点代入，计算即可得函数解析式为，令，得，进行计算即可得．【详解】（1）解：由图象可知，A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为：（米/分），故答案为：，；（2）解：①∵，乙机器人始终以米/分钟的速度行走，∴甲、乙机器人的速度都是米/分钟；②当时，解得，，当时，，当时，设甲、乙两机器人之间的距离y米与他们的行走时间x分钟之间函数解析式为，将点和点代入，得解得，，即函数解析式为，令，得，，即两机器人出发分钟，分钟，分钟时相距米．故答案为：1.2或2.8或4.6.【点睛】本题考查一次函数的综合应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图像与性质，数形结合．【变式训练2】．一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：

(1)学校与劳动基地之间的距离为________千米；(2)________，B点的坐标是________．(3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围．【答案】(1)15；(2)2.7；(3)和【分析】（1）根据函数图象求出学生队伍的速度，即可求出距离；（2）根据通讯员比学生队伍早18分钟到达基地建立等式求解；（3）先求出通讯员的函数解析式，然后求学生的函数解析式，然后进行分类讨论，分两种情况进行讨论即可解答．【详解】（1）解：学生队伍的速度是（千米小时），所以（千米），故答案为：15；（2）解：由图（小时），由题意得，通讯员返回时的速度是（千米小时），所以点即；故答案为：2.7；；（3）解：当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系为，把代入可得，；当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为，把、两点代入得，，解得，，；当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为，把、两点代入得，，解得，，；综上，与的关系式为．设的关系式为，由题意得，，①当时，，解得，即；②当时，，解得，此时通讯员与学生队伍相遇，相遇点坐标为，即相遇后他们的距离小于3千米，∵，解得，即；综上：和．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出解析式，然后分类讨论求解．【变式训练3】A，两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系．地收到消息后立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以相同的速度返回B地，两辆货车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：货车甲离开地的时间/0.10.81.63货车甲离开地的距离/5________80________(2)填空：①事故地点到地的距离为________千米；②货车乙出发时的速度是________千米/小时；③货车乙赶到事故地点时，为________时________分；④货车乙从事故地点返回地时间为________时________分．(3)请直接写出货车乙在整个运输过程中的路程关于时间的函数解析式．【答案】(1)40，80(2)①120；②80；③11，6；④12，54(3)【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”可得结果，结合函数图象以及题意可得货车甲离开地小时时的路程不变化即可求解；（2）根据函数图象求解即可；（3）由待定系数法可求出函数解析式．【详解】（1）解：货车甲出发时的速度是：80÷1.6＝50千米/小时，0.8×50=40千米根据函数图像可知当时，货车货车甲离开A地的距离没有变化货车甲离开地的时间/小时0.10.81.63货车甲离开地的距离/千米5408080故答案为：40，80；（2）①根据函数图象可知，事故地点距离A地80千米则事故地点到地的距离为200-80=120千米；故答案为：120②根据图象可知千米/小时货车乙出发时的速度是80千米/小时；故答案为：80③11，6；④12，54③货车乙赶往事故地所需时间为：（200−80）÷80＝1.5小时，2.6＋1.5＝3.1小时，所以货车乙赶到事故地点时，为11时6分；故答案为：11，6④货车乙开始返回的时间为：3.1＋＝3.4小时，货车乙返回到达B地的时间：3.1＋＋1.5＝4.9小时，货车乙从事故地点返回地时间为12时54分．故答案为：12，54（3）货车乙赶往事故地所需时间为：（200−80）÷80＝1.5小时，2.6＋1.5＝3.1小时，货车乙开始返回的时间为：3.1＋＝3.4小时，货车乙返回到达B地的时间：3.1＋＋1.5＝4.9小时，当1.6≤x≤3.1时，设函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx＋b，得，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝80x−128（1.6≤x≤3.1）；y＝120（3.1＜x≤3.4）；当3.4＜x≤4.9时，设函数表达式为y＝mx＋n（m≠0），把（3.4，120），（4.9，0）代入y＝mx＋n，得，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝−80x＋392（3.4＜x≤4.9）；综上所述，．【点睛】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．课后训练1．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A、B城往C、D两乡运肥料的平均费用如下表.现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨.A城(出)B城(出)C乡(人)20元/吨15元/吨D乡(人)25元/吨30元/吨（1）A城和B城各多少吨肥料？（2）设从B城运往D乡肥料x吨，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；（3）由于更换车型，使B城运往D乡的运费每吨减少a元(a＞0)，其余路线运费不变，若C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，求a的最大整数值.【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）y=10x+9800，60≤x≤260（3）a的最大整数值为6.【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；（2）设从B城运往D乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从A城运往C乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式；（3）列出当B城运往D乡的运费每吨减少a（a＞0）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，根据总费用不低于10040元，列出不等式求其整数解得结论．【详解】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨根据题意，得解得答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）设从B城运往D乡肥料x吨，则从B城运往C乡（300-x）吨从A城运往D乡肥料（260-x）吨，则运往C乡（x-60）吨如总运费为y元，根据题意，则：y=20（x-60）+25（260-x）+15（300-x）+30x=10x+9800，由于函数是一次函数，k=10＞0，∴60≤x≤260故答案为y=10x+9800，60≤x≤260（3）从B城运往D乡肥料x吨，由于B城运往D乡的运费每吨减少a（a＞0）元，所以y=20（x-60）+25（260-x）+15（300-x）+（30-a）x=（10-a）x+9800，分两种情况：①当0＜a＜10时，∵10-a＞0∴y随着x的增大而增大，∵60≤x≤260∴当x=60时，运费最少；∵C、D两乡的总运费最小值不少于10040元∴（10-a）x+9800≥10040即（10-a）×60+9800≥10040解得a≤6，故a的最大整数值为6.②当10＜a＜30时，∵10-a＜0∴y随着x的增大而减小，∵60≤x≤260∴当x最大时，运费最少．即当x=260时，运费最少．∴（10-a）×260+9800≥10040解得a≤，故a的最大整数值为0综上，a的最大整数值为6.故答案为a的最大整数值为6.【点睛】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（3）需分类讨论，并且需注意D乡需要化肥260吨和总费用不低于10040的条件.2．武胜县白坪—飞龙乡村旅游度假村橙海阳光景点组织辆汽车装运完三种脐橙共吨到外地销售.按计划，辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满.根据下表提供的信息，解答以下问题：脐橙品种每辆汽车运载量（吨）每吨脐橙获得（元）设装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；如果装运每种脐橙的车辆数都不少于辆，那么车辆的安排方案有几种？设销售利润为（元），求与之间的函数关系式；若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.【答案】（1）；（2）5种；（3）装运种脐橙车，种脐橙车，种脐橙车时，获利最大，最大利润为元.【分析】(1)利用“车辆数之和=20”这个等量关系进行列式