2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第04讲 利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题（原卷版）

第04讲利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题目录TOC\o"1-2"\h\u第04讲利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 1第一部分：题型篇 1题型一：重点考查单变量恒成立问题 1题型二：重点考查单变量能成立问题 8题型三：重点考查型恒成立问题 13题型四：重点考查型能成立问题 21题型五：重点考查型双变量不等式问题 26第二部分：方法篇 33方法一：分离变量法 33方法二：分类讨论法 36第一部分：题型篇 题型一：重点考查单变量恒成立问题典型例题例题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）当时，不等式恒成立，则的范围为______.例题2．（2023·全国·高三专题练习）设函数．(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的值．例题3．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知函数，．(1)当，求的单调递减区间；(2)若在恒成立，求实数的取值范围．例题4．（2023春·福建三明·高二三明一中校考期中）已知函数（，）．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围．精练核心考点1．（2023春·河南郑州·高二校考期中）若在上恒成立，则实数的取值范围为___________.2．（2023春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设函数．(1)求的增区间；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．3．（2023春·重庆·高二校联考期中）已知函数.(1)求的极值；(2)若恒成立，求的取值范围.4．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数．(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．题型二：重点考查单变量能成立问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·湖北·高二武汉市第六中学校联考期中）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．（1）求函数；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．例题4．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，其中、、为常数．(1)试确定、的值；(2)若存在，不等式有解，求的取值范围．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·北京顺义·高二北京市顺义区第一中学校考期中）已知函数.(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；(2)求函数的单调区间；(3)若存在，使得，求a的取值范围．4．（2023·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）已知函数.(1)若是的极值点，确定的值；(2)若存在，使得，求实数的取值范围.题型三：重点考查型恒成立问题典型例题例题1．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围．例题2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数.(1)当时，讨论的单调性.(2)设，当时，有，求的取值范围.例题3．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围.例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（）(1)求在点处的切线方程(2)若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．精练核心考点1．（2023·河南周口·高二扶沟县高级中学校考阶段练习）已知函数，．(1)函数的单调区间；(2)求的最小值；(3)若恒成立，求实数的取值范围．2．（2023·河南安阳·统考二模）已知函数，．(1)若曲线有两条过点的切线，求实数m的取值范围；(2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值集合．3．（2023春·山东威海·高二校考阶段练习）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围.4．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围是________．题型四：重点考查型能成立问题典型例题例题1．（2023·高二课时练习）已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·湖南永州·高二校考阶段练习）已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，函数在上为增函数，且．(1)当时，求函数的单调区间和极值;(2)求的值;(3)若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）当时，已知，，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·高二北师大二附中校考阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值.(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.3．（2023春·天津宝坻·高二天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是__________．题型五：重点考查型双变量不等式问题典型例题例题1．（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（

）A．7 B．5 C． D．3例题2．（2023·上海金山·统考二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．例题4．（2023·全国·高二假期作业）已知函数(1)若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；(2)设函数，若，总有成立，求的取值范围．精练核心考点1．（2023春·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是________．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是____．3．（2023春·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数(1)讨论的单调区间；(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.4．（2023·北京·高三校考阶段练习）已知函数(1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.第二部分：方法篇方法一：分离变量法典型例题例题1．（2023春·广西梧州·高二苍梧中学校考阶段练习）已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为______.例题2．（2023春·北京·高二北京五十五中校考阶段练习）已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)求证：当时，.(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.例题3．（2023春·山西运城·高