2025版高考数学一轮总复习专题检测15不等式选讲

专题十五不等式选讲解答题1.(2024届四川期中,23)已知函数f(x)=|x+a|+x-2a,且(1)当a=1时,求f(x)≤7的解集;(2)当a<0时,求证:f(x)≥22.解析(1)因为a=1,所以f(x)=|x+a|+x-2当x<-1时,1-2x≤7,所以-3≤x<-1;当-1≤x<2时,3≤7恒成立,所以-1≤x<2;当x≥2时,2x-1≤7,所以2≤x≤4.综上所述,当a=1时,f(x)≤7的解集是{x|-3≤x≤4}.(2)证明:|x+a|+x-2a≥x因为a<0,所以-a>0,-2a所以a+2a=-a+2a=(-a)+-2a≥2.(2024届长春质检,23)已知函数f(x)=|x-2|+|x-a|.(1)当a=3时,求不等式f(x)>5的解集;(2)若∀x∈[1,2],f(x)≥|x-4|,求实数a的取值范围.解析(1)当a=3时,f(x)=5-2x,x≤2,解得x<0或x>5,所以不等式的解集为{x|x<0或x>5}.(2)∀x∈[1,2],f(x)≥|x-4|等价于2-x+|x-a|≥4-x,等价于∀x∈[1,2],|x-a|≥2,即∀x∈[1,2],a≤-1或a≥4,从而实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}.3.(2024届河南焦作模拟,23)设函数f(x)=|x-1|-|2x+1|.(1)解不等式:f(x)≥-2;(2)设f(x)的最大值为m,关于x的不等式x2-ax+2>0在13,m上恒成立,求实数解析(1)当x≤-12时,1-x-[-(2x+1)]≥-2,解得x≥-4,所以-4≤x≤-1当-12<x≤1时,1-x-2x-1≥-2,解得x≤23,所以-12<x当x>1时,x-1-2x-1≥-2,解得x≤0,所以无解.综上,原不等式的解集为x-(2)∵f(x)=x+2,x≤-12,-3x,-12<x≤1,-x-2,x又∵x+2x≥2x·2x=22(当且仅当x=2时等号成立),∴a4.(2024届吉林顶级名校期中,23)已知函数f(x)=|2x+1|-|x|.(1)解不等式f(x)≥0;(2)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.解析(1)①当x≤-12时,-1-2x+x≥0⇒x≤-1,所以x≤②当-12<x<0时,2x+1+x≥0⇒x≥-13,所以-1③当x≥0时,2x+1-x≥0⇒x≥-1,所以x≥0.综上,不等式的解集为(-∞,-1]∪-1(2)f(x)≤|x|+a即|2x+1|-2|x|≤a,∴x+12-|x|由已知得a2≥x+12-|x|min,又x+12-|∴a2≥-12,即a故实数a的取值范围是[-1,+∞).5.(2024届四川绵阳质检,23)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.解析(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=-当2<x<5时,-3<2x-7<3.所以-3≤f(x)≤3.(2)当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15即x2-8x+15≤-3,其解集为空集;当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15即x2-8x+15≤2x-7,所以5-3≤x<5,故解集为{x|5-3≤x<5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15即x2-8x+15≤3,所以5≤x≤6,故解集为{x|5≤x≤6}.综上,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-3≤x≤6}.6.(2024届江西六校联考,23)设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.(1)求不等式f(x)≤9的解集;(2)设f(x)的最小值为m,正数a、b、c满意a+b+c=m,求证:b2a+c2b解析(1)∵f(x)=2|x-1|+|x+2|=-3x,x≤-2,-x+4,-2<x<1,3x,x≥1,∴当当-2<x<1时,由f(x)≤9,得-x+4≤9,解得x≥-5,此时-2<x<1;当x≥1时,由f(x)≤9,得3x≤9,解得x≤3,此时1≤x≤3.综上,不等式f(x)≤9的解集为[-3,3].(2)证明:由(1)可知当x≤-2时,f(x)=-3x≥6;当-2<x<1时,f(x)=-x+4∈(3,6);当x≥1时,f(x)=3x≥3.∴函数f(x)的最小值m=3,则a+b+c=3.∵a,b,c均为正数,∴b2a+a≥2b,c2b+b≥2c,a2c+c∴b2a+c2b+∴b2a+c2b+a7.(2024届四川名校联盟,23)已知函数f(x)=4x(1)若m=2,求不等式f(x)≤6的解集;(2)若存在x0∈R,使不等式f(x0)≤m2成立,求实数m的取值范围.解析(1)若m=2,则f(x)=|2x+2|+|2x-2|,即f(x)=-当x≤-1时,-4x≤6,则-32≤x≤当-1<x<1时,4≤6恒成立,则-1<x<1;当x≥1时,4x≤6,则1≤x≤32综上,当m=2时,不等式f(x)≤6的解集为x-(2)f(x)=4x存在x0∈R,使不等式f(x0)≤m2成立,只须要f(x)min≤m2,∵|2x+m|+|2x-2|≥|(2x+m)-(2x-2)|,即f(x)≥|m+2|,等号成立的条件为(2x+m)(2x-2)≤0,∴m2≥|m+2|.当m≥-2时,m2≥m+2,即(m-2)(m+1)≥0,∴m≥2或-2≤m≤-1;当m<-2时,m2≥-(m+2),即m2+m+2≥0,∴m<-2.故实数m的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.(2024届四川资阳一诊,23)已知函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.(1)解不等式f(x)≤6-x;(2)设f(x)的最小值为M,实数a,b满意a+2b=M,求证:a2+b2+2b≥4.解析(1)当x<-2时,f(x)=-2x+2-x-2=-3x≤6-x,得-3≤x<-2;当-2≤x≤1时,f(x)=-2x+2+x+2=-x+4≤6-x,得-2≤x≤1;当x>1时,f(x)=2x-2+x+2=3x≤6-x,得1<x≤32综上所述,原不等式的解集为x-(2)证明:由(1)可知,x<-2时,f(x)=-3x>6;-2≤x≤1时,f(x)=-x+4≥3;x>1时,f(x)=3x>3,所以函数f(x)的最小值M=3,则a+2b=3.所以a2+b2+2b=(3-2b)2+b2+2b=5b2-10b+9=5(b-1)2+4≥4,当且仅当a=1,b=1时取“=”.9.(2024黑龙江齐齐哈尔二模,23)已知a,b,c都为正实数,且a+b+c=3.证明:(1)2a+1+2b+1+2(2)1a-1证明(1)(2a+1+2b+1+2c+1)2=2(a+b+c)+3+2(2a+1)(2b+1)+2(2b+1)(2c+1(2)由a,b,c都为正实数,且a+b+c=3,可得1=a=b+c3a·a+c3b·a+b3c≥127·2bc则1a-110.(2024届云南适应性考试,23)已知函数f(x)=|x2-3x|+|x|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)=|x2-2x|,求x的取值范围.解析(1)f(x)=x当x≥3时,x2-2x≥3,解得x≥3或x≤-1,所以x≥3;当0<x<3时,4x-x2≥3,解得1≤x≤3,所以1≤x<3;当x≤0时,x2-4x≥3,解得x≥2+7或x≤2-7,所以x≤2-7.综上,原不等式的解集为{x|x≥1或x≤2-7}.(2)由肯定值三角不等式可得f(x)≥|x2-2x|,当且仅当(x2-3x)·x≥0时取等号,解得x≥3或x=0.所以x的取值范围是{x|x≥3或x=0}.11.(2024届合肥联考,23)已知函数f(x)=|4x-1|+4|x+1|.(1)求不等式f(x)>9的解集;(2)若不等式f(x)>2m+3m对随意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)不等式f(x)>9可化为|4x-1|+4|x+1|>9,所以x≥14,4x-1+4(x+1)>9或-1<x<14(2)因为f(x)=|4x-1|+4|x+1|=|4x-1|+|4x+4|≥|4x-1-4x-4|=5,当且仅当-1≤x≤14时等号成立所以5>2m+3m,令g(m)=2m+3m,则g(m)为R上的增函数,且g(1)=5,所以m<1,故实数m的取值范围为(-∞,1).12.(2024届广西联考,23)已知函数f(x)=|x-2|+|2x-1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c均为正实数,且12a+b+c=m,求a2+b2+c2的最小值解析(1)f(x)=|x-2|+|2x-1|=3∵f(x)≥3,∴3x-3≥3,x>2或x+1≥3,12≤x≤2或-3x+3≥3,(2)由(1)知,函数f(x)在-∞,12上单调递减,在1所以f(x)min=f12=32,则12由柯西不等式,有(a2+b2+c2)122+12∴a2+b2+c2≥1,当且仅当2a=b=c,即a=13,b=c=23∴a2+b2+c2的最小值为1.13.(2024届新疆模拟,23)已知正实数x,y满意x+y=1.(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x-y|≤52(2)证明:42x+y+解析(1)因为x+y=1且x>0,y>0,所以|x+2y|+|x-y|≤52⇔0<x<1,|2-x|+(2)证明:因为x+y=1且x>0,y>0,所以42x+y+1y=12