北师版九上数学1.3正方形的性质与判定 同步训练 (含解析)

/北师版九上数学1.3正方形的性质与判定同步训练一、选择题1.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=3,那么此正方形的面积为〔〕

A.

32

B.

12

C.

18

D.

362.矩形具有而菱形不具有的性质是〔

〕A.对角线相等

B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分

D.对角线平分一组对角3.如图,正方形ABCD的面积为1,那么以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为〔

〕

A.

2

B.

22

C.

2+1

D.

22+14.如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,那么EF的长是〔

〕

A.

7

B.

8

C.

72

D.

735.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3,P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是〔

〕．

A.5

B.52

C.6

D.346.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是〔

〕．

A.

10

B.

2

C.

5

D.

257.如图,在正方形ABCD中,△ABE经旋转,可与△CBF重合,AE的延长线交FC于点M,以下结论正确的选项是〔

〕

A.

AM⊥FC

B.

BF⊥CF

C.

BE=CE

D.

FM=MC8.有3个正方形如下图放置,直角三角形局部的面积依次记为A,B,那么A：B等于〔

〕

A.1：2

B.1:2

C.2:3

D.4:99.如图,在四边形ABCD中,∠ADC＝∠ABC＝90°,AD＝CD,DP⊥AB于点P.假设四边形ABCD的面积是18,那么DP的长是(

)

A.3

B.23

C.3

D.3310.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N,假设正方形ABCD的边长为a,那么重叠局部四边形EMCN的面积为(

)

A.

B.

C.

D.

二、填空题11.如图,P是正方形ABCD外一点,且PA=3,PB=4,那么PC的最大值是________；

12.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,三角形AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,以下结论：①BE=DF,②AG=2GC,③BE+DF=EF,④S△CEF=2S△ABE正确的有________〔只填序号〕．

13.在正方形ABCD中,E在BC上,BE=2,CE=1,P在BD上,那么PE和PC的长度之和最小可到达________

14.如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,那么PG的长为________．

15.如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,BG⊥EF,点G为垂足,AB=5,AE=1,CF=2,那么BG=________．16.在正方形ABCD中,点E为对角线BD上一点,EF⊥AE交BC于点F,且F为BC的中点,假设AB=4,那么EF=________．

三、解答题17.如图,在正方形ABCD中,点E是AD边上的一点,AF⊥BE于F,CG⊥BE于G．

〔1〕假设∠FAE=20°,求∠DCG的度数；〔2〕猜测：AF,FG,CG三者之间的数量关系,并证明你的猜测．18.：如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC．

〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；〔2〕如果BE=BC,且∠CBE：∠BCE=2：3,求证：四边形ABCD是正方形．19.如图,正方形ABCD的边长为10cm,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D出发,以2cm/s的速度同时分别向点B,C,D,A运动．

〔1〕在运动的过程中,四边形EFGH是何种四边形？请说明理由．〔2〕运动多少秒后,四边形EFGH的面积为52cm2？20.如图,正方形ABCD的边长为6,点E是边AB上一点,点P是对角线BD上一点,且PE⊥PC．

〔1〕求证：PC＝PE；〔2〕假设BE＝2,求PB的长.21.如图,在四边形纸片ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好都和点G重合,∠EAF=45°．

〔1〕求证：四边形ABCD是正方形；〔2〕求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；〔3〕假设EC=FC=1,求AB的长度．答案解析一、选择题1.【答案】C【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=3,

∴AB=BC,OA=OC,

∴AB=62=32,

∴正方形的面积=3222.【答案】A【考点】菱形的性质,矩形的性质【解析】【解答】解：矩形的对角线互相平分、相等,菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角,

∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等,

故答案为：A．

【分析】从矩形和菱形的对角线的性质去解答此题。3.【答案】B【考点】勾股定理,正方形的性质【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1,

∴BC=CD=1=1,∠BCD=90°,

∵E、F分别是BC、CD的中点,

∴CE=BC=,CF=CD=,

∴CE=CF,

∴△CEF是等腰直角三角形,

∴EF=2CE=22,

∴正方形EFGH的周长=4EF=4×22=22；

故答案为：B．

【分析】根据正方形ABCD的面积,求出边长,由E、F分别是BC、CD的中点,由正方形的性质,得到△CEF是等腰直角三角形,根据勾股定理求出EF的值,得到正方形EFGH的周长.4.【答案】C【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：如下图：

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD,

∴∠BAE+∠DAG=90°,

在△ABE和△CDF中,

{AB=CDAE=CFBE=DF,

∴△ABE≌△CDF〔SSS〕,

∴∠ABE=∠CDF,

∵∠AEB=∠CFD=90°,

∴∠ABE+∠BAE=90°,

∴∠ABE=∠DAG=∠CDF,

同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH,

∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°,

即∠DGA=90°,

同理：∠CHB=90°,

在△ABE和△ADG中,

{∠ABE=∠DAG∠AEB=∠DGA=90°AB=DA,

∴△ABE≌△ADG〔AAS〕,

∴AE=DG,BE=AG,

同理：AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12,

∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7,

∵∠GEH=180°﹣90°=90°,

∴四边形EGFH是正方形,

∴EF=2EG=75.【答案】D【考点】正方形的性质,轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图,连接DE,交AC于P,连接BP,那么此时PB+PE的值最小．

∵四边形ABCD是正方形,

∴B、D关于AC对称,

∴PB=PD,

∴PB+PE=PD+PE=DE．

∵BE=2,AE=3,

∴AE=3,AB=5,

∴DE=32+52=34,

故PB+PE的最小值是346.【答案】C【考点】勾股定理,正方形的性质【解析】【解答】解：如以下图,连接AC、FC,

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,

∴AB=BC=1,EF=CE=3,∠A=∠E=90°,∠ACD=∠GCF=45°,

∴AC=12+12=2,CF=32+32=32,∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°,

∴AF=(2)7.【答案】A【考点】正方形的性质,旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABE经旋转,可与△CBF重合,

∴∠BAE=∠BCF,∠ABE=∠CBF．

∴∠BCF+∠BFC=90°．

∴∠BFC+∠BAE=90°．

∴∠FMA=90°．

∴AM⊥FC．

应选：A．

【分析】依据旋转的性质可知∠BAE=∠BCF,然后可证明∠BFC+∠BAE=90°,从而可得到问题的答案．8.【答案】D【考点】勾股定理,正方形的性质【解析】【解答】解：如答图所示：

设大正方形ABCD的边长为a,

那么小正方形BEFG的边长为a,

∴CE=BE=EF=a.

∵AB=BC=a,∠B=90°,

∴AC=AB2+BC2=a2+b2

=2a,

∴AM=HM=MJ=IJ=CJ=23a,

∴AH=2AM=2×23a=a,

∴DH=AD-AH=a-a=a=DI,

∴S1=DH·DI=×a×a=a2,

S2=CE·EF=×a×a=a2,

∴S1:S2=a2:a2=4:9.

即A:B=4:9.

故答案为：D.

【分析】设大正方形ABCD的边长为a,可表示出小正方形BEFG的边长,利用勾股定理求出AC的长,利用正方形的性质,可证得AM=HM=MJ=IJ=CJ,再用含a的代数式表示出AH、DH的长,然后用含a的代数式表示出S1和S2,就可求出它们的比值。9.【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图,过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,

∵∠ADC=∠ABC=90°,

∴四边形DPBE是矩形,

∵∠CDE+∠CDP=90°,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠CDP=90°,

∴∠ADP=∠CDE,

∵DP⊥AB,

∴∠APD=90°,

∴∠APD=∠E=90°,在△ADP和△CDE中,

{∠ADP=∠CDE∠ADP=∠EAD=CD,

∴△ADP≌△CDE〔AAS〕

∴DP=DE

四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,

∴矩形DPBE是正方形,

∴DP=

故答案为:

【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,可证四边形DPBE是矩形,再证明△ADP≌△CDE,得出DP=DE,就可得出矩形DPBE是正方形,利用割补法可知四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,就可求出DP的长。10.【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图,

可得△EPM≌△EQN,四边形EPCQ是正方形,又EP//AB,EC=2AE,

那么可得CP=2BP,那么有BP=BC=

a,

∴S重叠局部=S正方形EPCQ=

；

故答案为：A.

【分析】过E作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,△EPM≌△EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解。二、填空题11.【答案】3+42【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质【解析】【解答】解：如图,过点B作BE⊥BP,且BE=PB,连接AE、PE、PC,

那么PE=2PB=42,

∵∠ABE=∠ABP+90°,∠CBP=∠ABP+90∘,

∴∠ABE=∠CBP,

在△ABE和△CBP中,

{AB=BC∠ABE=∠CBPBE=PB,

∴△ABE≌△CBP(SAS),

∴AE=PC,

由两点之间线段最短可知,点A.P、E三点共线时AE最大,

此时AE=AP+PE=3+42,

所以,PC的最大值是3+42.

故答案为：3+4212.【答案】①④【考点】全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的性质,正方形的性质【解析】【解答】解：∵△AEF为等边三角形,

∴AE=AF,

∵四边形ABCD为正方形,

∴AB=AD,∠B=∠D=∠BAD=90°,

在Rt△ABE和Rt△ADF中

{AE=AFAB=AD

∴Rt△ABE≌Rt△ADF,

∴BE=DF,所以①正确；

∠BAE=∠DAF,

∵AC平分∠BAD,

∴∠BAG=∠FAG,

∴AG垂直平分EF,

∴CG=EF,即EF=2CG,

而EF＞AG,

∴AG＜2CG,所以②错误；

∵∠EAG=30°,∠BAE=15°,

∴BE≠EG,

∴BE+DF=2BE,EF=2EG,

∴BE+DF≠EF,所以③错误；

延长CB到F′使BF′=DF,作EH⊥AF′于H,如图,

易得△ABF′≌△ABE,

∴∠EAF′=30°,

设CG=x,那么EG=GF=x,AE=2x,

∴EH=x,

∴S△AF′E=•2x•x=x2,S△CEF=•x•2x=x2,

∴S△CEF=2S△ABE,所以④正确．

故答案为①④．

【分析】根据条件易证△ABE≌△ADF,可得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,可对①作出判断；由正方形的性质就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,可证得EF=2CG,由EF＞AG,可对②作出判断；再证明BE≠EG,证得BE+DF≠EF,可对③作出判断；设EC=x,BE=y,利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE,就可以得出S△CEF=2S△ABE,可对④作出判断。从而可得出答案。13.【答案】【考点】勾股定理,正方形的性质,轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图,连接AE,

因为点C关于BD的对称点为点A,

所以PE+PC=PE+AP,

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,

∵CE＝1,BE=2,

∴AB＝BC＝3,

∴在Rt△ABE中,AE=

,

∴PE+PC的最小值是；

故答案是。

【分析】连接AE,根据正方形的性质,可知点C关于BD的对称点为点A,可得出PE+PC=PE+AP,根据两点之间线段最短,可得AE就是AP+PE的最小值,再利用勾股定理求出AE的长,即可解答。14.【答案】5【考点】勾股定理,三角形中位线定理,正方形的性质【解析】【解答】解：延长GE交AB于点O,作PH⊥OE于点H,

P是AE的中点,

PH是△OAE的中位线,

PH=12OA=12(3−1)=1

Rt△OAE中,∠OAE=45°

,

△OAE是等腰直角三角形,即OA=OE=2

同理△PHE中,PH=HE=1

∴HG=HE+EG=1+1=2

在Rt△PHE中,PG=P15.【答案】【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：如图,连接BE、BF．

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=BC=CD=AD=5,

∵AE=1,AF=2,

∴DE=4,DF=3,

∴EF=32+42=5,

∵S△BEF=•EF•BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF,

∴•5•BG=25﹣•5•1﹣•5•2﹣•3•4,

∴BG=,

故答案为

【分析】如图,连接BE、BF．首先利用勾股定理求出EF,再根据S△BEF=•EF•BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF,列出方程即可解决问题．16.【答案】10【考点】全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AD于M,交BC于N,如图,

∴四边形ABCD为正方形,

∴AD∥BC,∠BDM=45°,

∴MN=CD=4,ME=DM,

设ME=x,那么DM=x,AM=4﹣x,NE=4﹣x,

∴AM=EN,

∵F为BC的中点,

∴FN=2﹣x,

∵EF⊥AE,

∴∠AEM=∠EFN,

在△AEM和△EFN中

{∠AEM=∠EFN∠AME=∠ENFAM=EN,

∴△AEM≌△EFN,

∴ME=FN,即x=2﹣x,解得x=1,

∴FN=1,EN=3,

∴EF=12+32=10．三、解答题17.【答案】〔1〕解：∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABC=∠D=90°,

∵AF⊥BE,CG⊥BE,

∴∠AFE=∠CGE=90°,

∵∠FAE=20°,

∴∠FED=∠FAE+∠AFE=20°+90°=110°,

∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°

〔2〕解：猜测：CG=AF+FG,

证明：∵∠ABF+∠CBG=90°,∠CBG+∠BCG=90°,

∴∠ABF=∠BCG,

在△ABF和△BCG中{∠AFB=∠BGC∠ABF=∠BCGAB=BC

∴ABF≌△BCG〔AAS〕,

【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质【解析】【分析】〔1〕利用正方形的性质可得出∠ABC=∠D=90°,根据三角形的外角定理求出∠FED的度数,再根据四边形内角和求得结论。

〔2〕利用∠ABF+∠CBG=90°,∠CBG+∠BCG=90°,证得∠ABF=∠BCG,再证明ABF≌△BCG,由全等三角形的性质证得BF=CG,AF=BG,根据线段的和差和等量代换即可求得结论。18.【答案】〔1〕证明：在△ADE与△CDE中,

{AB=CDDE=DEEA=EC,

∴△ADE≌△CDE,

∴∠ADE=∠CDE,

∵AD∥BC,

∴∠ADE=∠CBD,

∴∠CDE=∠CBD,

∴BC=CD,

∵AD=CD,

∴BC=AD,∴

四边形ABCD为平行四边形,

∵AD=CD,

∴四边形ABCD是菱形〔1〕

〔2〕证明：∵BE=BC,

∴∠BCE=∠BEC,

∵∠CBE：∠BCE=2：3,

∴∠CBE=180×22+3+3

=45°,

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠ABE=45°,【考点】菱形的判定与性质,正方形的判定【解析】【分析】〔1〕先证明△ADE≌△CDE,由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE,由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD,易得∠CDB=∠CBD,可得BC=CD,再证AD=BC,利用平行四边形的判定定理,可得四边形ABCD为平行四边形,由AD=CD可得四边形ABCD是菱形。

〔2〕由BE=BC可得△BEC为等腰三角形,可得∠BCE=∠BEC,利用三角形的内角和定理及∠CBE：∠BCE=2：3,可求出∠ABE的度数,就可证得∠ABC=90°,由有一个角是直角的菱形是正方形,可证得结论。19.【答案】〔1〕解：四边形EFGH为正方形．理由如下：

设运动时间为ts,那么AE＝BF＝CG＝DH＝2tcm,

在正方形ABCD中,∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,

AB＝BC＝CD＝DA,∴BE＝CF＝DG＝AH.

在△AEH和△BFE中,{AE=BF∠A=∠BBE=AH,

∴△AEH≌△BFE,

同理可证：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,∴EH＝FE＝GF＝HG,

∴四边形EFGH为菱形．

∵△AEH≌△BFE,

∴∠AEH＝∠BFE,而∠BFE＋∠BEF＝90°,

∴∠AEH＋∠BEF＝90°,

∴∠HEF＝90°,

∴四边形EFGH为正方形

〔2〕解：设运动的时间为xs,那么AE＝BF＝CG＝DH＝2xcm.

∵AB＝BC＝CD＝DA＝10cm,

∴BE＝CF＝DG＝AH＝(10－2x)cm.

由勾股定理得S四边形EFGH＝EH2＝AE2＋AH2＝(2x)2＋(10－2x)2＝8x2－40x＋100.

当S四边形EFGH＝52cm2时,8x2－40x＋100＝52,即x2－5x＋6＝0,

解得x1＝2,x2＝3.当x＝2时,AE＝2x＝2×2＝4＜10；

当x＝3时,AE＝2x＝2×3＝6＜10.

【考点】全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的判定与性质【解析】【分析】〔1〕设出运动时间,表示出AE,BF,CG,DH的长度,可知AE=BF=CG=DH,由题意即得出BE=CF=DG=AH,再证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,利用全等三角形的性质得出EH＝FE＝GF＝HG,可证四边形EFGH是菱形,通过求∠HEF=90°即可推出结论。

〔2〕设运动时间为x,依据勾股定理推出,EH2=AE2+AH2=8x2-40x+100,由S四边形EFGH=EH2=52,列出方程8x2-40x+100=52,解方程即可推出x的值,x的值需符合2x≤10,就可求出符合条件的x的值。20.【答案】〔1〕证明：过点P作PF⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为点F、G.

∴∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠A=∠ABC=90°,AB=AD=BC,

∴∠ABD=∠ADB=45°,四边形FBGP是矩形,

∴∠FPB=90°－∠ABD=90°－45°=45°,

∴∠ABD=∠FPB,

∴FP=FB,

∴矩形FBGP是正方形,

∴PF=PG,∠FPG=90°,

∴∠FPG＋∠EPG=90°,

∵EP⊥PC,

∴∠EPC=90°,

∴∠GPC＋∠EPG=90°,

∴∠FPG=∠G