2025版新教材高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换导学案新人教A版必修第一册

5.5.2简洁的三角恒等变换【学习目标】(1)能用二倍角公式推导出半角公式，并进行简洁的应用．(2)能运用两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简洁的恒等变换．(3)驾驭三角恒等变换在三角函数中的应用．题型1半角公式【问题探究1】(1)我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，则能得到什么结论？(2)依据上述结果，试用cosα表示sinα2，cosα2，tan例1已知sinθ＝45，且5π2<θ<3π，求sinθ2，cos题后师说利用半角公式求值的步骤跟踪训练1已知π＜θ＜2π，且cosθ＝－45，则tanθA．－3B．3C．－13D．题型2三角函数式的化简、证明例2已知π<α<3π2，化简：学霸笔记：化简、证明问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先找寻式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消退角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：视察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：视察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．跟踪训练2求证：2sinxcos题型3协助角公式的应用【问题探究2】(1)请同学们依据两角和与差的正弦公式合并式子：sinx±cosx，sinx±3cosx，cosx±3sinx．(2)一般地，对于y＝asinx＋bcosx，如何进行合并呢？例3已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos(2x－π6)＋cos(2x＋π6)，x∈(1)求fπ12(2)求函数f(x)在区间[π2学霸笔记：解此类问题首先利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式、协助角公式化简已知函数式，转化为正弦(余弦)型函数，再探讨三角函数的性质．跟踪训练3已知函数f(x)＝sinxcosx－32(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在[0，π2题型4三角恒等变换的实际应用例4(见教材5.5.2例10)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3学霸笔记：(1)解答此类问题，关键是合理引入协助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关学问求解．(2)在求解过程中，要留意三点：①充分借助平面几何性质，找寻数量关系．②留意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．跟踪训练4如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最大？随堂练习1.已知cosα＝－15，πA．－105B．C．－155D．2．函数f(x)＝sinx2＋cosxA．2π和2B．2π和2C．4π和2D．4π和23．已知α∈(π，3π2)，则A．sinα2B．cosC．－sinα2D．－cos4．若函数y＝2sinx＋acosx的最大值为3，则a的值为________．课堂小结1.半角公式的推导．2．利用半角公式解决三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．协助角公式的推导．4．利用协助角公式探讨三角函数的性质．5．协助角公式在实际问题中的应用．5．5.2简洁的三角恒等变换问题探究1提示：(1)cosα＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin(2)∵cos2α2＝1+cosα2，∴cosα同理sinα2＝±1tanα2＝sinα2例1解析：∵sinθ＝45，5∴cosθ＝－1-sin2∵5π4<θ2<3π2，∴sinθ2cosθ2＝－1+cosθ2＝－55跟踪训练1解析：因为π＜θ＜2π，所以π2<θ2<π，所以tanθ2＝－1答案：A例2解析：原式＝sinα2+∵π<α<3π2，∴π2<α∴cosα2<0，sinα∴原式＝sin＝－sin＝－2cosα2跟踪训练2证明：左边＝2＝2sinx＝sinx2sin＝2cos2x所以原等式成立．问题探究2提示：(1)sinx±cosx＝2sin(x±π4)，sinx±3cosx＝2sin(x±π3)，cosx±3sinx＝2sin(π6(2)第一步：提常数，提出a2+b2，得到a2+b2×(其次步：定角度，确定一个角φ满意cosφ＝aa2+b2，sinφ＝ba2+b2，得到第三步：化简、逆用公式得asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋φ)，其中tan例3解析：(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋cos(2x－π6)＋cos(2x＋π＝sin2x＋cos2xcosπ6＋sin2xsinπ6＋cos2xcosπ6－sin2＝sin2x＋3cos2x＝2(12sin2x＋32cos2＝2sin(2x＋π3∴fπ12＝2sin(2×π12+(2)∵π2≤x≤π，∴4π3≤2x所以当4π3≤2x＋π3≤3π2时，即π2≤当3π2≤2x＋π3≤7π3时，即7故f(x)在区间[π2，π]上的单调递减区间为[π2，跟踪训练3解析：(1)f(x)＝sinxcosx－32cos2＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－∴f(x)的最小正周期T＝2π(2)当0≤x≤π2时，－π3≤2x－∴－32≤sin(2x－π3)≤1，∴－32≤f即f(x)在[0，π2]上的值域为[－3例4解析：在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.在Rt△OAD中，DAOA＝tan60°＝3所以OA＝33DA＝33BC＝33AB＝OB－OA＝cosα－33sinα设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝(cosα－33sinα)sin＝sinαcosα－33sin2＝12sin2α－36(1－cos2＝12sin2α＋36cos2α＝13(32sin2α＋1＝13sin(2α＋π6)－由0<α<π3，得π6<2α＋π6所以当2α＋π6＝π2，即α＝S最大＝13-3因此，当α＝π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为3跟踪训练4解析：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝2Rsin(α＋π4)＋R∵0<α<π2，∴π4<α＋π4∴l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝故当α＝π4时，△OAB[随堂练习]1．解析：∵π2＜α＜π，∴π4＜α2＜π2，∵cosα＝－15，∴sinα答案：D2．解析：∵f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sin(x2