2023-2024海淀区初三数学第一学期期末试题及答案

2023-2024海淀区初三数学第一学期期末练习2023.1

1.方程f-3x-5=0的根的状况是

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定是否有实数根

2.在RtzXABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,贝UsinA的值为

A.-B.-C.-D.-

5543

3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是

A.长方体B.正方体C.圆柱D.圆锥

4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分

别为1号、4号、6号、3号、5号和2号.若小丁从中随机抽取一个，则抽到

的座位号是偶数的概率是H

2]_2

A.B.D.

6323

5.如图，AABC和△AiBCi是以点O为位似中心的位似三角形，若Ci为OC的中点，AB=4,

则48的长为

A.1B.2C.4D.8

6.已知点4(为，V)，8(X2,”)是反比例函数)=—3二的图象上的两点,

x

若X[V0<X2,则下列结论正确的是

A.yi<0<j2B.y2VoVyiC.2VoD.y2<yi<0

7.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OOLAC于。，过点。作

OE〃AC交半圆。于点£过点E作E凡L4B于尸.若AC=2,则。尸

的长为

£3

A.B.一C.1D.2

24

8.如图1,在矩形A8CO中，AB<BC,AC,交于点。点E为线段AC上的一个动点,

连接OE,BE,过E作于F.设4E=x,图1中某条线段的长为y,若表示y与x的

函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的

AD

o

图1图2

A.线段EFB.线段。EC.线段CED.线段BE

二、填空题(本题共16分，每小题4分)

9.若扇形的半径为3cm,圆心角为120。，则这个扇形的面积为cm2.

10.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m,同时测得一栋建筑物的影长为12m,

那么这栋建筑物的高度为.m.

11.如图，抛物线y=与直线y^bx+c的两个交点坐标分别为

A(-2,4),,则关于x的方程/—法一c=0的解为

■n2,

12.对于正整数〃，定义尸又)=«其中/(〃)表示〃的

J5)，

首位数字、末位数字的平方和.例如：/(6)=62=36

F(123)=/(123)=l2+32=10.

规定耳(〃)=F(〃)，丘|(〃)=/(4(〃))(%为正整数).例如：

耳(123)="123)=10,F2(123)=尸(耳(123))=F(10)=1.

(1)求：6(4)=,鸟35(4)=

(2)若《,(4)=89，则正整数/„的最小值是

三、解答题(本题共30分，每小题5分)

2o,50

13.计算:(-l)+sin3O-(n-3.14)

14.如图，△ABC中，AB=AC,。是BC中点，BE_L4C于E.求证：/XACD^ABCE.

BDC

15.已知是一元二次方程/一3》一2=0的实数根，求代数式！'”+1)。〃—1)一1的值.

m

16.抛物线丁=2》2平移后经过点4((),3),8(2,3),求平移后的抛物线的表达式.

17.如图，在平面直角坐标系.x0y中，正比例函数y=2x与反比例函数

k

y=一的图象交于A,B两点，A点的横坐标为2,ACLx轴于点C,

x

连接BC.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点P是反比例函数y=(图象上的一点，且满意△。尸(7与4

x

ABC的面积相等，请干脆写出点P的坐标.

4

18.如图，ZkABC中，ZACB=90°,sin/I=-,BC=8,。是AB中点，过点8作

直线C。的垂线，垂足为E.

(1)求线段CQ的长；

A

(2)求cosZABE的值.

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

19.已知关于x的一元二次方程侬2—(m+2)%+2=0有两个不相等的实数根石,々.

(1)求机的取值范围；

(2)若马＜0,且土＞一1，求整数〃，的值.

20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应

的单件利润如下表所示(其中x为正整数，且IWxWlO)：

・・・・・・

质量档次12X10

日产量(件)9590.・・100-5%•••50

单件利润(万元)68・・・2x+4・・・24

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品.当生产质量档次为x的产品时，当

天的利润为y万元.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值.

21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A,B,C在。。上，与。。相切，射线AO

交BC于点E,交。。于点F.点P在射线AO上，且NPCB=2NBAF.

(1)求证：直线PC是。。的切线；

(2)若48=而，AD=2,求线段PC的长.

22.阅读下面材料：

小明视察一个由1x1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上随意两个相

邻点间的距离都是1.他发觉一个好玩的问题：对于图中出现的随意两条端点在点阵上

且相互不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角

的正切值.

请回答：

（1）如图1,A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点。，作出线段CO,使得

CD±AB；

（2）如图2,线段A8与CZ）交于点0.为了求出NAO。的正切值，小明在点阵中找到了

点E,连接AE,恰好满意于一凡再作出点阵中的其它线段，就可以构造相像三

角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.

请你帮小明计算：0C=；tanZAC>D=；

图2图3

参考小明思索问题的方法，解决问题：

如图3,计算：tanNAQD=

五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分)

k

23.在平面直角坐标系中，反比例函数>=一的图象经过点4(1,4),.

X

(1)求代数式相〃的值；

(2)若二次函数y=(x-1了的图象经过点8,求代数式〃而一2m2〃+3〃?〃一4九的值；

(3)若反比例函数y=-的图象与二次函数y=a(x-l)2的图象只有一个交点，且该交

X

点在直线y=x的下方，结合函数图象，求。的取值范围.

八

5-

4•

3•

2-

-5-4-3-2~~t-0-12~3~4~5^

1■

24.如图1,在AABC中，8c=4,以线段AB为边作△A8。，使

得A£>=BD,连接。C,再以。C为边作△CDE,使得DC=DE,

NCDE=4ADB=a.

(1)如图2,当NABC=45。且a=90。时，用等式表示线段

AD,OE之间的数量关系；

(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF,

连接B尸，AF.

①若a=90。，依题意补全图3,求线段4尸的长;

②请干脆写出线段A尸的长(用含a的式子表示).

图2图3备用图

25.在平面直角坐标系X。），中，设点尸（％,y）,。（毛，斗）是图形W上的随意两点.

定义图形W的测度面积：若|%-尤2|的最大值为根，瓦一%|的最大值为"，则

为图形W的测度面积.

例如,若图形W是半径为1的。0.当P,Q分别是。。与x轴的交点时，如图l,|x,-x2|

取得最大值，且最大值，〃=2；当P,。分别是。。与），轴的交点时，如图2,也一功|取

得最大值，且最大值"=2.则图形W的测度面积5=，加=4.

（1）若图形W是等腰直角三角形ABO,04=08=1.

①如图3,当点A,8在坐标轴上时，它的测度面积S=；

②如图4,当ABLc轴时，它的测度面积S=；

（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD,则此图形测度面积S的最大值

为;

（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCC,求它的测度面积S的取值范围.

图4

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为具体,阅卷时，只要考生将

主要过程正确写出即可.

2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.

3.评分参考中所注分数，表示考生正确做到步应得的累加分数。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题号12345678

答案AADCBBCB

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9.3乃；10.24；

11.玉=-2,彳2=1;12.（1）37,26；（每个答案1分）（2）6.（2分）

三、解答题：（本题共30分，每小题5分）

13.（本小题满分5分）

解：原式=-1+工-1+2...........................................................................................................4分

2

14.（本小题满分5分）

证明：D是BC中点,

.".AD1SC,

：.ZADC=90°.....................................................1分

YBELAC,

ZB£C=90°.

，ZADC=ZBEC.............................................•.2分

在AACD和"CE中，

[ZACD=ZBCE,

[ZADC=ZBEC,

.♦.△4CDs△B"..................................................5分

15.（本小题满分5分）

解：由己知，可得加2—3加一2=0.........................1分

；・m2—2=3m...................................................2分

.•.原式=西土1=曰=独=3......

.5分

mmm

16.（本小题满分5分）

解：设平移后抛物线的表达式为y=2f+版+。

・・•平移后的抛物线经过点A(0,3),3(2,3),

3=c,

3=8+2b+c.

所以平移后抛物线的表达式为y=2_?—4X+3........................................................5分

解二：•.•平移后的抛物线经过点A(0,3),8(2,3),

.•.平移后的抛物线的对称轴为直线x=l................................................................1分

二设平移后抛物线的表达式为y=2(%-+%....................................................2分

/.3=2x(2-l)2+Jt..............................................................................................3分

・•・左=1.....................................................................................................................4分

所以平移后抛物线的表达式为y=2(x—1『+1.....................................................5分

17.(本小题满分5分)

解：(1)将％=2代入y=2x中，得y=2x2=4.

・••点A坐标为(2,4)..............................................................................................1分

点A在反比例函数y=-的图象上，

X

・•・左=2x4=8.....................................................................................................2分

Q

，反比例函数的解析式为丁=一........................................3分

x

(2)P(l,8)或P(—1,—8)..........................................................................................5分

18.(本小题满分5分)

4

解：(1):△ABC中，ZACB=90°,sinA=—,8c=8,

5

O

=—^=4=10.......................................................................................1分

sinA4

5

♦△ABC中,ZACB=90°,，是AB中点,

：.CD=-AB=5................................................................................................2分

2

(2)法一：过点C作C尸，A8于凡如图.

ZCFD=90°.

在RSABC中，由勾股定理得AC=jAfi2-Be?=J1()2—8?=6.

'：CFAB=ACBC,

ACBC24

........................3分

AB~~5

,：BELCE,

，ZBED=9Q°.

"：NBDE=NCDF,

，NABE=NDCF.................................4分

24

CFV24

cosZ.ABE=cosZ.DCF--=-=一.............................5分

CD525

法二：是AB中点，AB=10,

二BD=-AB=5.......................................................3分

2

,•SMDC=/SgBC

在R3A8C中，由勾股定理得4C=J/R2一=J1()2-82=6.

SM*=—X6X8=24.

,SXBDC=12•

：.-BE-CD=12.

2

,:CD=5,

A

24

BE=—4分

5

•:BELCE,

：.ZBED=90°.

24

cosNABE=—=^-=—5分

BD525

四'解答题(本题共20分，每小题5分)

19.(本小题满分5分)

解：(1)由已知，得加工0且A=(m+2)--4x2/%=m2-4团+4=(〃2-2)2〉0,

；・加w0且加W2................................................2分

（2）原方程的解为、=如等也

2

，x=1或％=—......................................................3分

m

x2<0,

2

••X1—1,x?=—<0.

~m

/.m<0.

X?

m1

—>-l.

2

***ITI>—2.

又,/mw。且/nw2,

/--2<m<0...................................................4分

V/n是整数，

/.m=-1.......................................................5分

20.(本小题满分5分)

解:(1)y=(100-5x)(2x+4)=-10x2+180x+400......................2分

(14E0且x为整数).

22

(2)•：y=-lOx+18()x+400=-10(x-9)+1210.3分

又•.TWxWlO且x为整数，

...当X=9时，函数取得最大值1210.

答：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元.

5分

21.（本小题满分5分）

解：（1）连接0C.

与。。相切于点A,

J.FALAD.

,：四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,

J.FALBC.

经过圆心0,

尸是BC的中点，BE=CE,ZOEC=9Q°...........................1分

ZCOF^2ZBAF.

'：ZPCB=2ZBAF,

，NPCB=NCOF.

ZOC£+ZCOF=180°-ZOEC=90°,

ZOCE+ZPCB=90°.

J.OCIPC.

点c在。。上，

...直线PC是。O的切线......................................................................................2分

(2)：四边形ABC。是平行四边形，

.••8C=A£>=2.

：.BE=CE^\.

在RSA8E中，NAEB=90°,AB=y/10,

：.AE=dAB?-BE。=3.

设。。的半径为r,则OC=Q4=r,OE=3-r.

在RSOCE中，ZOEC=90°,

：.OC2=OE2+CE2.

：.r2=(3-r)2+l.

解得r=°............................................................................................................3分

3

,?ZCOE=ZPCE,ZOEC=ZCEP=90°.

：.40CES&CPE......................................................................................................4分

.OE_OC

"~CE~~CP'

1CP

23.（本小题满分7分）

k

解：(1),・•反比例函数y=—的图象经过点A(l,4),

x

：.k=4..........................................................1分

4

・••反比例函数的解析式为y=—.

x

4

•/反比例函数y二—的图象经过点B(m,拉)，

x

/.nm=4..........................................................2分

(2)；二次函数y=(x-l)2的图象经过点3(加,〃)，

/.鹿=(加一I)。.....................................................3分

/.n=nr-2〃z+l.

m2-2m=n-\.

由(1)得加?=4,

二原式=4m2—8m+12—4〃

=4(m2—2m)+12—4n

=4(/7—1)+12—4H

=8........................................................4分

4

(3)由(1)得反比例函数的解析式为y=—.

x

令丁=工，可得12=4,解得x=±2.

4

，反比例函数y=—的图象与直线y=x交于

x

点(2,2)，(—2,-2)......................5分

当二次函数y=a(x-i)2的图象经过点(2,2)时，可得。=2；

2

当二次函数y=fl(x-l)92的图象经过点(―2,—2)时，可得a=-士.

9

•:二次函数y=a(x一的顶点为(1,0),

2

由图象可知，符合题意的a的取值范围是0<。<2或。<一一........7分

9

(注：只写0<a<2或只写“<_2,减1分.)

9

24.(本小题满分7分)A

(1)AD+DE=4.........................................................1分

(2)①补全图形，如右图所示................2分

解：设DE与8C相交于点儿连接AE,

交3C于点G,如图.

.•ZADB=ZCDE=90°,

・・・ZADE=ZBDC,

在"OE与△8£)C中，

AD=BD,

</ADE=NBDC,

DE=DC,

MADEABDC..................................................3分ZXJ/

：.AE=BC,NAED=/BCD.4///

DE与3C相交于点H,:・NGHE=NDHC.FE

：./EGH=/EDC=9。。..................................................................................................4分

线段C8沿着射线CE的方向平移，得到线段ER

：.EF=CB=4fEF//CB.

：.AE=EF.CB//EF,：.ZAEF=ZEGH=90°,

AE=EFf^AEF=90°,^AFE=45°.

EFr-

：.AF=---------=4V2....................................................................................................5分

cos45

a

②AF=8sin1-...........................................................................................................7分

25.(本小题满分8分)

解：(1)①1;...................................................................