2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第04讲 数列求和（原卷版）

第04讲数列求和目录TOC\o"1-3"\h\u题型一：倒序相加法 2题型二：分组求和法 3题型三：裂项相消法 5角度1：等差型 5角度2：无理型 6角度3：指数型 6角度4：通项裂项为“”型 7题型四：错位相减法 11角度1：乘型 11角度2：除型 12角度3：混合求和 13题型五：奇偶项讨论求和 15角度1：通项公式为分段式 15角度2：通项公式为型 16题型六：插入新数列 19角度1：插入新数列构成等差 19角度2：插入新数列构成等比 20角度3：插入新数混合 21题型七：其他类型求和 23角度1：通项含绝对值 23角度2：通项含取整函数 23题型一：倒序相加法典型例题例题1．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，则__________；数列满足，则这个数列的前2015项的和等于__________.例题2．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为___________.例题3．（2023·全国·高二专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前项和_________．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，设函数，则___________，___________.2．（2023·高三课时练习）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______.题型二：分组求和法典型例题例题1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）设数列的前项和满足，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式与前项和.例题2．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和.例题3．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）数列的前项和满足，且．(1)求；(2)设，求数列的前项和．精练核心考点1．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.2．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)设数列满足：，记的前项和为，求.3．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）设等比数列{}的前n项和为，且(1)求数列{}的通项公式；(2)设数列{}的前2n项和为，求.题型三：裂项相消法角度1：等差型典型例题例题1．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求正整数的值.例题2．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列中，，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)记数列，求数列的前项和.例题3．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知在等差数列中，..(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.角度2：无理型典型例题例题1．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：当时，．例题2．（2023·河北·校联考模拟预测）在各项均为正数的数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若，的前项和为，证明：．角度3：指数型典型例题例题1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.例题2．（2023·全国·高三专题练习）设是公差不为零的等差数列，已知，为，的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；例题3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且．当时，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．角度4：通项裂项为“”型典型例题例题1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前项和为，已知，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.例题2．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，且满足.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前10项和.题型三精练核心考点1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，且，，成等比数列．(1)求通项公式；(2)令，求数列的前项和；2．（2023春·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）设数列是公差为的等差数列，已知，(1)求数列的通项公式；(2)若，且的前n项和为，求.3．（2023·天津和平·统考三模）已知等比数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；(3)记，求证：.4．（2023·山西·校联考模拟预测）在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．已知数列的前n项和．(1)证明：数列是等差数列；(2)若，设___________，求数列的前n项和．5．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知为数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：．6．（2023·贵州遵义·统考三模）已知为数列的前项和，且满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.7．（2023春·河北·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.8．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）设正项数列的前n项和为，已知，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．9．（2023春·江西赣州·高三江西省信丰中学校考阶段练习）已知数列，，满足为数列的前n项和，．(1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．题型四：错位相减法角度1：乘型典型例题例题1．（2023·重庆万州·统考模拟预测）在①；②，与都是等比数列；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知数列的前项和为，且______．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．例题2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知数列的前项和为，，；数列中，，．(1)求数列﹑的通项公式和；(2)设，求数列的前项和；角度2：除型典型例题例题1．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，请从以下三个条件中选择一个完成解答.①数列是首项为2的单调递减的等比数列，且成等差数列；②；③.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.例题2．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.角度3：混合求和典型例题例题1．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知数列的前项和为，且.(1)求，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.例题2．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．(1)求数列，数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．题型四精练核心考点1．（2023·河南·校联考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知数列的首项为1，前项和；(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）记数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)对任意，求数列的前项和.4．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列前n项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足(1)的通项公式；(2)若，求数列的前项和．题型五：奇偶项讨论求和角度1：通项公式为分段式典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比，前项和为，满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.例题2．（2023·江苏·统考模拟预测）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前40项和.例题3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设数列满足求的前项和.角度2：通项公式为型典型例题例题1．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知数列的首项，其前项和为，且满足．(1)求；(2)设，求数列的最大项．例题2．（2023春·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列的前项和为，若，．(1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．(2)记，的前项和为，求．例题3．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．题型五精练核心考点1．（2023·浙江·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)设且，求数列的前n项和为．2．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，且点在函数的图像上．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．4．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列满足（n≥2，），．(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和．5．（2023·全国·模拟预测）记为正项数列的前项和，已知．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．6．（2023·全国·高三专题练习）记为正项数列的前n项和，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．题型六：插入新数列角度1：插入新数列构成等差典型例题例题1．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证数列的前项和.例题2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．例题3．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前项和，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.角度2：插入新数列构成等比典型例题例题1．（2023·全国·高三对口高考）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为__________.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和记为（），满足．(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求．角度3：插入新数混合典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，．记，若成立，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9例题2．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.精练核心考点1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．(1)求；(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．2．（2023·全国·高三专题练习）为数列的前n项和，已知．(1)证明：；(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和．3．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)保持中各项的先后顺序不变，在与之间插入个，构成新数列，求数列的前24项和.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新