江西省吉安市吉安八校联盟2023-2024学年九年级下学期期中 数学试题（含解析）

江西省吉安市吉安八校联盟2023-2024学年九年级下学期期中数学试题一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（

）A． B． C． D．22．下列说法正确的是（）A．为了解初中生课外体育活动时间，应采用全面调查B．某彩票中奖率为，则买张一定有张中奖C．“同位角相等”是个真命题D．甲组数据方差为，乙组数据方差为，则甲组数据比乙组数据稳定3．如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（

）A． B．∠B＝30° C．EF＝EB D．4．江西茶文化源远流长，其历史可追溯到两千年前的秦汉时期．如图，是江西名茶中一种装茶的罐子及抽象出的立体图形，则其俯视图为（

）

A．

B．

C．

D．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）

A．(2，5) B．(,5) C．(3，5) D．(3，6)6．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．分解因式：．8．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为_________________千克．9．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是．10．为陶冶孩子情操，磨炼孩子意志，某父母鼓励自己的两个孩子利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥每天比弟弟多写100字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，设哥哥每天写x字，则可列方程为．11．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是．12．已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为.三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（1）计算：；（2）如图，在中，，分别是，的中点，连接，求证：．

14．解不等式组：并求该不等式组的正整数解15．江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门；(1)选择历史的概率是________；(2)请用画树状图或列表的方法，求恰好选择思想政治和地理的概率．16．如图，点是中斜边的中点，以，为边作平行四边形．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)在图（1）中，以为边作一个平行四边形（不含矩形）；(2)在图（2）中，以为边作一个矩形．17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴相交于点C，连接、．

(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．如图，为的弦，交于点，与过点的直线交于点，且．

(1)试判断直线与的位置关系，并加以证明；(2)若，求的长．19．图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到，参考数据：，，）(1)求点D到所在直线的距离．(2)求的长度．20．手机随拍已经成为旅游爱好者生活的一部分．某超市计划购进甲、乙两种型号的手机支架共60个，甲型号的进价为30元/个，乙种型号的进价为45元/个，下表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况：销售时段销售数量销售收入甲种型号乙种型号第一周3个5个420元第二周5个10个800元（1）求甲、乙两种型号手机支架的销售单价．（2）设该超市计划购进甲种型号手机支架x个，销售完这批手机支架所获总利润为w元，请写出w与x的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）（3）在（2）的条件下，若该超市要将这批手机支架的进货成本控制在2370元以内（含2370元），且甲种型号手机支架最多购进24个，则进货方案有几种，最大利润为多少？五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．广大青少年的身体和心理健康已经成为社会关注的话题，而学生的身体和心理健康教育需要学校和家庭共同承担．某校在八、九年级家长中进行了“青少年身心健康知识”调查活动，并将调查结果用计算机折合成分数（百分制），从八、九年级的家长调查卷中各随机抽取了10名家长的折合分数，数据整理如下：（分数用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）八年级10名家长的分数是：95，84，99，89，99，86，100，80，89，99．九年级10名家长的分数在组中的数据是：93，90，91．抽取的八、九年级家长分数统计表：年级平均数中位数众数方差八年级929248.2九年级9210041.1根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述，，的值：______，______，______，(2)该校八、九年级分别有500名、400名家长参加了此次调查活动，请估计两个年级分数低于90分的家长总人数；(3)根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级家长对“青少年身心健康知识”了解得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．22．一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；(2)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为________米；(3)若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现中的位置关系和数量关系．让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边，，的中点．连接，，H为的中点，连接．将绕点旋转，线段．和的位置与长度也随之变化.当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题：（1）图②中，，此时点E落在的延长线上．点F落在线段上．连接．猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）图③中．则______，请证明你的结论：（3）当时．______；剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得（如图④）．点M，N分别在，上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分．则的长为______.1．D【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的定义进行计算即可．【详解】解：故选：D．2．D【分析】根据抽样调查与全面调查、概率的意义、平行线的性质、方差与稳定性，进行判断即可．【详解】解：A、为了解初中生课外体育活动时间，应采用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；B、某彩票中奖率为，则买张不一定有张中奖，故本选项说法错误，不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，“同位角相等”是个假命题，故本选项说法错误，不符合题意；D、甲组数据方差为，乙组数据方差为，则甲组数据比乙组数据稳定，说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，抽样调查，概率，平行线的性质，方差等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．3．C【分析】依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，三角形的边角之间的关系，逐一判断即可得出结论．【详解】解：∵∠1=∠2=65°，∴，故A选项正确，不符合题意，

又∵∠3=35°，∴∠C=65°-35°=30°，∴∠B=∠C=30°，故B选项正确，不符合题意，∵∠3=35°，∠B=30°，故C选项错误，符合题意，∵∠3＞∠C，∴CG＞FG，故D选项正确，不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，三角形的边角之间的关系，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．4．A【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．【详解】解：装茶的罐子及抽象出的立体图形的俯视图为

故选：A．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图的定义是解题的关键．三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．5．B【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标的关系.【详解】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2,0），D（5,0）∴∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为∵A（1,2）∴点C的横坐标为，纵坐标为∴C故选B.【点睛】本题考查的是位似图形的与直角坐标系的关系，能够根据位似图形得出位似比是解题的关键.6．C【分析】由开口方向及与轴的交点可判断，，，再根据“左同右异”的方法可判断的符号，从而可判断①；由对称轴可判断②；由图象得和对称轴可求，可得抛物线与的另一个交点为，代入即可判断③；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当时，，即可判断⑤．【详解】解：由图得：，，对称轴在轴右侧，，，故①错误；抛物线的对称轴是直线，，，故②正确；由图象得，解得：，抛物线与的另一个交点为，，即：，故③正确；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，与抛物线有两个交点，方程有两个不相等的实数根；故④正确；抛物线的对称轴是直线，且，当时，，，故⑤正确；综上所述：正确的有②③④⑤，共个；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质，能利用数形结合的思想解题是解题的关键．7．【分析】先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可．【详解】解：3(1-x2)=．故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．8．5×【分析】科学记数法是指a×，且，n为原数的整数位数减一.【详解】解：将500亿用科学记数法表示为：5×1010．故答案为5×1010．9．-3【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，解得即可．【详解】根据题意，将x=1代入方程得到：1+m+2=0，解得：m=-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．10．【分析】设哥哥每天写x字，可得弟弟每天写字，根据哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，列分式方程即可．【详解】设哥哥每天写x字，可得弟弟每天写字，由题意得，故答案为：．【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，熟练掌握知识点，找出等量关系是解题的关键．11．3【分析】根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案；【详解】解：由题意可得，如图所示，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴，故答案为3．【点睛】本题考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，解题的关键是根据图形判断出角平分线．12．2或或【分析】分以下三种情况求解：（1）点P在CD上，如图①，根据菱形的边长以及CP1=2DP1可得出结果；（2）点P在对角线AC上，如图②，在三角形CDP2中，可得出∠P2DC=90°，进而可得出DP2的长；（3）当点P在边AD上，如图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则，再用含x的代数式表示出CE，EP3，CP3的长，根据勾股定理列方程求解即可.【详解】解：（1）当点P在CD上时，如解图①，，，；（2）当点P在对角线AC上时，如解图②，，.当时，，；（3）当点P在边AD上时，如解图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则，，，，，，，.，在中，由勾股定理得，解得，（舍）.综上所述，DP的长为2或或.故答案为：2或或.【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，在解答无图题时注意分类讨论，避免漏解.错因分析较难题.出错原因：①不能全面考虑所有情况，即根据动点在每一条边上进行分类讨论求解；②在第三种情况下不能将已知条件有效利用，转化到一个三角形中通过勾股定理列方程求解.13．（1）；（2）见解析【分析】（1）先化简二次根式、负整数指数幂和去绝对值，然后计算加减即可得到答案；（2）由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，即可得证．【详解】（1）解：；（2）证明：在中，，，分别是，的中点，是的中位线，，．【点睛】本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂、化简绝对值、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．14．，正整数解为1，2【分析】此题考查的是解一元一次不等式组，掌握不等式的解法和公共解集的取法是解决此题的关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集，然后求出它的正整数解即可．【详解】解：由，得：，由，得：，则不等式组的解集为，不等式组的正整数解为1，2．15．(1)(2)【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）由概念公式可得答案；（2）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选择思想政治和地理的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门，选择历史的概率是；故答案为：；（2）解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选择思想政治和地理有：①②，②①，共2种，恰好选择思想政治和地理的概率为．16．(1)见解析（答案不唯一，合理即可）(2)见解析（答案不唯一，合理即可）【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，由是中斜边的中点，可得，则，，连接，四边形是平行四边形；（2）如图（2），连接交于，则为的中点，连接交于，则为三条中线的交点，连接并延长交于，交于，则为的中点，为中点，连接、并延长，交点为，则是的中位线，为的中位线，有，，，可知，连接，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，则矩形即为所求．【详解】（1）解：如图（1）连接，四边形是平行四边形，即为所求．（2）解：如图（2），连接交于，连接交于，连接并延长交于，交于，连接、并延长，交点为，连接，则四边形是矩形，矩形即为所求．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定与性质，三角形的三条中线相交于一点，中位线的性质，矩形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．17．(1)(2)【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．（1）将两点坐标代入直线解析式求出m、n继而得到反比例函数解析式；（2）利用直线解析式求出点C坐标，根据代入数据计算即可．【详解】（1）∵、两点在直线的图象上，∴当时，；当时，，∴、．∵、在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为：；（2）在直线中，令，则，∴，∵，∴．18．(1)与相切，证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据已知得出,根据等角对等边得出，进而的，根据，即可得证；（2）由（1）知，根据已知以及余弦的定义，设，在中，勾股定理求得的值，进而求得在中，设，由勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：与相切；

理由：如图，连接，

．，．．．，．．即

∴与相切（2）由（1）知，∴设，在中，，．得（舍去），；在中，设，由，即得．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．19．(1)(2)【分析】(1)过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H，通过解直角三角形及矩形的性质，即可求解；(2)利用解直角三角形即可求解．【详解】（1）解：如图，过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H．在中，，，．在中，，，．，，四边形和四边形为矩形，；（2）解：在中，，，．，在中，，，．．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．20．（1）甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为40元、60元；（2）w＝﹣5x+900；（3）进货方案有三种，最大利润为790元．【分析】（1）根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号手机支架的销售单价；（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式；（3）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以得到共有几种进货方案，大利润为多少．【详解】（1）设甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为a元、b元，，解得，，答：甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为40元、60元；（2）由题意可得，w＝（40﹣30）x+（60﹣45）（60﹣x）＝﹣5x+900，即w与x的函数关系式是w＝﹣5x+900；（3）由题意可得，30x+45（60﹣x）≤2370，解得，x≥22，∵x≤24，x为整数，∴x＝22，23，24，∵w＝﹣5x+900，∴当x＝22时，w取得最大值，此时w＝790，答：进货方案有三种，最大利润为790元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．21．(1)40，99，92(2)320人(3)九年级家长，理由见解析【分析】（1）观察数据，按要求求出所需的值即可；（2）分别让总人数乘以两个年级分数低于90分的占比，相加即可解答；（3）从中位数和方差的角度分析即可求解．【详解】（1）解：八年级测试成绩99出现了3次，次数最多，∴；九年级类有3人，所以类占总人数的，则类占，所以，九年级的中位数为：；故答案为：40，99，92；（2）解：八年级有（人），九年级有（人），八九年共有（人）．答：估计两个年级分数低于90分的家长总人数为320人；（3）解：九年级家长对“青少年身心健康知识”了解得更好，理由如下：平均数和中位数相同的情况下，九年级测试成绩的众数更高，且方差小于八年级，即九