微专题22 竖直面内的圆周运动-2025版高中物理微专题

微专题22竖直面内的圆周运动【核心要点提示】绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝meq\f(v2,r)得v临＝eq\r(gr)由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥eq\r(gr)，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，绳、圆轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点时，v<eq\r(gr)，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<eq\r(gr)时，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝eq\r(gr)时，FN＝0(4)当v>eq\r(gr)时，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大【核心方法点拨】在竖直平面内做圆周运动的物体，按物体运动到轨道最高点时的受力情况判断有没有支撑，运用对用的临界条件解决问题。【微专题训练】【例题1】如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同．下列说法中正确的是()A．如果v0＝eq\r(gR)，则小球能够上升的最大高度为eq\f(R,2)B．如果v0＝eq\r(2gR)，则小球能够上升的最大高度为eq\f(R,2)C．如果v0＝eq\r(3gR)，则小球能够上升的最大高度为eq\f(3R,2)D．如果v0＝eq\r(5gR)，则小球能够上升的最大高度为2R【解析】根据机械能守恒定律，当速度为v0＝eq\r(gR)，由mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解出h＝eq\f(R,2)，A项正确，B项错误；当v0＝eq\r(5gR)，小球正好运动到最高点，D项正确；当v0＝eq\r(3gR)时小球运动到最高点以下，若C项成立，说明小球此时向心力为0，这是不可能的．【答案】AD【变式1】如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)。当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力FT、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式FT＝a＋bcosθ，式中a、b为常数。若不计空气阻力，则当地的重力加速度为()A.eq\f(b,2m) B．eq\f(2b,m)C.eq\f(3b,m) D．eq\f(b,3m)解析：当小球运动到最低点时，θ＝0，拉力最大，FT1＝a＋b，FT1＝mg＋eq\f(mv\o\al(2,1),L)；当小球运动到最高点时，θ＝180°，拉力最小，FT2＝a－b，FT2＝－mg＋eq\f(mv\o\al(2,2),L)；由动能定理有mg·2L＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，联立解得g＝eq\f(b,3m)，选项D正确。答案：D【例题2】(多选)如图3所示，光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，则以下说法正确的是()A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a所需向心力是小球b所需向心力的5倍B．速度v至少为eq\r(5gR)，才能使两球在管内做圆周运动C．速度满足2eq\r(gR)＜v＜eq\r(5gR)时，小球在最高点会对内侧轨道有压力作用D．只要v≥eq\r(5gR)，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg【解析】小球运动到最高点对轨道无压力时，其重力提供向心力，则mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，解得v1＝eq\r(gR)，根据机械能守恒定律，eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋2mgR，解得v＝eq\r(5gR)，根据向心力公式，可知A正确；两球在管内做完整的圆周运动的临界条件是小球到最高点时速度恰好为0，此状态下，根据机械能守恒定律，eq\f(1,2)mv2＝2mgR，解得v＝2eq\r(gR)，所以B错误；当2eq\r(gR)＜v＜eq\r(5gR)，小球能运动到最高点，在最高点时会和内侧轨道有弹力作用，C正确；小球b在轨道最高点的速度为v1，当v≥eq\r(5gR)时，eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋2mgR，在最低点F1－mg＝meq\f(v2,R)，在最高点F2＋mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，解得F1－F2＝6mg，D正确．【答案】ACD【变式2】如图所示，在质量为M的物体内有光滑的圆形轨道，有一质量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A与C两点分别是轨道的最高点和最低点，B、D两点与圆心O在同一水平面上．在小球运动过程中，物体M静止于地面，则关于物体M对地面的压力FN和地面对物体M的摩擦力方向，下列说法正确的是()A．小球运动到A点时，FN＞Mg，摩擦力方向向左B．小球运动到B点时，FN＝Mg，摩擦力方向向右C．小球运动到C点时，FN＜(M＋m)g，地面对M无摩擦D．小球运动到D点时，FN＝(M＋m)g，摩擦力方向向右【解析】小球在A点时，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，A项错误；小球在B点时，需要的向心力向右，所以M对小球有向右的支持力的作用，对M受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M对地面的压力FN＝Mg，B项正确；小球在C点时，小球的向心力向上，所以物体M对小球的支持力要大于小球的重力，故M受到的小球的压力大于mg，那么M对地面的压力就要大于(M＋m)g，系统在水平方向上不受力，则地面对M没有摩擦，C项错误；小球在D点和B点的受力的类似，M对小球的弹力向左，则小球对M的弹力向右，则M受到地面的摩擦力方向向左，在竖直方向上，根据平衡条件知，FN＝Mg，D项错误．【答案】B【巩固习题】1.(多选)(2018·北京东城区模拟)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是()A．当v的值为eq\r(gL)时，杆对小球的弹力为零B．当v由eq\r(gL)逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大C．当v由eq\r(gL)逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大思维点拨：(1)模型类型：竖直平面内圆周运动的轻杆模型。(2)临界条件：最高点杆受力为零的条件为v＝eq\r(gL)。(3)选用规律：用牛顿第二定律列表达式、讨论。解析：在最高点，球对杆的作用力为0时，根据牛顿第二定律有mg＝eq\f(mv2,L)，得v＝eq\r(gL)，A对；由上可知，当v>eq\r(gL)时，轻杆对球有拉力，则有F＋mg＝eq\f(mv2,L)，v增大，F增大，B对；当v<eq\r(gL)时，轻杆对球有支持力，则有mg－F′＝eq\f(mv2,L)，v减小，F′增大，C错；由F向＝eq\f(mv2,L)知，v增大，向心力增大，D对。答案：ABD2.(2014·江苏扬州)如图所示，杂技演员在表演“水流星”，用长为1.6m轻绳的一端，系一个总质量为0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2，则下列说法正确的是()A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器的底部受到的压力均为零C．“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受力的作用D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N【解析】当水对桶底压力为零时，有mg＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(gr)＝4m/s，“水流星”通过最高点的速度为4m/s，知水对桶底压力为零，不会从容器中流出．对水和桶分析，有T＋Mg＝Meq\f(v2,r)，解得T＝0，知此时绳子的拉力为零，故A、D项错误，B项正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C项错误．【答案】B3.(2015·福建福州)半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一个小物体m，如图所示，今给它一个水平的初速度v0＝eq\r(gR)，则物体将()A．沿球面下滑至M点B．先沿球面至某点N，再离开球面做斜下抛运动C．按半径大于R的新的圆弧轨道运动D．立即离开半球做平抛运动【解析】小物体在半球面的顶点，若是能沿球面下滑，则它受到的半球面的弹力与重力的合力提供向心力，有mg－FN＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)＝mg，FN＝0，这说明小物体与半球面之间无相互作用力，小物体只受到重力的作用，又有水平初速度，小物体将做平抛运动，D选项正确；即使小物体的初速度为0，在光滑曲面上的某点也将离开曲面，其高度我们在力的分解中已证明为h＝eq\f(2,3)R，A、B选项错误；离开曲面受恒力mg的作用，不可能做圆周运动，圆周运动的合外力为变力，C选项错误．【答案】D4.【哈三中2016—2017学年度上学期高三学年期中考试】如图所示，长为L的细绳一端拴一质量为m小球，另一端固定在O点，绳的最大承受能力为11mg，在O点正下方O/点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O/为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离为()A．最小为LB．最小为LC．最大为LD．最大为L【答案】BC5.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图(a)所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图(b)所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()A.eq\f(v\o\al(2,0),g) B.eq\f(v\o\al(2,0)sin2α,g)C.eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,g) D.eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,gsinα)【解析】在最高点只有重力提供“圆周运动”的向心力，有mg＝meq\f(v2,r)＝meq\f(v0cosα2,ρ)，故ρ＝eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,g).【答案】C6.如图所示为空间站中模拟地球上重力的装置，环形实验装置的外侧壁相当于“地板”，让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)()A.eq\r(\f(g,R))B.eq\r(\f(R,g))C．2eq\r(\f(g,R))D.eq\r(\f(2R,g))【解析】物体随同环形装置做圆周运动，“重力”提供向心力，可得：mg＝mω2R，解得：ω＝eq\r(\f(g,R))，A正确，选项B、C、D错误．【答案】A7.如图所示，一根水平光滑的绝缘直槽轨连接一个竖直放置的半径为R＝0.50m的绝缘光滑槽轨．槽轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.50T．有一个质量m＝0.10g，带电量为q＝＋1.6×10－3C的小球在水平轨道上向右运动．若小球恰好能通过最高点，则下列说法正确的是()A．小球在最高点所受合力为零B．小球到达最高点时的机械能与小球在水平轨道上的机械能相等C．如果设小球到达最高点的线速度是v，小球在最高点时式子mg＋qBv＝meq\f(v2,R)成立D．如果重力加速度取10m/s2，则小球初速度v0＝eq\r(21)m/s【解析】设小球在最高点的速度为v，则小球在最高点所受洛伦兹力为f＝qBv，方向竖直向上，由于小球恰好能通过最高点，故小球在最高点由洛伦兹力和重力共同提供向心力，有mg－qBv＝meq\f(v2,R)，解得v＝1m/s，若mg＝qBv，解得速度v＝1.25m/s，故A、C项错误；由于无摩擦力，且洛伦兹力不做功，支持力不做功，只有重力做功，所以小球在运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律，可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mg×2R＋eq\f(1,2)mv2，解得v0＝eq\r(21)m/s，故B、D两项正确．【答案】BD8.(2016·海南单科)如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为()A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg【解析】设小球在最低点速度为v1，在最高点速度为v2，在根据牛顿第二定律：在最低点：N1－mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)在最高点：N2＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,2),R)同时从最高点到最低点，根据动能定理：mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)联立以上三式方程式可以得到：N1－N2＝6mgR，故选项D正确。【答案】D9.(2012·济南模拟)如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(g(R＋r))B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【解析】小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：FN－Fmg＝ma，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误．【答案】BC10.(2014·深圳一模)如图为过山车以及轨道简化模型，不计一切阻力，以下判断正确的是()A．过山车在圆轨道上做匀速圆周运动B．过山车在圆轨道最高点时的速度应不小于eq\r(gR)C．过山车在圆轨道最低点时乘客处于超重状态D．过山车在斜面h＝2R高处由静止滑下能通过圆轨道最高点【解析】由于过山车在轨道上运动时，速度大小发生变化，因此其运动为非匀速圆周运动，A错误；在轨道最高点，过山车应满足mg＋N＝meq\f(v2,R)，因为N≥0，则v≥eq\r(gR)，B正确；过山车过轨道最低点时，合外力、加速度竖直向上，车内的乘客均处于超重状态，C正确；过山车由释放点至圆轨道最高点由机械能守恒定律得mgh＝mg2R＋eq\f(1,2)mv2，其中v≥eq\r(gR)，则h>eq\f(5,2)R，故D错误．【答案】BC11.如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，则有()A．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为6mgB．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mgC．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为eq\r(7gL)D．若小铁球运动到最低点时轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L【解析】小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，说明小铁球在最高点B处时，轻绳的拉力最小为零，mg＝eq\f(mv2,L)，v＝eq\r(gL)，由机械能守恒定律得，小铁球运动到最低点时动能eq\f(mv\o\al(2,1),2)＝eq\f(mv2,2)＋mg·2L，在最低点时轻绳的拉力最大，由牛顿第二定律F－mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),L)，联立解得轻绳的拉力最大为F＝6mg，选项A正确，B错误；以地面为重力势能参考平面，小铁球在B点处的总机械能为mg·3L＋eq\f(1,2)mv2＝eq\f(7,2)mgL，无论轻绳是在何处断开，小铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能eq\f(1,2)mv′2＝eq\f(7,2)mgL，落到地面时的速度大小为v′＝eq\r(7gL)，选项C正确；小铁球运动到最低点时速度v1＝eq\r(5gL)，由x＝v1t，L＝eq\f(1,2)gt2，联立解得小铁球落到地面时的水平位移为x＝eq\r(10)L，选项D错误．【答案】AC12.如图所示，半径为R的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为2m和m的静止小球A、B，它们由长为2R的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动．今对上方小球A施加微小扰动、两球开始运动后，下列说法不正确的是()A．轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等B．轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等C．运动过程中A球速度的最大值为eq\r(\f(4gR,3))D．当A球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为eq\f(13,3)mg【解析】两球做圆周运动，在任意位置角速度相等，则线速度和向心加速度大小相等，选项A正确，B错误；A、B两球组成的系统机械能守恒，当系统重力势能最小(即A在最低点)时，线速度最大，则mg·2R＝eq\f(1,2)×3mv2，最大速度v＝eq\r(\f(4gR,3))，选项C正确；A在最低点时，分别对A、B受力分析，FNA－2mg＝2meq\f(v2,R)，FNB＋mg＝meq\f(v2,R)，则FNA－FNB＝eq\f(13mg,3)，选项D正确．【答案】B13.(多选)如图所示，一个内壁光滑的eq\f(3,4)圆管轨道ABC竖直放置，轨道半径为R.O、A、D位于同一水平线上，A、D间的距离为R.质量为m的小球(球的直径略小于圆管直径)，从管口A正上方由静止释放，要使小球能通过C点落到AD区，则球经过C点时()A．速度大小满足eq\r(\f(gR,2))≤vC≤eq\r(2gR)B．速度大小满足0≤vC≤eq\r(gR)C．对管的作用力大小满足eq\f(1,2)mg≤FC≤mgD．对管的作用力大小满足0≤FC≤mg【解析】小球离开C点做平抛运动，落到A点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得：竖直方向有R＝eq\f(1,2)gt2，水平方向有R＝vC1t，解得vC1＝eq\r(\f(gR,2))；小球落到D点时水平位移为2R，则有2R＝vC2t，解得vC2＝eq\r(2gR)，故速度大小满足eq\r(\f(gR,2))≤vC≤eq\r(2gR)，A项正确，B项错误；由于球的直径略小于圆管直径，所以过C点时，管壁对小球的作用力可能向下，也可能向上，当vC1＝eq\r(\f(gR,2))，向心力F1＝eq\f(mv\o\al(2,C1),R)＝eq\f(mg,2)＜mg，所以管壁对小球的作用力向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝eq\f(mv\o\al(2,C1),R)，解得FN＝eq\f(1,2)mg；当vC2＝eq\r(2gR)，向心力F2＝eq\f(mv\o\al(2,C2),R)＝2mg＞mg，所以管壁对小球的作用力向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN′＝eq\f(mv\o\al(2,C2),R)，解得FN′＝mg；假设在C点管壁对小球的作用力为0时的速度大小为vC3，则由向心力公式可得mg＝eq\f(mv\o\al(2,C3),R)，解得vC3＝eq\r(gR)，vC3在eq\r(\f(gR,2))≤vC≤eq\r(2gR)范围内，所以满足条件．所以球经过C点时对管的作用力大小满足0≤FC≤mg，C项错误，D项正确．【答案】AD14.过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1＝2.0m、R2＝1.4m．一个质量为m＝1.0kg的小球(视为质点)，从轨道的左侧A点以v0＝12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1＝6.0m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g＝10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；(3)