高中数学 2-3-1习题课双曲线的标准方程规范训练 苏教版选修2-1

习题课双曲线的标准方程双基达标限时15分钟1．双曲线eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距为______．解析由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4eq\r(3).答案4eq\r(3)2．双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的焦点坐标为________．解析由双曲线方程知a2＝16，b2＝9，则a＝4，b＝3，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝5，又双曲线的焦点在x轴上，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．答案(±5，0)3．双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为________．解析设F1为左焦点，F2为右焦点，当点在双曲线左支上，PF2－PF1＝10，PF2＝22，当点P在双曲线右支上，PF1－PF2＝10，PF2＝2.答案22或24．方程eq\r(（x－4）2＋y2)－eq\r(（x＋4）2＋y2)＝6可化简为________．解析方程可表示点(x，y)到两定点(4，0)，(－4，0)的距离之差等于6，从而点(x，y)的轨迹为双曲线的左支，从而2a＝6，a＝3，2c＝8，c＝4，b2＝c2－a答案eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1(x≤－3)5．过点M(3，4)及双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点的圆的标准方程是________．解析由题设知，F1(－3，0)，F2(3，0)，又过M(3，4)，∴圆心为MF1中点，直径为MF1，故有x2＋(y－2)2＝13.答案x2＋(y－2)2＝136．已知F1、F2是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b∈N*)的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足PF1·PF2＝F1F22，PF2<4，求双曲线的方程．解因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1－PF2|＝4，,PF1·PF2＝F1F22＝4（4＋b2），,PF2<4，))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②,③))由①③得PF1－PF2＝4 .④④代入②，得PF22＋4PF2＝4(4＋b2)．b2＝(PF2＋2)2－8<28，又b∈N*，∴b＝1，2，3，4，5，∴所求的双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,1)＝1，eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1，eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1，eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1，eq\f(x2,4)－eq\f(y2,25)＝1.综合提高限时30分钟7．满足条件：a＝2，一个焦点为(4，0)的双曲线的标准方程为________．解析由一个焦点为(4，0)知双曲线焦点在x轴上，且c＝4，由c2＝a2＋b2，a＝2可得b2＝12，故双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝18．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________．解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋k>0，,1－k>0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>－1，,k<1，))即－1<k<1.答案－1<k<19．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4eq\r(2))、(eq\f(9,4)，5)，则双曲线的标准方程为____________．解析利用待定系数法，设所求双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，将两点坐标代入，视eq\f(1,a2)、eq\f(1,b2)为未知数，解方程组．答案eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1

10.θ是第三象限角，方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是________．解析方程可化为eq\f(x2,cosθ)＋eq\f(y2,\f(1,tanθ))＝1，∵θ是第三象限角，∴cosθ<0，eq\f(1,tanθ)>0.答案焦点在y轴上的双曲线11．双曲线16x2－9y2＝144,P为双曲线上一点，F1、F2为其左、右焦点，且|PF2|·|PF2|＝64，求S△F1PF2.解双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，a＝3，b＝4，则c＝5，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|r1－r2|＝6，|F1F2|＝10，所以在△F1PF2cos∠F1PF2＝eq\f(r12＋r22－（2c）2,2r1r2)＝eq\f(（r1－r2）2－100＋2r1r2,2r1r2)＝eq\f(36－100,2r1r2)＋1＝eq\f(1,2)，∴sin∠F1PF2＝eq\f(\r(3),2).∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)r1r2sin∠F1PF2＝16eq\r(3).12．设双曲线与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解法一设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±eq\r(15)，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f(（±\r(15)）2,b2)＝1，,a2＋b2＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±eq\r(15)，4)，又两焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)．所以2a＝|eq\r(（±\r(15)－0）2＋（4＋3）2)－eq\r(（±\r(15)－0）2＋（4－3）2)|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.13．(创新拓展)一炮弹在某处爆炸，在F1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚eq\f(300,17)s，已知坐标轴的单位长度为1m，声速为340m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．解由声速为340m/s可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×eq\f(300,17)＝6000(m)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上．因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上．设爆炸点P的坐标