高中数学 2.3.3 直线与圆的位置关系活页训练 新人教B版必修2

2.3.3直线与圆的位置关系eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．直线x＋y＝m与圆x2＋y2＝m(m＞0)相切，则m＝ ()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析由直线与圆的距离d＝eq\f(|－m|,\r(2))＝eq\r(m)，解得m＝2.答案D2．点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a＞0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是 ()．A．相切 B．相交C．相离 D．相切或相交解析M在圆内，且不为圆心，则0＜xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＜a2，则圆心到直线x0x＋y0y＝a2的距离d＝eq\f(a2,\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)))＞eq\f(a2,\r(a2))＝a，所以相离．答案C3．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是 ()．A．2 B.eq\r(19)C．1 D．4解析点P到原点O的距离为|PO|＝eq\r(10)，∵r＝3，∴切线长为eq\r(10－9)＝1.故选C.答案C4．斜率为3，且与圆x2＋y2＝10相切的直线的方程是________．解析设直线方程为y＝3x＋b，由相切性质得b＝±10，所以直线方程为3x－y±10＝0.答案3x－y±10＝05．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．解析过原点且倾斜角为60°的直线方程为eq\r(3)x－y＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线的距离为d＝eq\f(|\r(3)×0－2|,\r(\r(3)2＋－12))＝1，因此弦长为2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)6．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离．解圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圆的半径r＝2.(1)若相交，则d<r，即eq\f(6,\r(m2＋1))<2，所以m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2)；(2)若相切，则d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2)；(3)若相离，则d>r，即eq\f(6,\r(m2＋1))>2，所以－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(2)，则实数a的值为 ()．A．－1或eq\r(3) B．1或3C．－2或6 D．0或4解析圆心C(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|a－2|,\r(2))，由题意得d2＋(eq\r(2))2＝22，解得d＝eq\r(2)，所以eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝0或a＝4.答案D8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为 ()．A．±eq\r(3) B．±eq\f(\r(3),3)C．±1 D．不存在解析由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离为eq\f(1,2)，由点到直线的距离公式得eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(1＋k2))，解得k＝±eq\r(3).答案A9．直线x＋y＋2＝0与圆x2＋(y＋1)2＝a2有公共点，则a的取值范围是________．解析圆心(0，－1)到直线x＋y＋2＝0的距离为eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，由题意知|a|≥eq\f(\r(2),2).∴a≥eq\f(\r(2),2)或a≤－eq\f(\r(2),2)答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析由题意可知，圆心为(0,0)，半径为2.若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，d＝eq\f(|c|,\r(122＋52))＝eq\f(|c|,13)＜1，∴|c|＜13，所以c的取值范围是(－13,13)．答案(－13,13)11．求经过A(0，－1)和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上的圆的方程．解∵圆心在直线y＝－2x上．∴设圆心M的坐标为(a，－2a)，则圆心到直线x＋y＝1的距离d＝eq\f(|a＋1|,\r(2)).又圆经过点A(0，－1)和直线x＋y＝1相切，∴d＝|MA|.即eq\f(|a＋1|,\r(2))＝eq\r(a2＋－2a＋12)，解得a＝1或eq\f(1,9).∴当a＝1时，圆心为(1，－2)，半径r＝d＝eq\r(2).圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.∴当a＝eq\f(1,9)时，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，－\f(2,9)))，半径r＝d＝eq\f(5\r(2),9).圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,9)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,9)))2＝eq\f(50,81).所以，所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,9)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,9)))2＝eq\f(50,81).12．(创新拓展)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆截得的弦长为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．解设直线l的方程为y＝x＋b①圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.②联立①②消去y，得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－b＋1，,x1x2＝\f(b2＋4b－4,2).))③因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥