北师版高中数学必修第一册4.3 对数函数4.3.3（课件）

4.3.3对数函数的图像和性质1.掌握对数函数性质，并会运用性质比较大小，求单调区间，解对数不等式等；2.会画对数函数图像，知道多个对数函数图像如何判断相对位置，会对对数函数图像进行简单的变换；3.了解互为反函数的两函数图像关于直线y＝x对称.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一对数函数的图像与性质思考y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？答案当a>1时，若0<x1<x2，则

，解指数不等式，得y1<y2从而y＝logax在(0，＋∞)上为增函数.当0<a<1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为减函数.答案问题导学

新知探究点点落实类似地，我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质：对数函数的图像与性质定义y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图像答案定义域__________值域___单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图像过点

，即loga1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈

；x∈[1，＋∞)时，y∈_________x∈(0,1)时，y∈

；x∈[1，＋∞)时，y∈________对称性函数y＝logax与y＝

的图像关于

对称；函数y＝logax与y＝ax的图像关于直线y＝x对称.(0，＋∞)R(1,0)(－∞，0)(0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0]x轴答案知识点二不同底的对数函数图像相对位置思考y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数.一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x轴.答案知识点三

y＝logaf(x)型函数的单调区间思考我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？答案y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)定义域不一定相同.一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)>0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a大于1时，g(x)>0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)>0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；③当底数a大于0且小于1时，g(x)>0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.知识点四对数不等式的解法思考log2x<log23等价于x<3吗？答案不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义，即x>0，∴log2x<log23⇔0<x<3.一般地，对数不等式的常见类型：答案返回解析答案题型探究

重点难点个个击破类型一比较对数的大小例1

比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；解考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2>1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，又3.4<8.5，于是log23.4<log28.5.解析答案(2)log0.31.8，log0.32.7；解考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，又1.8<2.7，于是

log0.31.8>log0.32.7.(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).解当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又5.1<5.9，于是loga5.1<loga5.9；当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又5.1<5.9，于是loga5.1>loga5.9.综上，当a>1时，loga5.1<loga5.9，当0<a<1时，loga5.1>loga5.9.反思与感悟反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.解析答案A解析答案类型二对数函数的图像例2

画出函数y＝lg|x－1|的图像.解(1)先画出函数y＝lgx的图像(如图).(2)再画出函数y＝lg|x|的图像(如图).(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图像(如图).反思与感悟反思与感悟画图像一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点如本题x＝0,1,2三点.解析答案跟踪训练2

画出函数y＝|lg(x－1)|的图像.解(1)先画出函数y＝lgx的图像(如图).(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图像如图.(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图像如图：解析答案类型三对数不等式例3

已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0，且a≠1).解关于x的不等式：loga(1－ax)>f(1).解∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a).∴1－a>0.∴0<a<1.∴不等式可化为loga(1－ax)>loga(1－a).∴0<x<1.∴不等式的解集为(0,1).反思与感悟反思与感悟对数不等式解法要点(1)化为同底logaf(x)>logag(x)；(2)根据a>1或0<a<1去掉对数符号，注意不等号方向；(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0.解析答案则实数a的取值范围是(

)A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)解析①当a>0时，f(a)＝log2a，

f(a)>f(－a)，即②当a<0时，

f(－a)＝log2(－a)，f(a)>f(－a)，即由①②得－1<a<0或a>1.C类型四对数型复合函数的单调性例4

求函数

的值域和单调区间.解设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.

为减函数，且0<t≤2，

即函数的值域为[－1，＋∞).再由函数

的定义域为－x2＋2x＋1>0，而

为减函数.解析答案反思与感悟反思与感悟求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”.解析答案跟踪训练4

已知函数(1)求函数f(x)的值域；解由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，∴0<x<2.当0<x<2时，y＝－x2＋2x＝－(x2－2x)∈(0,1]，∴函数

的值域为[0，＋∞).(2)求f(x)的单调性.解设u＝－x2＋2x(0<x<2)，∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，

是减函数，∴由复合函数的单调性得到函数在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数.解析答案返回123达标检测41.当a>1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是(

)5B答案2.函数y＝lg|x|的图像是(

)12345答案A3.f(x)＝lg(x2＋a)的值域为R，则实数a可以是(

)A.0 B.1C.2 D.1012345A答案4.如果

那么(

)A.y<x<1 B.x<y<1C.1<x<y

D.1<y<x12345D答案解析答案5.已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图像是(

)12345解析

∵a>0且a≠1，∴f(3)＝a3>0，又f(3)g(3)<0，∴g(3)＝loga3<0，∴0<a<1，∴f(x)＝ax在R上是减函数，g(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，故选C.C规律与方法1.与对数函数有关的复合函数单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y＝ax与x＝logay图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示应变量，把x＝logay换成