2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式（解析版）

第01讲任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：题型篇 2题型一：重点考查终边相同的角的集合 2题型二：重点考查象限角 4题型三：重点考查确定倍角（分角）所在象限 6题型四：重点考查区域角 8题型五：重点考查角度制与弧制度 12题型六：重点考查弧长与扇形面积 13题型七：重点考查任意角的三角函数 16题型八：重点考查同角三角函数的基本关系 18角度1：①②③相互转化 18角度2：商数关系（与分式或多项式求值） 23题型九：重点考查诱导公式的综合应用 26第二部分：易错篇 31易错点一：忽略角逆时针旋转为正，顺时针旋转为负 31易错点二：已知求多项式值时忽略要先化为分式 32第一部分：题型篇题型一：重点考查终边相同的角的集合典型例题例题1．（2023春·湖南衡阳·高一校考阶段练习）下列与角的终边一定相同的角是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A项，因为，故A项错误；对于B项，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，对于C项，因为，故C项正确；对于D项，因为，故D项错误.故选：C.例题2．（2023春·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）―2023°的终边在第_________象限.【答案】二【详解】因为，而，所以的终边在第二象限.故答案为：二.例题3．（2023春·高一课时练习）（1）写出与角终边相同的角的集合；（2）把角写成的形式，并指出其是第几象限角；（3）若角且，求角．【答案】（1）；（2），第四象限角；（3）.【详解】（1）由终边相同的角的概念得：．（2）∵，而是第四象限角，∴是第四象限角．（3），又且，∴取得，．精练核心考点1．（2023春·四川甘孜·高一校考阶段练习）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】C【详解】对于A，B，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确；又与角的终边相同的角的表达式可以为（）或（），对于，令，表示的角为与角的终边不相同，故C正确，D错误，故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为与是终边相同的角，故与角的终边相同的角可表示为，C正确；对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，故选：C3．（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）在内与终边相同的角是______．【答案】，【详解】与终边相同的角记为，当时，；当时，；∴在内与终边相同的角有，．故答案为：，题型二：重点考查象限角典型例题例题1．（2023春·山东济宁·高一济宁一中校考期中）若，则角的终边在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】C【详解】因为，所以在所在的象限一正一负，所以角的终边在第三、四象限.故选：C.例题2．（2023春·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知角，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】因为，所以α终边在第二象限.故选：B例题3．（多选）（2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）以下各角中，是第二象限的是（

）A． B． C． D．2【答案】ABD【详解】由象限角的定义可知，选项A：，是第二象限角，所以是第二象限角，A正确；选项B：，是第二象限角，所以是第二象限角，B正确；选项C：为第四象限角，C错误；选项D：2为第二象限角，D正确；故选：ABD精练核心考点1．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】解：因为，，故2023°为第三象限角，故，因为8与终边相同，又，故8是第二象限角，故，则点在第三象限.故选：C.2．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考期中）已知为第二象限的角，则所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限【答案】D【详解】由为第二象限的角，即所以所以所以当为偶数时，设，则，所以此时在第二象限.当为奇数时，设，则所以此时在第四象限.故选：D3．（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考开学考试）若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.详解：若是第一象限角，则：位于第一象限，位于第二象限，位于第四象限，位于第三象限，本题选择C选项.题型三：重点考查确定倍角（分角）所在象限典型例题例题1．（多选）（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考期末）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C选项错误；因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选：AB.例题2．（2023春·四川资阳·高一四川省乐至中学校考阶段练习）已知角是第三象限角，则终边落在（

）A．第一象限或第二象限 B．第二象限或第三象限C．第二象限或第四象限 D．第一象限或第三象限【答案】C【详解】由题得，所以，当时，终边落在第二象限，当时，终边落在第四象限，当时，终边落在第二象限，当时，终边落在第四象限，所以终边落在第二象限或第四象限.故选：C例题3．（2023·高一课时练习）设角属于第二象限且，则角属于第__________象限．【答案】三【详解】解：∵是第二象限角，∴在第一象限或在第三象限，∵，∴角在第三象限．故答案为：三．精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知是第一象限角，那么可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】AC【详解】解：是第一象限角，，，，，当取偶数时，是第一象限角，当取奇数时，是第三象限角，故选：AC．2．（2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试）若为第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角【答案】D【详解】因为为第一象限角，所以，所以，当时，，属于第一象限角，排除B；当时，，属于第三象限角,排除AC；所以是第一或第三象限角故选：D3．（2023·高一课时练习）若是第三象限角，则是第_________象限角．【答案】二【详解】因为是第三象限角，所以的终边在第三象限，又的终边与的终边关于轴对称，所以的终边在第二象限，所以是第二象限角，故答案为：二.题型四：重点考查区域角典型例题例题1．（2023春·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.【答案】【详解】因为，，结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为.故答案为:.例题2．（2023·高一课时练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．【答案】【详解】终边在直线OM上的角的集合为：．同理可得终边在直线ON上的角的集合为，所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为．故答案为：例题3．（2023春·高一课时练习）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.精练核心考点1．（2023春·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．【答案】【详解】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且，所以阴影部分角的集合是.故答案为：2．（2023春·高一课时练习）已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围．【答案】【详解】解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为．3．（2023·全国·高一专题练习）写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.【答案】(1);(2);(3).【详解】（1）终边在边界上的角为，，终边在阴影部分的角满足：，所求角的集合为（2）终边落在边界上的角为，，终边落在坐标轴上的角，，终边落在阴影区域内的角为，故所求角的集合为，（3）终边落在边界上的角为，，，终边在阴影部分的角满足：，故所求角的集合为题型五：重点考查角度制与弧制度典型例题例题1．（2023春·陕西西安·高一校考开学考试）把化为弧度为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，故选：B例题2．（2023·高一单元测试）将75°角化为弧度制为______弧度．【答案】/【详解】因为，所以.故答案为：精练核心考点1．（2023·高一课时练习）把化成角度制是（

）A．36° B．30° C．24° D．12°【答案】A【详解】由角度制与弧度制的互化知，，所以，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的锐角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由图可知，该时刻的时针与分针所夹的锐角为．故选：B.题型六：重点考查弧长与扇形面积典型例题例题1．（2023春·江西·高一校联考期中）已知一扇形的面积为8，所在圆的半径为2，则扇形的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】由题知：由扇形的面积，且，为弧长，所以弧长，则扇形的周长为12．故选：D例题2．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知扇形的周长为10cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（

）A．1或4 B．或8 C．1 D．【答案】D【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为.由已知可得，，解得或.当时，，舍去；当时，.综上所述，.故选：D.例题3．（2023春·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）若扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的面积为__________.【答案】【详解】设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，，.所以扇形的面积为.故答案为：例题4．（2023·高三课时练习）已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】当扇形的半径为，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是.【详解】设扇形的半径是，扇形的弧长为，圆心角的弧度数是，则，.扇形的面积，可得当时，，又，所以.所以，当扇形的半径为，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是.精练核心考点1．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去），由弧长公式，故选：B2．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，由题有，则，当时取等号.故选：D3．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，设第段圆弧的半径为，则可得，故数列是以首项，公差的等差数列，则，则“蚊香”的长度为.故选：D.题型七：重点考查任意角的三角函数典型例题例题1．（2023春·北京·高一北京师大附中校考期中）已知角的终边上一点，且，则等于（

）A． B．3 C．-3 D．【答案】B【详解】由三角函数的定义可得：.故选：B例题2．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知角的终边经过点，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选：A例题3．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由点在单位圆上，则，解得，由锐角，即，则，故，所以.故选：D例题4．（2023春·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）在直角坐标系中，角的始边为的正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点，则__________.【答案】【详解】由于角的终边经过点，所以，故答案为：.精练核心考点1．（2023春·重庆·高一西南大学附中校考期中）已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为角的终边经过点，所以，故选：D2．（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角，故，所以.故选：B3．（2023春·广西钦州·高一校考阶段练习）设，角的终边经过点，则的值等于（

）A． B．－ C． D．－【答案】B【详解】.由三角函数的定义：，当时，，故选：B4．（多选）（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】角的终边与单位圆交于点，，，，当时，；当时，．故选：AC.题型八：重点考查同角三角函数的基本关系角度1：①②③相互转化典型例题例题1．（2023春·北京·高一大峪中学校考期中）若是的一个内角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，即，，则，故选：C.例题2．（2023春·河南南阳·高一统考阶段练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为①，两边平方得，故，所以与异号，又，所以，，所以②，由①②解得，所以．故选：C例题3．（多选）（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】因为，所以，因为，所以，所以有，因此，因此选项A正确；因为，所以因此选项D正确；所以有，因此选项BC不正确，故选：AD例题4．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知.(1)若，则的值；(2)若为三角形的内角，则的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为,即所以,所以，又，故所以，所以.（2）联立,消去得，即，又，所以，解得:或(舍去).所以，所以.精练核心考点1．（2023·山西·统考二模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即，所以.因为，所以，所以.因为，所以.故选：B.2（多选）．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）已知，，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】AB【详解】由可得，即，即,,,当时，；当时，.故选：AB.3．（2023春·江西·高一江西师大附中校考期中）已知是关于x的一元二次方程的两根，则__________，m＝________.【答案】//【详解】因为是关于x的一元二次方程的两根，则，即，显然，又，即，于是，解得，而当时，方程的两根为，满足，符合题意，所以，.故答案为：；4．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）若角是三角形的一个内角，且，则_________．【答案】【详解】因为角是三角形的一个内角，所以，又，所以，所以，因为，所以.故答案为：.角度2：商数关系（与分式或多项式求值）典型例题例题1．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】故选：C.例题2．（2023春·江苏连云港·高一校联考期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以.故选：D.例题3．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）已知，并且是第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，且是第二象限角，则，所以.（2）由（1）知，，所以.例题4．（2023春·四川内江·高一威远中学校校考期中）已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)3(2)【详解】（1）因为角终边经过点，所以；（2）．精练核心考点1．（2023春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）已知，则（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【详解】因为，所以，故选：B.2．（2023春·江苏常州·高一统考期中）已知为第二象限角，且满足．求值：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)【详解】（1）若为第二象限角，则．又因为，故．．（也可以由得，．）（2）.3．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知，且满足.求：(1)的值；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）已知，且满足,平方得,所以，∴，，.联立，解得，，；（2）；（3）.4．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知，且，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）由，解得或，又因为，，则；（2）.题型九：重点考查诱导公式的综合应用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．【答案】7【详解】因为，且，所以，所以．所以．故答案为：7.例题2．（2023春·江西·高一校联考期中）已知角的始边为轴非负半轴,终边过点.(1)求的值.(2)已知角的始边为轴非负半轴,角和的终边关于轴对称,求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知,则,所以.（2）因为角和的终边关于轴对称,所以,,所以.例题3．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）计算下列两个小题(1)计算；(2)已知角终边上有一点，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）因为角终边上有一点，所以，，，所以.例题4．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）．（2）∵为第三象限角，且，∴，．精练核心考点1．（2023春·江西·高一校联考期中）已知.(1)若角的终边经过点，，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)2(2)3【详解】（1），因为角的终边经过点，，所以.（2）由（1）知，所以.2．（2023春·贵州毕节·高一校考期中）已知是第三象限角，且，求的值．【答案】【详解】，，又是第三象限角，解得，.3．（2023春·湖南·高一桃江县第一中学校联考期中）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由题意知，，∴，；（2）原式，由（1）知，，∴．4．（2023春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）已知角的始边为轴非负半轴，终边过点.(1)求的值；(2