高中数学 2.2.2-1 等差数列的前n项和(一)活页训练 新人教B版必修5

2.2.2-1等差数列的前n项和(一)eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a9＝15，则S11的值为 ()．A.eq\f(55,2) B．50C．55 D．110解析由等差数列性质得a2＋a7＋a9＝3a6∴a6＝5，S11＝11a6答案C2．设数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则a8的值为 ()．A．15 B．16C．49 D．64解析a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案A3．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则数列{an}的前10项的和S10＝()．A．138 B．135C．95 D．23解析a2＋a4＝2a3＝4，∴a3＝2，a3＋a5＝2a∴a4＝5，∴d＝3，a1＝－4，∴S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)×d＝95.答案C4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为.解析由a4＝a1＋3d＝1，S5＝5a1＋10d＝10，得a1＝4，d＝－1，Sn＝4n－eq\f(nn－1,2)＝eq\f(－n2＋9n,2)，∴n＝4或5时，Sn最大．答案4或55．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.解析6S5－5S3＝5⇒6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5a1＋\f(5×4,2)d))－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d))＝5⇒3a1＋9d＝1⇒a1＋3d＝eq\f(1,3)⇒a4＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)6．在等差数列{an}中，(1)已知a4＝10，a10＝－2，且Sn＝60，求n.(2)已知a1＝－7，an＋1＝an＋2，求S17.(3)若a2＋a7＋a12＝24，求S13.解(1)设{an}的首项为a1，公差为d，由a4＝10，a10＝－2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝10，,a1＋9d＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝16，,d＝－2.))∴Sn＝n×16＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝60.整理可得：n2－17n＋60＝0，∴n＝5或n＝12.(2)由a1＝－7，an＋1＝an＋2，得an＋1－an＝2，则a1，a2，…，a17是以－7为首项，公差为2的等差数列，∴S17＝17×(－7)＋eq\f(17×17－1,2)×2＝153.(3)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7又∵a2＋a7＋a12＝3a7∴a7＝8，∴S13＝eq\f(a1＋a13,2)×13＝13×8＝104.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()．A．6 B．7C．8 D．9解析法一∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，d＝eq\f(a5－a1,5－1)＝eq\f(－3＋11,4)＝2，∴{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和是Sn的最小值．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn最小，故选A.法二由方法一知d＝2，又a1＝－11，∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n2－12n＝(n－6)2－36，∴当n＝6时，Sn取最小值，故选A.答案A8．在等差数列{an}中，an<0，a32＋a82＋2a3·a8＝9，那么S10等于 A．－9 B．－11C．－13 D．－15解析∵(a3＋a8)2＝9，an<0，∴a3＋a8＝－3.∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝－15.答案D9．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值为.解析∵{an}，{bn}为等差数列，∴eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(a9＋a3,2b6)＝eq\f(a6,b6).∵eq\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，∴eq\f(a6,b6)＝eq\f(19,41).答案eq\f(19,41)10．设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋…＋a99＝.解析∵a3＋a6＋…＋a99，a1＋a4＋…＋a97分别是33项之和，∴(a3＋a6＋…＋a99)－(a1＋a4＋…＋a97)＝(a3－a1)＋(a6－a4)＋…＋(a99－a97)＝2d＋2d＋…＋2d＝33×2d＝33×(－4)＝－132，∴a3＋a6＋…＋a99＝－132＋50＝－82.答案－8211．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．解(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a又a1＋a3＝2a2∴(a－1)＋2a＝8，即a∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.由Sk＝ka1＋eq\f(kk－1,2)d，得2k＋eq\f(kk－1,2)×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)，∴a＝3，k＝50.(2)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得Sn＝2n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2＋n，∴bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1，∴{bn}是等差数列，则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)＝eq\f(4＋4nn,2)，∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.12．(创新拓展)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝eq\f(Sn,n＋c)，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解(1)由等差数列的性质得，a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3、a4是关于x的方程x2－22x＋117＝0的解，又公差大于零，所以a3＝9，a4＝13.易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋4(n－1)＝4n－3.(2)由(1)知Sn＝eq\f(n1＋4n－3,2)＝2n2－n，所以bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c).法一所以b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c)(c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c＝－eq\f(1,2).当c＝－eq\f(1,2)时，bn＝eq\f(2n2－n,n－\f(1,2))＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.故当c＝－