高中数学 1-3弧度制活页训练 北师大版必修4

【创新设计】-学年高中数学1-3弧度制活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．若α＝－3，则角α的终边在()．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析∵α＝－3＝－3×57.30°＝－171.9°，∴α在第三象限．答案C2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()．A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)πD．－eq\f(7,18)π解析显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.故选B.答案B3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()．A．2B．sin2C.eq\f(2,sin1)D．2sin1解析r＝eq\f(1,sin1)，∴l＝|α|r＝eq\f(2,sin1).答案C4．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．解析216°＝216×eq\f(π,180)＝eq\f(6π,5)，l＝α·r＝eq\f(6π,5)r＝30π，∴r＝25.答案255．与－eq\f(29π,6)终边相同的最大负角是________．解析与－eq\f(29π,6)终边相同的角设为α，则α＝－eq\f(29π,6)＋2kπ，k∈Z.当k＝2时，α＝－eq\f(5π,6)，即与－eq\f(29π,6)终边相同的最大负角为－eq\f(5π,6).答案－eq\f(5π,6)6．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).解(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq\f(14,9)π，∴α＝－800°＝eq\f(14,9)π＋(－3)×2π.∵角α与eq\f(14π,9)角终边相同，∴角α是第四象限角．(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z的形式，而γ与α终边相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z.又γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)<2kπ＋eq\f(14π,9)<eq\f(π,2)，k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π,9)＝－eq\f(4π,9).综合提高限时25分钟7．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()．A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\r(3)D．2解析设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为eq\r(3)r，即为弧长，利用弧长公式l＝α·r，∴eq\r(3)r＝α·r，∴α＝eq\r(3)，故选C.答案C8．若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z)()．A．α＋β＝π B．α－β＝eq\f(π,2)C．α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ D．α＋β＝(2k＋1)π解析可以取几组特殊角代入检验．如：α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(2π,3)，则α＋β＝π；再如α＝eq\f(7π,3)，β＝eq\f(2π,3)，α＋β＝3π，故选D.答案D9．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20min所走的圆弧长是eq\f(π,3)m，则这座大钟分针的长度为________m.解析因为分针20min转过的角为eq\f(2π,3)，所以由l＝αR，得R＝eq\f(l,α)＝eq\f(\f(π,3),\f(2π,3))＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5m.答案0.510．如果一扇形的弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S＝eq\f(1,2)lR，若l′＝eq\f(3,2)l，R′＝eq\f(1,2)R，则S′＝eq\f(1,2)l′R′＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)l×eq\f(1,2)R＝eq\f(3,4)S.答案eq\f(3,4)11．一条弦的长度等于半径r，求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．解(1)在半径为r的⊙O中弦AB＝r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，则弦AB所对的劣弧长为eq\f(π,3)r.(2)∵S△AOB＝eq\f(1,2)·OA·OB·sin∠AOB＝eq\f(\r(3),4)r2，S扇形OAB＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×r2＝eq\f(π,6)r2，∴S弓形＝S扇形OAB－S△AOB＝eq\f(π,6)r2－eq\f(\r(3),4)r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))r2.12．(创新拓展)如图，一长为eq\r(3)dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面时，被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为eq\f(π,6)，试求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．解在扇形ABA1中，圆心角恰为eq\f(π,2)，弧长l1＝eq\f(1,4)·2π·AB＝eq\f(1,4)·2π·eq\r(3＋1)＝π，面积S1＝eq\f(1,4)·π·AB2＝eq\f(1,4)·π·4＝π.在扇形A1CA2中，圆心角亦为eq\f(π,2)，弧长l2＝eq\f(1,4)·2π·A1C＝eq\f(1,4)·2π·1＝eq\f(π,2)，面积S2＝eq\f(1,4)·π·A1C2＝eq\f(1,4)π·12＝eq\f(π,4).在扇形A2DA3中，圆心角为π－eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，弧长l3＝eq\f(1,6)·2π·A2D＝eq\f(1,6)·2π·eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π，面积S3＝eq\f(1,6)·π·A2D2＝eq\f(1,6)·π·(eq\r(3))2＝