第06讲 空间向量及其线性运算4种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类

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学习目标

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i.理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空

间距离的求解.

2.利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.

||询基础知识

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIII-----------------------

知识点1空间向量的有关概念

1.在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.

注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量

可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.表示法：

(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的限度表示空间向量的模

(2)字母表示法：用字母表示，若向量。的起点是A,终点是8,则a也可记作屈，其模记为⑷或|屈

3.几类特殊的空间向量

名称定义表示法

零向

规定长度为0的向量叫做零向量记为0

量

单位|a|=l或

模为1的向量叫做单位向量

向量|=1

相反

与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量记为一〃

向量

共线如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共a〃b或前

向量线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有

//~CD

相等方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，圆圆且笠;氐的有向线段表示同一向

a=b或

向量量或相等向量

AB=CD

注意点：

(1)平面向量是一种特殊的空间向量.

(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.

(3)向量不能比较大小.

(4)共线向量不一定具备传递性，比如0.

易错辨析：

(1)空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者

完全等同起来.

(2)单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定

(3)共线的单位向量都相等？答：共线的单位向量是相等向量或相反向量

(4)若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单位向量的起点

放在同一点，则终点围成一个球

(5)任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等

的.

(6)若闷=|例，则a,b的长度相等而方向相同或相反？答：|a|=|例只能说明a,占的长度相等而方向

不确定

(7)若向量融，仍满足|屈|>|瓦)|,则油>出？答:向量不能比较大小

(8)空间中，a//b,b//c,则a〃c?答：平行向量不一定具有传递性，当6=0时，。与c不一定平行

(9)若空间向量"?，"，p满足m=",n=p,则/n=p?答：向量的相等满足传递性

(10)若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起点相同，终

点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同

知识点2空间向量的线性运算

(-)空间向量的加减运算

语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和

三角形C

加法运算法则图形叙述

/a%

平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和

BC

Oa

语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量

三角形

减法运算B

法则图形叙述

Oa

交换律a-\~b=b~\~a

加法运算

结合律(a+))+c=a+S+c)

注意点:

(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形

法则.而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；

(2)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点.

(3)空间向量加法的运算的小技巧:

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,

即：AA+AA+AA++AiA,=AA

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量;

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量,

+4A+AA=。；

(二)空间向量的数乘运算

定义与平面向量一样，实数2与空间向量。的乘积施仍然是一个向量，称为空间向量的数乘

A>0■与向量a的方向相同/4%。)

衣0M与向量a的方向相反

几何意义

0/4

2=0〃=0,其方向是任意的

脑的长度是a的长度的回倍

运算律结合律

分配律(4+〃)a=2a+〃a,2(。+))=2。+劝

注意点：

(1)当2=0或。=0时，/a—0.

(2)4的正负影响着向量〃的方向，A的绝对值的大小影响着脑的长度.

(3)向量助与向量〃一定是共线向量.非零向量〃与〃(存0)的方向要么相同，要么相反.

(4)由于向量“，〃可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数

乘运算的分配律.

(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立.

(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如狂〃无法运算.

知识点3共线向量与共面向量

1.共线向量与共面向量的区别

共线(平行)向量共面向量

表示若下里面向量的有向线段所在的直线

互相平行或重合,这些向量叫做共线向量

定或平行向量

平行于同一个平面的向量叫做共面向量

义注：规定：零向量与任意向量平行，即对

任意向量a,都有0〃a.

共线向量定理：对于空间任意两个向量”，

b(b*0),a〃b的充要条件是存在实数入使a

=〃).共面向量定理：若两个向量a,〃不共线，则向量p与向

»,、“八八、七*B…则I量。，〃共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(X，7)，

注：(1)a//灰匕H0)=存在唯一实数4,

使p=xa+y》.

使得a=助；(2)存在唯一实数几，使得

充a=Ab(^b^0),则a〃i>.注意：b*0不

要可丢掉，否则实数4就不唯一.

条1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实

件-TTT

数对(x,y),使AP=x48+yAC或对空间任意一点O,有OP

对空间任一点O,"OP=xOA+y~OB(x^OA+xAB+yAC.

+y=l).2,空间中P,AB,C四点共面的充要条件是存在有序实

数对(x,y,z),使得对空间中任意一点。，都有

OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)

共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；（进而证线面平行）

②证明三点共线。

注意：证明平行时，先从两直线上取有向

共面向量定理的用途：

用线段表示两个向量，然后利用向量的线性①证明四点共面

途运算证明向量共线，进而可以得到线线平②线面平行（进而证面面平行）。

行，这是证明平行问题的一种重要方法。

证明三点共线问题，通常不用图形，直接

利用向量的线性运算即可，但一定要注意

所表示的向量必须有一个公共点。

2.直线/的方向向量

如图。e/,在直线/上取非零向量a,设尸为/上的任意一点，贝归2CR使得初=加./'

定义：把与a平行的非零向量称为直线/的方向向量.

3.与空间向量的线性运算相关的结论X

=7）B~~OA.

（2）在平行六面体ABCD-AiBiCtDi中，有箱=/N+~AD+引.

（3）若0为空间中任意一点，则

①点P是线段AB中点的充要条件是罚+~OB）；

②若G为△ABC的重心，则而=上/+万万+万匹）.

易错辨析：

（1）若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量？

答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间

向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面

（2）在平面内共线的向量在空间不一定共线？

答：在平面内共线的向量在空间一定共线

（3）在空间共线的向量在平面内不一定共线？

答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线

囱解题策略

---------------------ItlllllllillltllllllllllUillllllillltlll.

1、空间向量有关概念问题的解题策略

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向

量相等的必要不充分条件.

(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平

行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.熟练掌握空间向量的有关概念、向量

的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.

2、解决空间向量线性运算问题的方法

进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过

作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行

四边形中.

注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.

(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量.

3、空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量

首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量

的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

4、利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向

量转化为已知向量.

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

5、空间向量线性运算中的三个关键点

空

间

向

量

线

核

运

算

6、判定空间图形中的两向量共线技巧

要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行

转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.

7、证明空间三点P,A,B共线的方法

QGR).

(2)对空间任一点0,04(reR).

(3)对空间任一点0,~0P^xOA+yOB(x+y=l).

8、解决向・共面的策略

⑴若已知点P在平面ABC内，则有6=x7片+y就或加=xi(+yZ"F+z反(x+y+z=l),然

后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,

将其中一个向量用另外两个向量来表示.

9、证明空间四点P,M,A,B共面的等价结论

(1)~MP^xMA+yMB；

(2)对空间任一点O,OP=+yMB；

(3)对空间任一点O,OP=xOA+yOB+zOM(x+y+z=l)；

(4)PM//AB(或前〃版或同'〃俞).

1()、证明三点共线和空间四点共面的方法比较

Q考点剖析

-------------------iiiiiiuiiiiiiiiiiiniiiiiiimiiiiiiiiii--------------------

考点一：空间向量的概念辨析

例1.(2023春•高二课时练习)下列命题中，正确的是().

A.若a#b，则卜卜WB.若卜卜忖，则

C.若”=b,则向=%D.若卜卜可，则。=b

【答案】c

【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐判断.

【详解】对于A;比如4=(0,0,1)/=(1,0,0),“力不相等，但卜卜W=l,故A错误；

对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；

对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；

对于D：若a=(0,0,1)力=(1,0,0),卜卜忖=1,但。*不相等，故D错误；

故选：C

变式1.【多选】(2023春•福建宁德•高二校联考期中)下列说法正确的是()

A.空间向量AB与54的长度相等

B.平行于同一个平面的向量叫做共面向量

C.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

D.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底

【答案】AB

【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.

【详解】对于A,向量.与BA是相反向量由相反向量的定义知，向量AB与B4的长度相等，故A正确;

对于B,平行于平面,，的向量，均可平移至一个平行于布的平面，故它们为共面向量，故B正确；

对于C,若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；

对于D,空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.

故选：AB.

变式2.(2023春•高二课时练习)下列命题中是假命题的是()

A.任意向量与它的相反向量不相等

B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C.如果同=0,贝1」“=0

D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

【答案】A

【分析】由零向量的定义可判断AC,由向量的性质可判断BD.

【详解】对于A,零向量0的相反向量是它本身，A错误；

对于B,空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；

对于C,如果时=0,则q=0,c正确；

对于D,两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.

故选：A.

变式3.（2023・全国•高二专题练习）下列命题为真命题的是（）

A.若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B.若H=W，则〃”的长度相等且方向相同

C.若向量AB、CO满足网>卬|,且A8与CZ）同向，则AB>C£>

D.若两个非零向量4B与CD满足A8+CD=O,则AB〃C£）.

【答案】D

【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.

【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；

若口=|彳，则a、%的长度相等但方向不确定，B错误；

向量不能比较大小，C错误；

由AB+CD=O可得向量A8与CO长度相等，方向相反，故48〃CO，D正确.

故选：D.

变式4.（2023春•高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

②若空间向量满足|q=M，则"="③在正方体ABCO-A8cA中，必有AC=A£；④若空间向量

九满足机=〃，n=p,则"?=p.其中正确的个数为（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时.，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们

的起点和终点都不一定相同，①错误；

对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量且与

b的方向不一定相同，②错误；

对于③，根据正方体的性质，在正方体ABCO-AMGD中，向量4c与向量AC；的方向相同，模也相等，

则AC=AG，③正确;

对于④，由向量相等关系可知机=〃=p,④正确.

故选：C.

（2023春.高二课时练习）如图所示，以长方体ABCD-A4GR的八个顶点的两点为起点和

终点的向量中,

（1）试写出与AB相等的所有向量;

（2）试写出AA的相反向量；

UUU

（3）若48=4。=2,4A=1，求向量AQ的模.

【答案】（1）A4，℃AG；

（2）AA4B，GC，A。；

（3）3.

【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答.

（3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答.

【详解】（1）在长方体ABCO-ABQQ中，与A8相等的所有向量（除本身外）有A4，£>C,RG,共3个.

（2）A4）的相反向量是4448<（7，。》

（3）在长方体ABCQ-AMG。中，连接AC,AG，如图,

AC2=AB2+BC\AC：=AC-+CC；,

所以向量AC；的模|ACJ=JAB2+8C2+CC；=J22+22+F=3.

变式1.（2023•江苏•高二专题练习）如图所示，已知ABC。-ABCR为平行六面体，若以此平行六面体的

顶点为向量的起点、终点，求:

（1）与8耳相等的向量；

（2）与相反的向量；

（3）与B4,平行的向量.

【答案】（1）A'CC-DD、；（2）G仇RA；（3）AtB,CDt,D,C.

【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，

（1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；

（2）连接AQ,因为。所以A8CQ是平行四边形，所以80必1乌，这样就可以写出,与3C；相反

的向量；

（3）连接C。，用类似（2）的方法可写出与BA平行的向量.

【详解】（1）•••平行六面体是棱柱，，侧棱都平行且相等，

与阴相等的向量为AA，CC”DA:

B

（2）连接AD,,由平行六面体的性质可得D\C&AB,

A8CQ是平行四边形,

•••BC、旦AD、,与BQ相反的向量为GB,D,A.

（3）连接cq,由平行六面体的性质可得AA2BC,

8CRA是平行四边形，

84上CR,与班平行的向量为AB,CDQC.

变式2.（2023•江苏•高二专题练习）在平行六面体A88-ABGD中，下列四对向量：①AB与CR；②

UUU-/.

AG与3。；③AO与G8：④A。与4c.其中互为相反向量的有〃对，则〃等于（）

【答案】B

【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.

【详解】对于①AB与GA，长度相等，方向相反，互为相反向量；

UUU

对于②AG与8。长度相等，但两向量不共线，...两向量不是相反向量;

对于③皿与C0,易知ABGR是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量;

对于④亚与瓦易知AOCq是平行四边形，.•.这两向量长度相等，方向相同.

故互为相反向量的是①③，共有2对，n=2.

故选：B.

变式3.（2023・全国•高三专题练习）如图，已知正方体ABCD-A/B/C/D的中心为。，则下列结论中

D,

①0A+。。与OAi+O。i是一对相反向量；

②08-。。与0C-0B1是一对相反向量；

③OAi+OBi+OCi+0£>।与OO+OC+OB+OA是一对相反向量；

④OC-04与OCi-OAi是一对相反向量.

正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.

【详解】设EF分别为AD和A通的中点，

®OA+OD=2OE^OA[+ODt=20下不是•对相反向量，错误；

②OB-OG=G8与00。4=耳。不是一对相反向量，错误；

③OAi+02t+0Ci+Oq=-OC-OD-OA-OB=-^0C+OD+0A+OBj是一对相反向量,正确;

④OC-OA=AC与。C「OA=AG不是-对■相反向量,是相等向量，错误.

即正确结论的个数为1个

故选：A

考点二：空间向量的线性运算

\'例3.(2023•全国•高三对口高考)1(tz+2Z?-3c)-3(d-2Z7-c)=()

55535-9

A.——a-4cB.——a+4Z?-2cC.——〃+7b+—dD.——a-5b——C

222222

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算求解即可.

【详解】|(a+2/?-3c)-3(a-2/?-c)=-|a+7/>+|c.

故选：C

变式1.(2023秋•高二课时练习)己知，,_/,Z是三个不共面向量，已知向量a=；f-j+&,A=5i-2)-k则

4a-3b-•

【答案】-13i+2/+7A

【分析】根据空间向量的线性运算求解.

【详解】a=^i'-j+k,b=5i-2j-k,

■,4«-3i=(4x1-3x5)/+(-4+6)j+(4+3)Z=-⑶+2/+7Z,

故答案为：-⑶+2j+7k

4.（2023春•江苏淮安•高二校考阶段练习）在长方体ABC。-A4CQ中，AB+4J+网等于（)

A.ACB.AC,C.BC,D.BD、

【答案】B

【分析】根据长方体ABC。-A&GA,得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.

【详解】如图，可得AO=BC，BB\=CC「所以+=AB+8C+CC；=AG.

变式1.（2023春・江苏常州•高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体A8CQ-ASG。中，下列各式中运

算的结果为向量的是（）.

①（A2-4A）-AB；②（BC+B8j-RC1；③（AO-AB）-2O“；④（8Q+AA）+£）0.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理逐项分析运算.

zuuuiiuuiruimuuirumuuir

【详解】对①：（4A—AAx）—A8=AA—AB=82,①正确；

uiinuuir、uuuuruuu'miuuruuir

对②：（zBC+BB[）-Dg=BC[+CR=B],②正确；

对③：以｛AB,ARM｝为基底向量，

lUUIDum\UUUTuunUllinUUliUUL|uuumaiUULUHIUionuuu

贝AB）-2OR=-A8+A£>-2A4[,BDX=BC+CD+DD｝=-AB+AD+AA,,

/uuuuun、uuuruuir

根据空间向量基本定理可知：（4。-幽-2OE）尸BQ,③错误：

/uuuinuuir、uuur/uuumuuur、uuuruuun/uuuruuur、uuuc

对④:（B,D.+AAJ+DD,=（BlDl+DlDj+DDt=BiDl+[DlD+DDlj=BlDl,④错误.

故选:A.

变式2.（2023秋•高二课时练习）根据如图的平行六面体MCD-AB'C'。，化简下列各式:

^）AB+BB'-D'A'+D'D-BCi

C2）AC'-AC+AD-AA'.

【答案】（1）AB；

⑵A。.

【分析】（1）由39=£>£），，A'D'=BC>及相反向量的定义即可求解:

（2）由向量减法法则及CC'=44'即可求解.

【详解】（1）在平行六面体ABC。-AB'C'D中，

因为BB'=£>£>'，A'D'=BC.

所以AB+8B'-£)'A'+。'。-8C=AB+(B8'+0'0)-(8C+0'A')=AB+0-0=AB；

(2)在平行六面体ABCD-ABTT)'中，

因为CC'=AA,

所以AC-AC+AO-AA，=(CC「A4)+AD=A。.

变式3.(2023秋•高二课时练习)己知平行六面体ABCD-A'8'C'。，则下列四式中:

®AB-CB=AC;

®AC'=AB+B'C'+CC'i

③AY=CC;

@AB+BB'+BC+CC'=AC.

正确的是.

【答案】①②③

【分析】由平行六面体的性质，结合空间向量的线性运算可得.

【详解】AB-C8=AB+8C=AC，①正确；

AB+B'C'+CC'=AB+BC+CC=AC.②正确；

由平行六面体ABCD-A'3'C'。'性质可知，③正确；

记8C’的中点为E,

则AB+BB'+BC+CC'=AB'+BC=AB'+AD'=2AE丰AC'，④错误.

故答案为：①②③

D'C

A

B

5.（2023春・河南信阳•高二统考期中）在斜三棱柱-ABC中，8c的中点为M,

Ag=a,4cl=A，AA=c,贝!j4M可用a,6,c表不为

【答案】一；a+1^+c

22

【分析】利用空间向量的线性运算可求4V.

B.M=BlB+^BC=AtA+^BlCl=A.A+^(AlC]-AlB^

=c+一人一。)=——a+—b+c.

2、,22

故答案为：——a+—b+c.

22

变式1.（2023秋・山东滨州•高二统考期末）如图，在四面体0ABe中，04=。，OB=b，OC=c-点、M

在04上，且满足OM=3M4,N为3C的中点，则MN=（）

A.-a—bH—cB.—ciH—bH—cC.-a—bH—cD.—an—bH—c

242322232422

【答案】D

【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到.

【详解】如图，连接CW,

o

3

OM=3MArOM=-OA,

4

113311

/.MN=ON-OM=-OB+-OC--OA=--a+-b+-c.

224422

故选：D.

变式2.（2023春•江苏淮安•高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体O-ABC中，OP=3PA，。是BC的中

点，M是尸。的中点，设OA=a，OB=b，OC=c>贝UOM=（）

11,1„3.1,1

AA.—a+—Z?+—cB.—a+—b+—c

466444

C.-ci-\—bH—cD.—ci+—b+—c

844344

【答案】C

【分析】利用空间向量的基底表示OP,OQ，再利用向量线性运算求解即可.

3

【详解】因为OP=3PA，所以OP=：QA,

4

因为。是BC的中点，所以OQ=；(O8+OC),

11131311

因为M为P。的中点，所以OM=-(OP+OQ)=-OP^-OQ=-OA+-(OB+OC)=-a+-b+-c

222848449

故选：C.

变式3.（2023春•江苏徐州,高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点

。在CA上，且CQ:OA=4：1,设AB="，AD=b>A4,=c.则()

【答案】C

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】因为P是CA的中点,

所以”=；(.+AC)=g(AVA3+AO)=；(4+b+c),

又因为点。在CA上，且C0：OA=4：1,

1114

所以AQ=A4|+4Q=朋+64。=^4+不(人。一叫)二^4。+《的

14114

=-(AB+A£>)+—A4j=-a+-b+—c,

1114333

所以QP=/4P-A2=—(tz+/?4-c)-—-c=-c,

故选：C.

|、,例6.(2023秋•辽宁鞍山•高二鞍山一中校联考期末)在四面体ABCD中，£是棱C3的中点，且

BE=xAB+yAC+zAD,则x+y+z的值为.

【答案】0

【分析】利用空间向量加减法法则，把的用A&AC、A万表示出来，即可求出结果.

D

E

【详解】展

B

如图所示，因为E是棱CO的中点，

所以8E=：B£>+gBC=g（AD-A3）+g（AC-AB）=—AB+gAC+g4£）,

则x=_l,y=g,z=g,

所以x+y+z=0,

故答案为：0.

变式1.（2023秋•安徽宣城•高三统考期末）四棱锥P-A8CD中，底面4BCD是平行四边形，点E为棱PC

的中点，AE^xAB+yAD+zAP,则x+y+z等于（）

22

【答案】A

【分析】运用向量的线性运用表示向量AE=（AB+:AO+:AP,对照系数，求得x,y,z,代入可得选项.

222

【详解】因为AE=AB+BC+CE=A8+AO+EP=AB+AO+（AP-AE）,

所以2AE=AB+AO+AP，所以AE=JA8+；AQ+JAP,所以x=；,y=1,z=；,

乙乙乙乙乙乙

1113

Jrr5KfUIx+y+z=-+-+-=-,

故选：A.

变式2.（2023春•高二课时练习）如图，在正方体ABS-AqG。中，点E是上底面4#G。的中心,

AE=mAB+nAD+AAt.求〃?，〃的值.

【分析】根据向量的线性运算即可求解.

【详解】因为点E是上底面的中心，

所以AE=g（4a+A£>J=，（A8+AO）=LAB+gA£）,

又因为=,

所以AEnLAB+gAO+AA,,

所以机=〃=；；■,

2

考点三：空间向量共线问题

（-）空间向量共线的判断

''.例7.（2023・江苏•高二专题练习）下列向量中，真命题是.（填序号）

①若A、B、C、。在一条直线上，则AB与CO是共线向量；

②若A、B、C、。不在一条直线上，则AB与CO不是共线向量；

③向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、。四点必在一条直线上;

④向量与CD是共线向量，则4、B、C三点必在一条直线上.

【答案】①

【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.

【详解】对于①，若A、B、C、。在一条直线上，则AB与丽是共线向量，故①正确；

对于②，若A、8、C、O构成平行四边形时，A、B、C、。不在一条直线上，但是ABhiCD是共线向量,

故②不正确：

对于③，若A、B、C、。构成平行四边形时，4、B、C、。不在一条直线上，但是AB与CD是共线向量,

故③不正确；

对于④，若4、B、a。构成平行四边形时，4、B、C不在一条直线上，但是.与C。是共线向量，故④

不正确；

故答案为：①

2

变式1.（2023春•高二课时练习）如图，正方体A8CO-A耳GR中，。为AC上一点，且AO=§AC，BD

与4c交于点M.求证：G，O,例三点共线.

【答案】证明见解析.

【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答.

【详解】在正方体ABCD—A|B|C|R中，AB=a,AD=b,AA1=c>

2

\O=-\C,BD与AC交于点M,即点M是AC的中点,

sf-^MO=MC+CO=-AC+-CA=-AC+-(AA-AC)=-AC+-AA

23l23]63l

=-(AB+AD)+-AA=-tz+-fe+-c,

63]663

=MC+C£=^AC+AAt=^(AB+AD)+A\^-a+^b+c,

因此〃G=3MO,即MCJ/MO,而直线MG与直线MO有公共点用，

所以G，O,M三点共线.

变式2.（2023•江苏•高二专题练习）已知0、A、B、C、。、E、F、G、，为空间的9个点（如图所

示），并且OE=ZOA，OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求证：AC!/EG.

o

【答案】证明见解析.

【分析】根据题意，由向量的线性运算可得EG=ZAC，即可得到证明.

【详解】OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD>

EG=EH+mEF=0H-0E+m(0F-OE

=k(OD-OA^+km(OB-OA)=kAD+hnAB=k^AD+mAB^=kAC,

AC//EG，

因为AC、EG无公共点,故A0/EG.

例8.(2023春•福建莆田•高二校考阶段练习)已知不共线向量《，“«3，OP=e]-2e2+ei,

PQ=-5q-64+4^,QR=lel+2e2-2e?t,则一定共线的三个点是()

A.O,P,QB.P,Q,R

C.O,Q,RD.O,P,R

【答案】D

【分析】根据平面向量共线定理分别判断OP,PQ，QR,PQ，OQ,QR,OP,尸。四组向量是否共线，即可得

解.

【详解】若OP//PQ，则存在唯一实数2使得OP=/IPQ，

即q-2e,+=4(-5e1一6e,+4q),

1=-52

所以-2=-62,无解,

1=4Z

所以OP,PQ不共线，则O,P,。三点不共线,

若QR//PQ,则存在唯一实数2使得QR=4PQ,

即7q+2e,—2%=A.(—5q—6e,+4e、),

7=-5/1

所以,2=-6/l,无解，

-2=42

所以QR,PQ不共线，则P,R三点不共线，

OQ=OP+PQ=—4q—8e,+5^,,

若OQ//QR.则存在唯一实数A使得O。=AQR,

即-4et-8e2+5e3=A(7e,+2e2—2e3\,

-4=72

所以一8=24,无解，

5=-22

所以OQ,QR不共线，则O,Q,R三点不共线，

PR=PQ+QR=2e1-4e2+物=2OP，

所以OP//PR，

乂点P为两向量的公共端点，所以。，尸,R三点共线.

故选：D.

变式1.（2023春•高二课时练习）如图，已知M,N分别为四面体A-8CZ）的面2c。与面AC。的重心，G

为4M上一点，且GM:G4=1:3.求证：B,G,N三点共线.

【答案】证明见解析.

【分析】由空间向量的共线定理证明，

【详解】证明：取CO的中点E,连接AE,BE,

因为M,N分别为四面体A-BCD的面CCD与面ACD的重心，

所以M在8E上，N在AE上，

设AB=a，AC—b»AD=c>

因为M为ABCO的重心，

所以AM=A8+8M=AB+§XQ（8C+8£））

=AB+g（8C+B£>）

=AB+^AC-AB+AD-AB）

=g（4B+AC+A°）=g（a+6+c）

3

因为GM=GA=1:3,所以AG==A〃，

4

o1Q11

所以3G=34+43=&4+^4河=-4+7（4+力+。=-^4+^6+^0，

1、114

同理得3N=54+4V=8A+-zAC+AZ）=-a+—6+—c=-BG,

3、'333

•*■BN//BG.

乂BNcBG=B,

：.B,G,N三点共线

(-)由空间向量共线求参数值

(2023春•高二课时练习)对于空间任意两个非零向量”，b,“£〃产是",&=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解.

【详解】显然,，今=0能推出a〃。，但a〃b包括向量4，。同向共线和反向共线两种情况,

即当£〃1时,得。))=0或兀,

因此a〃6推不出(。力)=0，

故““〃人”是“生。=0”的必要不充分条件.

故选：B.

变式I.(2023春•高二课时练习)若空间非零向量.弓不共线，则使2&q-丝与6+2(4+1)6共线的k

的值为.

【答案】---0.5

【分析】由题存在实数入使得2Aq-02=%,+2(&+l)e2],解相应方程可得答案.

【详解】由题意知，存在实数2使得2g—02="4+2(〃+1"],

\2k=A,1

即4k2+妹+1=0,解得々=一：.

22(k+l)=-l2

故答案为：-]

变式2.(2023春•高二课时练习)设q,/是空间两个不共线的非零向量，已知43=么+3，3C=q+3e；,

DC=2et-el，且4,B,。三点共线，求实数%的值.

【答案】-8.

【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.

【详解】因为8C=q+3e；,OC=2q—则有B£>=8C+8=(q+34)—(2q—e?)