人教版高中数学必修2 全册教案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放

人教版数学必修二

第一章空间几何体重难点解析

第一章课文目录

1.1空间几何体的结构

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.3空间几何体的表面积与体积

重难点：

1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

知识结构:

•、空间几何体的结构、三视图和直观图

1.柱、锥、台、球的结构特征

(1)柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公

共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的

底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底

面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做

圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴：垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面：无论旋转到什

么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

(2)锥

棱锥：•般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所

围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫

做棱锥的侧面：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围

成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜

边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

(3)台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的

底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的

底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

(4)球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;

半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

(5)组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

几种常凸多面体间的关系

按侧棱与底面

是否垂直分类

正

按底面多边形分类四

棱

凸।三棱柱।।四佟柱।(]n

多

I-T直平行六面休卜

面

।平行士面彳升

体—斜平行六百殂♦

1正

方

■I正棱台I

体

-----、正多面体II正四面体I

一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质:

名称棱柱直棱柱正棱柱

图形淳国口

有两个面互相平侧棱垂直于底面底面是正多边形的

行，而其余每相的棱柱直棱柱

定义邻两个面的交线

都互相平行的多

面体

侧棱平行且相等平行且相等平行且相等

侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形

对角面的形状平行四边形矩形矩形

平行于底面的截面与底面全等的多与底面全等的多与底面全等的正多

的形状边形边形边形

名称棱锥正棱锥棱台正棱台

图形AAOO

有一个面是多底面是正多边用一个平行于由正棱锥截得

边形，其余各面形，且顶点在底棱锥底面的平的棱台

是有一个公共面的射影是底面去截棱锥，底

定义

顶点的三角形面的射影是底面和截面之间

的多面体面和截面之间的部分

的部分

相交于一点但相交于一点且延长线交于一相等且延长线

侧棱

不一定相等相等点交于一点

侧面的三角形全等的等腰三梯形全等的等腰梯

形状角形形

对角面三角形等腰三角形梯形等腰梯形

的形状

平行于与底面相似的与底面相似的与一底面相似的与底面相似的

底的截多边形正多边形多边形正多边形

面形状

高过底面中心；两底中心连线

侧棱与底面、侧即高；侧棱与底

其他性

面与底面、相邻面、侧面与底

质

两侧面所成角面、相邻两侧面

都相等所成角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质:

名称特殊性质

底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，

平行六面体

且被该点平分

侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交

直平行六面体

于一点，且被该点平分

底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，

长方体

且被该点平分

棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交

正方体

于一点，且被该点平分

2.空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括:

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的长度和宽度；

三视图画法规则：

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

3.空间几何体的直观图

（1）斜二测画法

①建立直角坐标系，在己知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,0Y,建立直角坐

标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的0^X',0.Y',使NX'。y=45°

（或135°）,它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X.轴，且长度

保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y,轴，且长度变为原来

的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

（2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点

的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观

图的画法可以归结为确定点的位置的画法.强调斜二测画法的步骤。

例题讲解：

［例1］将正三棱柱截去三个角（如图1所示A,B,C分别是△G"/三边的中点）

得到儿何体如图2,则该儿何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）

［例2］在正方体/式》〃中，E,尸分别为棱CC的中点，则在空间中与

三条直线4〃，EF,切都相交的直线（）

A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条

［例3］正方体ABCD_A|B|GD|的棱长为2,点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一

个动点，且满足PM=2,P到直线AQi的距离为石，则点P的轨迹是（）

人圆B.双曲线C.两个点D.直线

解析：点P到4D的距离为，则点P到AD的距离为1,满足此条件的P的轨迹

是到直线4D的距离为1的两条平行直线，

又「PM=2,.•.满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹

只有两个交点.

故点P的轨迹是两个点。选项为Co

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

［例4］两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱

锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各项卓均在正方体的面上，则这样的几何

体体积的可能值有（）

A.1个B.2个C.3个D.无穷多个

解析：山于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD

中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响儿何体体积的只能是正四棱锥底

面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体,

它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。

题型2：空间几何体的定义

［例5］长方体48CO-的8个顶点在同•个球面上，且AB=2,AD=也,

A4=1,则顶点A、B间的球面距离是（）

A.B.C.G■兀D.2叵兀

42

解析：•.•6£）1=4。|=2/?=2应，，/?=0,设

BD]nAC|=。,则OA=OB=R=&

nNAOB=%，：.l=R6=6•义工，故选

22

点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

［例6］已知直线m,n和平面a,夕满足mln,m±a,al夕，则()

A.n，°B.n〃夕，或〃u(3C.n±aD.n〃a，或〃ua

解析：易知D正确.

点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

题型3：空间几何体中的想象能力

［例7］如图所示，四棱锥P-ABCO的底面ABCO是边长为1的菱形，ZBCD=60°,

E是CD的中点，PAJ■底面ABCD,PA=。

(I)证明：平面PBE_L平面PAB；

△BCD是等边•:角形.因为E是CD的中点，所以

BE±CD,又A6//CD,所以BE上AB,

又因为PA1平面ABCD,BEU平面ABCD,

所以PAL8E,而PADA8=A，因此85_1_平|a1八13.

又BEu平面PBE,所以平面PBE1平面PAB.

(II)由(D知，8E_L平面PAB,PBu平面PAB,所以P8J.6E.

又AB_LBE,所以NPBA是二面角A-BE-P的平血角.

在RtAPAB中，tanNPBA=一=®NPBA=60°..

AB

故：面角A—BE-P的大小为60°.

解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是

A(0,0,0),5(1,0,0),C(|,*,0),亭,0),尸(0,0,6),E(l,#,0).

(I)因为丽=(0,火,0),平面PAB的一个法向量是，=(0,1,0),所以屁和%共线.

从而BE，平面PAB.又因为BEu平面PBE,所以平面PBE_L平面PAB.

(II)易知方=(1,0,-6),前=(0,曰,0),设点=(“m，&)是平面PBE的一个法向量,

x+0x%-64=0,

n.PB=0,}

则由仁_得《J3所以y=0,%=6%.

n「BE=0OxXjH——y]+0xZ]=0

故可取，=(6,0,1).而平面ABE的•个法向量是Z=(0,0,1).

..,,一一■1

卜是.COS<n.,”,>==—

-1/2,II/1J2

故二面角A-BE-P的大小为60°.

点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

［例8］如图，在三棱锥P-A8C中，AC=BC=2,4C5=90°,AP=BP=AB,

PC±AC.

(I)求证：PCIAB；

(II)求二面角8-AP—C的大小.

解析：

解法•：

(】)取A8中点。，连结尸力，CD.

AP=BP,

/.PDA.AB.

vAC=BC,

CD1.AB.

PDC\CD=D,

AB±平血PCD.

•.•PCu平面PC。，

/.PC±AB.

(II)•：AC=BC,AP=BP,

:.△APCmXBPC.

乂PCLAC,

/.PC±BC.

又ZAC8=90°,即ACL8C,且4。口尸。=。，

BC±平面PAC.

取AP中点E.连结BE,CE.

vAB=BP,/.BELAP.

•••EC是BE在平面PAC内的射影，

/.CE1AP.

・・・NBEC是:面角B-AP-C的平面角.

在△8CE中，ZBCE=90°,BC=2,BE=—AB=46.

2

.“EC上"

BE3

二面角B-AP-C的大小为arcsin

解法二：

(1)-：AC=BC,AP=BP,

:.△APCQXBPC.

乂尸CLAC,

PCIBC.

■：AC?\BC=C.

.•.PCJ_平面ABC.

A8u平面ABC,

/.PCLAB.

(11)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则C(0,0,0),4(0,2,0),5(2,0,0).

设P(0,0,t).

•：\PB\=\AB\=242,

.•"=2,P(0,0,2).

取AP中点E，连结6E,CE.

v|AC|=|PC|,\AB\=\BP\,

CELAP,BE1AP.

ZBEC是二面角B-AP-C的平面角.

vE(0,l,l),皮=(0,-1,-1),£5=(2,-1,-1),

ECEB_2_V3

:而角B-AP-C的大小为arccos

点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了

空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空

间想象能力的主要方向。

［例9］画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。

作法：

(1)画轴：画X',Y',Z'轴，使/X'O'Y'=45°(或135°),NX'O'Z'

=90°。

(2)画底面：按X'轴，Y'轴画正五边形的直观图ABCDE。

(3)画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z'轴的平行线，并在这些平行线上分

别截取AA',BB',CC',DD',EE。'

(4)成图：顺次连结A',B',C',D',F',加以整理，去掉辅助线，改被遮

挡的部分为虚线。

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

［例10］AA'8'C'是正AWC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若AA'8'C'的面积

为g,那么△ABC的面积为。

解析：2屈。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间

的对应关系。特别底和高的对应关系。

［例11］如图，在棱长为1的正方体4BCO-A'5'C'D'中，AP=BQ=b(0<b<l),截面

PQEF//ArD,截面PQGH//AD/.

(I)证明：平面PQEF和平面PQG”互相垂直；%_______cz

(II)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，器\、羽

并求出这个值；\I?

(III)若。'E与平面尸。所所成的角为45°,求。'E与平。吸一二一盟c

面「0G”所成角的正弦值.A/~

本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与

逻辑思维能力。

解析：

解法一：

(1)证明：在正方体中，AD'IA'D,AD'LAB,乂由已知可得

PF//AfD,PH//\D',PQ//AB,

所以PH工PF,PH1PQ.

所以P"1^-tinPQEF.

所以平面PQE尸和平面PQGH互相垂直.

(II)证明：山(I)知

PF=6AP,PH=gPA',又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=\,所以截面

PQEF和截面PQGH面积之和是

(y/2AP+y/2PAf)xPQ^y/2,是定值.

(III)解：连结8C'交EQ于点M.

因为PQ//AB,

所以平面ABCfDf和平面PQGH互相平行，因此O'E与平面PQGH所成角与。'E与平面

ABC'。'所成角相等.

与(I)同理可证E。，平面POG/Z,可知平面ABC'。'，因此EM与O'E的比值就

是所求的正弦值.

设AD'交PFT■点、N,连结EN,山F0=1-b知

D'E=7(1-^)2+2,N/X=#+争1—6).

因为A。'J_平面PQEF,又已知O'E।J平面PQEF成45°角,

所以D，E=3ND',即72q+学l-b)=&l-b¥+2,

解得匕=工，可知E为8c中点.

2

所以后时=字，又。E="(l-b)2+2=|,

FMJ1

故D%与平面尸。C”所成角的正弦值为㈱==

解法二：

以。为原点，射线04,DC,DD'分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系

C-xyz由已知得。Z7=1-8,故

41,0,0),4(1,0,1),0(0,0,0),Dz(0,0,l),

P(l,0,b),2(1,1,b),£(1-M,O),

F(l-b,O,O),G3，l,l),43,0,1).

(I)证明：在所建立的坐标系中，可得

PQ=(0,1,0)府=(-b,O,-b),

丽=(匕一1,0,1—匕)，

后=(-1,0,1),^5=(-L0,-1).

因为布而=0,正方=0,所以正是平面PQEF的法向髭.

因为行而=0,赤丽=0,所以彳万是平面PQGH的法向量.

因为而彳万=0,所以赤，ZF,

所以平面PQEF和平面PQG”互相垂直.

(II)证明：因为乔=(0,—1,0),所以即〃丽司=西，又而，而，所以PQE尸

为矩形，同理PQG”为矩形.

在所建立的坐标系中可求得两=&(1-6),忸同=伤，

所以|西+忸同=应，又忸0=1,

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为72,是定值.

(III)W：由已知得万万与访成45°角，又万万=(1一41,-1),初=(一1,0,1)可得

九而_b-2_V2

\DrE[AD'\伍/(13+22

即/2-h=1,解得你=上1.

「1-H+22

所以西=(g,l,—1),乂正=(一所以O'E与平面PQGH所成角的正弦值为

Icos<D^A'D>1=——=—.

9x86

2

点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活

性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

［例12］多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平

面a内，其余顶点在a的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到a的距离分别为1,2

和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面a的距离可能是：①3；②4；

③5；©6；⑤7

以上结论正确的为(写出所有正确结论的编号)

解析：如图，B、D、Ai到平面a的距离分别为1、

2、4,则D、Ai的中点到平面a的距离为3,所以D,

到平面a的距离为6；B、Al的中点到平面a的距离为

所以Bl到平面a的距离为5；则D、B的中点到

平面a的距离为所以c到平面a的距离为3；c、/y

7

Ai的中点到平面a的距离为一，所以G到平面a的距离为7；而P为C、G、B„5中的一

2

点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

［例13］（1）画出下列几何体的三视图

（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画

主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画

成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

［例14］某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三

个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而

俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据

此就不难得出该几何体的形状。

二、空间几何体的表面积和体积

1.多面体的面积和体积公式:

名称侧面积（SM）全面积（S至）体积（V）

棱棱柱直截面周长XIS底•h=S也赦而•h

S侧+2S底

柱直棱柱chS底•h

棱锥各侧面积之和

棱1°

S侧+S底—S底•h

锥正棱锥-ch)3

2

棱台各侧面面积之和

—h（S上底+S下底

棱3

S恻+S上底+S下底

台正棱台-(c+c')h'

2+Js下底，s下底）

表中S表示面积，c'、c分别表示上、下底面周长，h表斜rRj,h'表示斜局，1表示

侧棱长。

2.旋转体的面积和体积公式：

名称圆柱圆锥圆台球

S侧2nrlnrl人(ri+r2)1

222

S全2nr(1+r)nr(1+r)凯(ri+r2)1+3i(ri+r2)4nR

222223

Vnrh(BP五rl)—nrh—nh(ri+rir2+r2)-JtR

333

表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，n、n分别表示圆台

上、下底面半径，R表示半径。

3.探究柱、锥、台的体积公式：

1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高

也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积.

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高〃的积，即唳体=S〃.

2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等.棱锥的体积

公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为S,高为〃的棱柱的体枳

“棱锥=Sh，所以匕隹体=—Sh.

3、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底面

面积分别为S',S,高为〃，可以推得它的体积是l1体=；/7（S+扃+S'）.

4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：

「=S〃u（S'=S）*f（S+^+S'）（S'=O）nL="

4.探究球的体积与面积公式：

1.球的体积：

（1）比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积

结论：％锥＜丫半球＜丫圆柱

(2)利用“倒沙实验”，探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之

间的关系(课件演示)

结论：”球圆柱一V圆锥=成2成2.氏资成3

(3)得到半径是R的球的体积公式：

结论：="!"勿?3

2.球的表面积：

由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球

的表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢？(课件演示)

(1)若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小

块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时，这n小块平面面积之和接

近于甚至等于球的表面积.

(2)若每小块表面看作一个平面，将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n

个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积，当n趋近于无

穷大时就精确到等于球的体积.

(3)半径为R的球的表面积公式：

结论：S球=4冰2

例题讲解：

［例1］一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.

解析：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm,1cm

2(xy+yz+zx)=20(1)

依题意得：

4(x+y+z)=24⑵

由(2)2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

山(3)—(1)得x2+y2+z'=16

即尸=16

所以Z=4(cm)o

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表

面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的儿何要素(对角线、内切)与面积、

体积之间的关系。

［例2］如图1所示，在平行六面体ABCD—AiBQDi中,已知AB=5,AD=4,AA(=3,AB

71

±AD,ZA,AB=ZAiAD=y.

(1)求证：顶点A,在底面ABCD上的射影0在/BAD的平分线上;

(2)求这个平行六面体的体积。

解析：(1)如图2,连结AQ,则AQJ_底面ABCD。作OM_LAB交AB于M,作ON

J_AD交AD于N,连结A|M,A,No山三垂线定得得A|M_LAB,A,N±ADoVZA|AM=

ZAjAN,

ARtAA,NA^RtAA|MA,AAlM=AlN,

从而OM=ON。

...点O在NBAD的平分线上。

兀13

(2).AM=AA]Cos—=3X—=—

322

AM3n：

.♦.AO=--------=-V2。

n2

cos

4

99

乂在RtZiAOAi中，A1O2=AAr-AO2=9--=-

22

AQ=£2，平行六面体的体积为V=5x4x2也=3072。

22

［例3］•个长方体共一顶点的三个面的面积分别是遥，这个长方体对角线的长是

()

A.2A/3B.3V2C.6D.V6

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=l,b=®,c=6则对角线/的长为

1=y1a2+h2+c2=V6；答案D。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的儿何要素一棱长。

［例4］如图，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EBC将三棱柱分

成体积为VH5的两部分，那么V,：V2=

解析：设二棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,

则V=Vi+V2=Sho

•；E、F分别为AB、AC的中点,

AE8

SAAEF=-S,

4

Vi=-h(S+—S+JS•一)=—Sh

34V412

5

V=Sh-Vi=—Sh,

212

.".Vi：V2=7：5o

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应

关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。

题型3：锥体的体枳和表面积

［例5］（2006上海，19）在四棱锥P—ABCD中，底

面是边长为2的菱形，/DAB=60°,对角线AC与

BD相交于点O,PO1.平面ABCD.PB与平面ABCD

所成的角为60°,求四棱锥P-ABCD的体积？

解析：（1）在四棱锥P-ABCD中，由POL平面

ABCD,得NPBO是PB与平面ABCD所成的角，

ZPBO=60°»

在RtAAOB中BO=ABsin30°=l,由PO±BO,

尸是PO=BOtan600=V3，而底面菱形的血枳为2g

.,.四棱锥P-ABCD的体枳V」x2百xg=2。

3

点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力

方面主要考查空间想象能力。

［例6］（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,S.AC=BC=5,

SB=55（如图所示）5

（I）证明：SCJ_BC；

（II）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；\X.

（III）求三棱锥的体积匕-ABC。

解析：（I）证明：VZSAB=ZSAC=90°,

.'.SA±AB,SA_L4C。皿

图

又A8A4c=4,

平面ABC.

由于乙4cB=90°,BPBC1AC,由三垂线定理，得SCJ_BC。

（II）'：BCVAC,SCVBC.

：.ZSCA是侧面SCB与底面ABC所成湎角的平面角。

在RtZkSCB中，BC=5,SB=5由,得SC=dSB?-BC?=10。

在RtZiSAC中AC=5,SC=10,cosSCA=-=-=-

SC102

，NSCA=60°,即侧面58c与底面48c所成的二面角的大小为60°。

(III)解:在RtZ\S4C中，

•；SA=yISC2-AC2=V102-52=775,

125

•AC-BC=-X5X5=—,

22

.1.125^12573

•S4ACB•SA=­X—X,75=--------

326

点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的

洞察力，并进行一定的逻辑推理。

题型4：锥体体积、表面积综合问题

［例7］ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD

所在的平面，且GC=2,求点B到平面EFC的距离？

解析：如图，取EF的中点O,连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B—EFG。

设点B到平面EFG的距离为h,BD=4J5,EF=272,CO=-X472=372。

GO=yJC02+GC2=7(3A/2)2+22=718+4=姨“

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。

由VpEFG=兀EFB，得工EF•GO•h=•

o-crOU-ETD''$3ZXcro

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B

为顶点，4EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯性列方

程是解这类题的方法，从而简化了运算。

［例8J（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD

中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都

相切的球）球心0,且与BC,DC分别截于E、F,

如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四

棱锥A—BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是8,

S2,贝I」必有（）

A.Si<SaB.Si>S2

C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定

解析：连OA、OB、OC、OD,

则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD

VA-EFC=VQ-ADC+VQ-AEC+VQ-EFC又VA-BEFD=VA-EFC，

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD+SABE+SBBFD=SADC+SAEC

+SEFC又面AEF公共，故选C

点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、

表面积首先要转化好平面图形与空间儿何体之间元素间的对应关系。

[例9](2002北京理，18)如图9一24,在多面体ABCD—ASCQi中，上、下底面平行且

均为矩形，相时的侧面与同•底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E,尸两点，

上、下底面矩形的长、宽分别为c,d与a,b,且a>c,h>d,两底面间的距离为力。

(I)求侧面AB&Ai与底面ABC。所成二面角的大小；

(II)证明：EF〃面ABCO；

(III)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式乙尸Sw则•h来计算,已知它的体

h

积公式是(SI：底向+45中俄而+SF底而)，试判断V他与V的大小关系，并加以证明。

(注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面)

(I)解：过BCi作底面48co的垂直平面，交底面于尸

过当作8|G_LPQ,垂足为G。

如图所示：：平面ABCD〃平面4|B|CNi，NA|81G=90°,

C.ABLPQ,AB±BtP.

:.NB\PG为所求二面角的平面角.过G作CxHA.PQ,垂足为

凡由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形BFQCi

为等腰梯形。

；.PG=；(b-d),又BiG=h,：.tanBPG=2h

}-----Cb>d\

b-d

2h2h

N8|PG=arctan-----,即所求二面角的大小为arctan------

b-db—d

(II)证明：C£>是矩形ABC。的一组对边，有AB〃CD,

又CD是面ABCD与面CDEF的交线，

."8〃面CDEF.

,:EF是面ABFE与面CDEF的交线，

J.AB//EF.

「AB是平面A8C。内的一条直线，EF在平面A8CO外，

：.EF//l&ABCDo

(III)V(A<VO

证明：a>c,b>d,

h,,,a+cb+d、a+cb+d,

：.V-VM=—(zcd+ab+4-丁)一------------h

22

hr.r

=—12cd+2ab+2(a+c)(b+d)—3(a+c)(b+4)]

12

h

—(〃一c)(b-d)>0o

12

.,.Vw<Vo

点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则

几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算

公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了

考生继续学习的潜能。

[例10]（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S',中截面的面积是So,那么

（）

7

A.2/S^=y[S+VFB.So=\/~SSC.2so=5+5'D.S^=2S'S

（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体

积为（）

A.328B.2873C.24V3