正弦函数、余弦函数的性质（第2课时单调性、最大值与最小值）课件 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时单调性、最大值与最小值第五章三角函数人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.掌握y=sin

x,y=cosx的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域或最值.(数学运算)2.掌握y=sin

x,y=cosx的单调性,并能利用单调性比较大小.(数学运算)3.会求函数y=Asin

x(ωx+φ)及y=Acosx(ωx+φ)的单调区间.(逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点:正弦函数、余弦函数的图象和性质

函数y=sin

xy=cosx图象

定义域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期为2π最小正周期为2π奇偶性奇函数偶函数函数y=sin

xy=cosx单调性在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都单调递减在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都单调递减最值当x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当

x=(2k+1)π(k∈Z)时,ymin=-1函数y=sin

xy=cosx图象的对称性对称中心为(kπ,0)(k∈Z),对称轴为直线x=+kπ(k∈Z)对称中心为(+kπ,0)(k∈Z),对称轴为直线x=kπ(k∈Z)名师点睛对单调区间的理解(1)k取Z内的每一个值,都对应着一个单调递增区间及单调递减区间,这些区间是断开的.(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数.(3)正弦函数或余弦函数取最值时,对应着图象的最高点或最低点.微思考

重难探究·能力素养速提升问题1函数的单调性是函数的重要性质.结合图象容易观察一个周期内的正弦函数的单调性,但由于三角函数的周期性,在此基础上,如何归纳概括正弦函数的单调区间并给出一般的形式?体会研究周期函数单调性的一般思路.问题2余弦函数与正弦函数的单调性研究过程相似,类比研究余弦函数的单调性并给出一般形式.探究点一求三角函数的单调区间问题3如何利用正、余弦函数来求正余弦型函数的单调区间?基本思想是什么?【例1】

求下列函数的单调递减区间:分析

(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.规律方法

与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin

z的单调区间求出原函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.探究点二单调性在三角函数中的应用问题4单调性的直接应用就是比较函数值大小.关键在于如何把自变量转化到同一个单调区间?1.利用单调性比较三角函数值的大小【例2】

比较下列各组数的大小:规律方法

比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;(2)不同名的函数化为同名函数;(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.问题5单调性可以直接根据函数求出,逆向思考,若已知某函数的单调性,能求解什么问题?2.已知三角函数的单调情况求参数问题D探究点三正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题问题6求函数值域的方法,一般来说,就是要知道函数的类型或者是函数的单调性,据此得出函数值域.问题7由正、余弦函数构成的一些函数,可否识别出函数类型?类型1

一次函数类型【例4】

求下列函数的值域:又sin

x≥0时,0≤2sin

x≤2,∴函数y=|sin

x|+sin

x的值域为[0,2].(2)y=|sin

x|+sin

x.类型2

二次函数类型【例5】

求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sin

x-2;类型3

反比例函数类型

规律方法

与三角函数有关的函数的值域(或最大(小)值)的求解思路1.求形如y=asin

x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin

x≤1)求解.2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域.3.求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最大(小)值时,可以通过换元,令t=sin

x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最大(小)值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.4.求形如

,ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法求解,也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式解出y的取值范围.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.(多选题)函数y=|sinx|的一个单调递增区间是(

)BC123456789101112B123456789101112B123456789101112B123456789101112B1234567891011126.函数,x∈[0,π]的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

1234567891011127.sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为

.

sin3<sin1<sin2解析

因为sin(π-2)=sin

2,sin(π-3)=sin

3,y=sin

x在(0,)上单调递增,且0<π-3<1<π-2<,所以sin(π-3)<sin

1<sin(π-2),即sin

3<sin

1<sin

2.1234567891011128.若y=asinx+b的最大值为3,最小值为1,则ab=

.

±2123456789101112B级关键能力提升练C12345678910111212345678910111211.已知函数f(x)=2cosx-sin2x+a,且f(π)=1.(1)求实数a的值;123456789101112解(1)因为函数f(x)=2cos

x-sin2x+a,f(π)=1,所以2cos

π-sin2π+a=1,即